北师大七年级(上)第四章：动点、动角模型(无答案)

动点、动角模型

专题一、动点模型

【例1】A 、B 两点在数轴上的位置如图所示，O 为原点，现A 、B 两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动。

（1）几秒后，原点O 恰好在两点正中间？

（2）几秒后，恰好有OA:OB=1：2 ？

【练习1】已知，如图，线段AB=12cm ，M 是AB 上一定点，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm/s 、3cm/s 的速度沿线段BA 向左运动，在运动过程中，点C 始终在线段AM 上，点D 始终在线段BM 上，点E 、F 分别是线段AC 和MD 的中点。

（1）当点C 、D 运动了2s ，求EF 的长度；

（2）若点C 、D 运动时，总是有MD=3AC ，求AM 的长。

【练习2】如图，数轴上点A 、C 对应的数分别是a ，c ，且a ，c 满足()2410a c ++-=，点B 对应的数是-3.

（1）求数a ，c ；

（2）点A 、B 同时沿数轴向右匀速运动，点A 的速度为每秒2个单位长度，点B 的速度为每秒1个单位长度，点B 的速度为每秒1个单位长度，若运动时间t 秒，在运动过程中，点

A 、

B 两点到原点O 的距离相等时，求t 的值。

【例2】如图，若点A在数轴上对应的数为a，若点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足：()2

210

a b

++-=。

（1）求线段AB的长；

（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程

1

212

2

x x

-=+的解，在数轴上是否存在点P，

使PA+PB=PC，若存在，直接写出点P对应的数；若不存在，请说明理由。

（3）在（1）的条件下，将点B向右平移5个单位长度至B'，此时在原点O处放一个挡板，一小球甲从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从B'处以2个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反方向运动，设运动时间为t （秒），求甲、乙小球到原点的距离相等时经过的时间。

【练习1】已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

（1）若点P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；

（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，它们同时出发，几分钟后P点到点A、B 的距离相等？

【例3】已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x 。 A B

O P

（1）若点P 到点A ，点B 的距离相等，求点P 对应的数；

（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为6？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由。

（3）点A 、点B 分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P 以6个单位长度/分的速度从O 点向左运动。当遇到A 时，点P 立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A 与点B 之间，求当点A 与点B 重合时，点P 所经过的总路程是多少？

【练习1】如图，∠AOB 的边OA 上有一动点P ，从距离O 点18cm 的点M 处出发，沿线段MO ，射线OB 运动，速度为2cm/s ；动点Q 从点O 出发，沿射线OB 运动，速度为1cm/s ，P 、Q 同时出发，设运动时间是t （s ）。

（1）当点P 在MO 上运动时，PO=__________cm （用含t 的代数式）；

（2）当点P 在MO 上运动时，t 为何值，能使OP=OQ

？

（3）若点Q 运动到距离O 点16cm 的点N 停止，在点Q 停止运动前，点P 能否追上点Q ？如果是，求出t 的值；如果不能，请说明理由。

【例4】如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，若点B 在数轴上对应的数为b ，点A 在负半轴，且3a =，b 是最小的正整数，

（1）求线段AB 的长；

（2）点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程2134x x +=-的解，在数轴上是否存在点P ，使12

PA PB BC AB +=+，若存在，求出点P 对应的数；若不存在，请说明理由。 （3）如图Q 是B 点右侧一点，QA 中点为M ，N 为QB 的四等分点且靠近Q 点，当Q 在B 的右侧运动时，有两个结论：①1

324QM BN +的值不变；②23QM BN -的值不变，其中只有一个是正确的结论，请你判断正确的结论，并求出其值。

【练习1】如图，射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足OA=20cm ，AB=60cm ，BC=10cm ，点P 从O 点出发沿OM 方向以1cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发。

