第7讲 物以类聚 - 话说同类项

新课标七年级数学竞赛讲座

第七讲 物以类聚——话说同类项

俗话说“物以类聚，人以群分”．在数学中，我们把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．整式的加减实质就是去括号合并同类项．

整式的加减这一章涉及到许多概念，准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：

理解“三式”和“四数”的概念、熟悉“两种排列”、掌握三个法则．

解与整式加减相关问题时，有括号先去括号，有同类项先合并同类项，这样能使解题过程大为简化．

例题

【例1】 当x的取值范围为 时，式子?4x?4?7x?1?3x?4的值恒为一个常数，这个值是 ．

(北京市“迎春杯”竞赛题)

思路点拨 去掉绝对值符号、合并同类项后，式子应不再含“x”的项，由此得出x的取值范围．

注：数学概念是容的基础．是数学推理和论证的基础．科学研究表明，概念的形成过程中，人们的心理活动经历着以下阶段：

(1)辨别不同的事物； (2)抽象一类事物的共同属性； (3)用简洁的语言符号给概念下定义、定名称．

在概念学习中，应注意以下策略： (1)关键字词理解的策略； (2)正、反例对比策略； (3)相似概念比较策略；(4)概念系统化策略． 【例2】已知a?b?0,a?b,则化简

ba(a?1)?ab(b?1)得( )．

A．2a B．2b C．十2 D．一2 (江苏省竞赛题)

思路点拨 由已知条件可推得多个关系式，这是解本例的关键． 【例3】 已知x＝2，y=一4时，代数式ax?时，代数式3ax?24by?4986的值．

思路点拨 一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的(为什么?)解本例的关键是：将给定的x、y值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代人求值． 【例4】已知关于；的二次多项式a(x?x?3x)?b(2x?x)?x?5，当 x=2时的值为一17，求当x=一2时，该多项式的值．

(“希望杯”邀请赛培训题)

思路点拨 设法求出a，b的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式．

【例4】(1)已知：5∣(x+9y)(x，y为整数)，求证：5∣(8x十7y) ．

(2)试证：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．

(全国初中数学联赛试题)

3223312by?5?1997，求当x??4,y??123新课标七年级数学竞赛讲座

思路点拨 (1)尝试把8x+7y写成x+9y的倍数与5的倍数的代数和的形式，(2)逆用整式的加减，将每一类自然数表示为两个式子的和，并证明它们互质，注意分类讨论．

注：解代数式化简求值问题的基本方法有：将字母的值代入或字母间的关系整体代入等．关键是对代数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是变形求简的一

种常用工具．

“回到定义中去”，这是美国著名数学家玻利亚称为的一种解题方法，在解题遇到困难的时候，请记住“回到定义中去”这个重要的思考提示． 欲证明一个多项式能被某数整除，常需对该多项式进行适当的变换，或对字母进行代换，充分利用巳知条件及整除的有关性质解决问题．

数学中有许多可以类比的对象，如数与式，整数与整式．教学中的许多结论就是通过类比得到的，同时类比也是学习数学中的一种有效方法．

学力训练

1．已知2abxn?122m与?3ab是同类项，那么(2m?n)x= ．

(江苏省竞赛题)

2．已知代数式(2x2+ax-y+6)－(2bx2-3x+5y-1)．

(1)当a= ，b= 时，此代数式的值与字母x的取值无关；

(2)在(1)的条件下，多项式3(a2-2ab-b2)一(4a+ab+b)的值为 ． 3．已知a=1999，则3a3?2a2?4a?1?3a3?3a2?3a?2001= ．

4．已知当x=一2时，代数式ax3?bx?1的值为6，那么当 x=2时，代数式ax3?bx?1的值是 ．

(安徽省中考题)

5．火车站和机场都为旅客提供打包服务，如果长、宽、高分别为x、y、z的箱子按如图的方式打包，则打包带的长至少为( )．

A． 4x+4y+10z B．x+2y+3z C． 2x+4y+6z D． 6x+8y+6z (太原节中考题)

6．同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有( ) ． A ．4个 B．12个 C． 15个 D．25个 (北京市竞赛题)

7．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：则代数式a?a?b?c?a?b?c化简后的结果是( )．

A．2一a B．2a一2b C．2c—a D．a

28．已知?m?2n?25，那么5(m?2n)?6n?3m?60的值为（ ）．

22

A．80 S．10 C．210 D．40

9．把一个正方体的六个面分别标上字母A、B、C、D、E、F并展开如图所示，已知：

A?x?4xy?3y，C?3x?2xy?y ，B?222212(C?A) ，E?B?2C，若正方体

相对的两个面上的多项式的和都相等，求D、F．

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10．已知单项式0.25xbyc与单项式?0.125xmy2n?1的和为0.625xnym，求abc的值． 11．对于整式6x5+5x4+4x3+3x2+2x+2002，给定x的一个数值后，如果小颖按四则运算的规则计算该整式的值，需算15次乘法和5次加法．小明说：“有另外一种算法，只要适当添加括号，可以做到加法次数不变，而乘法只算5 次”．小明同学的说法是 的．(填“对”或“错”)

( “希望杯”邀请赛试题)

12．若a?b?2,b?c??3,c?d?5，则(a?c)(b?d)?(a?d)＝ ． 13．当x＝2时，代数式ax3?bx?1的值等于一17，那么当x＝一1时，代数式 12ax—3bx—5的值等于 ．

(北京市“迎春杯”竞赛题)

14．将1，2，3，??，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式

12(a?b?a?b)中进行计算，求出其

3

结果，50组数代人后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是 ． 15．计算1+2—3—4+5+6一7一8+9+10—1l一12??+1993+1994—1995一 1996+1997+1998—1999—2000，最后结果是( )． A．0 B．一1 C．1999 D．一2000 16．已知a??b且ab?0，则a?b?a?b?ab等于( )．

A．2a+2b+ab B．一ab C．一2a一2b+ab D．一2a+ab 17．已知代数式是( )．

A．1 B．一l C．0 D．2 ( “希望杯”邀请赛试题)

18．如果对于某一特定范围内x的任意允许值p?1?2x?1?3x???1?9x?1?10x的值恒为一常数，则此值为( )

A．2 B．3 C．4 D． 5 (安徽省竞赛题)

19．(1)已知a、b为整数，且n＝l0a+b，如果17│a一5b，请你证明：17│n．

(2)已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数． 证明：这个三位数也是11的倍数．

20．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc(a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数acb、bac、bca、cab与cba的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc． 现在设N=3194，请你当魔术师，求出数abc而来．

x(ax254?bx?cx)23x?dx，当x＝l时，值为l，那么该代数式当x＝一l时的值

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21．x、y、z均为整数，且11 │7x+2y—5z，求证：1l│3x一7y十12z． (北京市竞赛题)

22．计算多项式ax3?bx2?cx?d的值时有以下3种算法，分别统计3种算法中的乘法次数．

①直接计算：ax3?bx2?cx?d时共有3十2+l＝6(次)乘法；

②利用已有幂运算结果：x3?x2?x，计算ax3?bx2?cx?d时共有2+2+1= 5(次)乘法； ③逐项迭代：ax3?bx2?cx?d??(ax?b)x?c?x?d，其中等式右端运算中含有3次乘法．

请问：(1)分别使用以上3种算法，统计算式

a0x10?a1x9?a2x8???a9x?a10中乘法的次数，并比较3种算法的优劣． (2)对n次多项式a0xn?a1xn?1?a2xn?2???an?1x?an（其中a0,a1,a2,?,an为系数，n>1），分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数，并比较3种算法的优劣．

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参考答案

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