数学北师大版九年级下册圆周角和圆心角的关系（第一课时）

3.3 圆周角和圆心角的关系（第一课时）

教学目标:

（1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； （2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力； （3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法． 教学重点:

圆周角定理及其应用.

教学难点:

圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想． 教学方法:

指导探索法. 教学过程:

第一环节 知识回顾

活动内容：

1.圆心角的定义?——顶点在圆心的角叫圆心角 2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系? 如图：∠AOB 弧AB的度数

3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、两条 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

第二环节 探究新知1

活动内容：

（1）问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时,我们得到几种情况?

AO.BCBA.O.O.OACCBCB顶点在圆心点A在圆内点A在圆上点A在圆外

圆心角 圆周角

类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

第三环节 定义的应用

活动内容：

（1）练习、如图，指出图中的圆心角和圆周角 解：圆心角有∠AOB、∠AOC、∠BOC 圆周角有∠BAC 、∠ABC、∠ACB

第四环节 探究新知2

活动内容：

（一）问题提出：当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?

教师提示：类比圆心角探知圆周角

在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？

为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系.

AE●OBDC

⌒ 所对的圆周角，这 （二）做一做：如图,∠AOB=80°，（1）请你画出几个 AB

几个圆周角的大小有什么关系？

AA

B

●O●O

AB●BO

教师提示:思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？三种：圆心在圆周角一边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外.

（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系? ∠AOB=2∠ACB

●ABOAB●ABC●OOCC

（三）议一议:改变圆心角∠A0B的度数，上述结论还成立吗？成立 （四）猜想出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

1符号语言： ?ACB??AOB2（五）证明定理：

已知：如图，∠ACB是 所对的圆周角，∠AOB是 所对的圆心角， AB AB 求证： ?ACB?1?AOB2分析：1.首先考虑一种特殊情况：

当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系.

∵∠AOB是△ACO的外角 ∴∠AOB=∠C+∠A ∵OA=OC ∴∠A=∠C

●⌒ ⌒

ABOA●C

C∴∠AOB=2∠C

1 ?ACB??AOB即22.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样?

老师提示:能否转化为1的情况? 过点C作直径CD.由1可得: ?ACD?1?AOD,?BCD?1?BOD22

1??ACD??BCD???AOD??BOD? 2系会怎样?

老师提示:能否也转化为1的情况? 过点C作直径CD.由1可得:

?ACD?11?AOD,?BCD??BOD221??AOD??BOD?2即?ACB?1?AOB2ABD●ADBO1即?ACB??AOB2C

3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关

C●O??ACD??BCD?

第五环节 方法小结

活动内容：

BOACCC化归OAB化归OABDD

思想方法：分类讨论，“特殊到一般”的转化

第六环节 定理的应用

活动内容：

问题回顾：当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?

AE●OBDC 连接AO、CO,

?ABC?111?AOC,?ADC??AOC,?AEC??AOC,222??ABC??ADC??AEC

由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等.

第七环节 课堂小结

活动内容：

(一) 这节课主要学习了两个知识点： 1.圆周角定义.

2.圆周角定理及其定理应用.

(二)方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了类比，“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.

(三)圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用.

第八环节：附课后练习答案

随堂练习1.如图，在⊙O中，∠BOC=50°，求∠BAC的大小 解：在⊙O中，∠BOC=50° ??BAC?1?BOC?1?500?25022

2.如图，哪个角与∠BAC相等，你还能找到那些相等的角？ 解：∠BAC=∠BDC ∠ADB=∠ACB ∠CAD=∠CBD ∠ABD=∠ACD 习题

BCA●O

ACDB

1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的直径，∠AOB=2 ∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系，为什么？ 解：∠BAC= 2 ∠ACB，理由:

?1?1?AOB2OA21CB

1?2??BOC2又∵∠AOB=2 ∠BOC

??1?11?AOB??2?BOC??BOC?2?2即∠BAC= 2∠ACB 222.如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD与∠BAD的大小

解：∵∠BCD=100°

∴优弧所对的圆心角∠BOD=2∠BCD=200° ∴劣弧所对的圆心角∠BOD=36O°-200°=160°

1??BAD??BOD?80o2

AOBCD

3.为什么电影院的作为排列呈弧形，说一说这设计的合理性.

答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.

4.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁， 如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形 区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，

∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角” 有怎样的大小关系？

解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” .

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