（1）当PA=2PB 时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点Q 的运动速度；

（2）若点Q 的运动速度为3cm/s ，经过多长时间P 、Q 两点相距70cm ？

（3）当点P 运动到线段AB 上时，分别取OP 和AB 的中点E 、F ，求OB AP EF

-的值。 O M A B C

【练习2】如图，线段AB=24，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 运动，M 为AP 的中点。

（1）出发多少秒后，PB=2AM ？

（2）当P 在线段AB 上运动时，试说明2BM-BP 为定值。

（3）当P 在AB 的延长线上运动时，N 为BP 的中点，下列两个结论：①MN 的长度不变；②MA+PN 的值不变。选择一个正确的结论，并求出其值。

【例5】如图①，已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为x 。

（1）PA=____________，PB=____________（用含x 的式子表示）；

（2）在数轴上是否存在点P ，使PA+PB=5？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由。

（3）如图②，点P 以1个单位/s 的速度从点D 向右运动，同时点A 以5个单位/s 的速度向左运动，点B 以20个单位/s 的速度向右运动，在运动过程中，M 、N 分别是AP 、OB 的中点，问：AB BP MN

-的值是否发生变化？请说明理由。 （4）当点P 以每分钟1个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问：它们同时出发，几分钟时间点P 到点A 、点B 的距离相等？

【练习1】已知线段AB=m ，CD=n ，线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 左侧，C 在D 左侧），若()226m n n -=--，

（1）求线段AB 、CD 的长；

（2）M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，若BC=4，求MN ；

（3）当CD 运动到某一时刻时，D 点与B 点重合，P 是线段AB 延长线上任意一点，下列两个结论：①PA PB PC -是定值；②PA PB PC

+是定值，请选择正确的一个并加以证明。

【练习2】点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且a 、b 满足()2640a b ++-=.

（1）求线段AB 的长；

（2）如图①，点C 在数轴上对应的数为x ，且是方程1154x x +=

-的根，在数轴上是否存在点P 使14

PA PB BC AB +=+？若存在，求出点P 对应的数；若不存在，请说明理由。 （3）如图②，若P 是B 点右侧一点，PA 中点为M ，N 为QB 的三等分点且靠近P 点，当Q 在B 的右侧运动时，有两个结论：①

1328pM BN -的值不变；②34PM BN +的值不变，其中只有一个是正确的结论，请你判断正确的结论，并求出其值。

（选讲）【例6】如图①，已知线段AB=180厘米，线段AB 上的动点P 从端点A 开始在两个端点A 、B 之间一直作往返移动()A B A B →→→→，点P 移动规则如下：第一次，点P 从A 点出发移动m （m>0）厘米到达P1，第二次，点P 从P1点出发移动2m 厘米到达P2，第三次，点P 从P2点出发移动3m 厘米到达P3……（点P 在移动过程中到达线段AB 端点处立即折返移动）

A B P

【例】如：①当m=30厘米时，P1、P2、P3、P4位置如图②所示，其中P3与点B 恰好重合，AP1=m=30厘米，P1P2=2m=60厘米，P2P3=3m=90厘米，P3P4=4m=120厘米； 4P 3)

21A B

②当m=20厘米时，P1、P2、P3、P4、P5位置如图③所示，其中P4是点P 从P3移动到点B 后折返到途中的位置（即P3B+BP4=4m=80厘米），而P5恰好与P2重合。 5()4321A B

仔细阅读上述材料后，解答下列问题：

（1）若m=25厘米，请利用图④操作实践，则P2P3=________厘米；

（2）若m 取值在20厘米与29厘米之间，且点P4恰好平分线段P2P3，在图⑤中分析P1、P2、P3、P4的大概位置，并求出m 的值。

（3）若m 的取值小于34厘米，且P2P4=20厘米，则m 对应的值是_______________ 1A

B

1A

B

作业：

1.已知线段AB=a ，CD=b ，线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 的左侧，C 在D 的左侧），2a b +与()26b -互为相反数。

（1）求a ，b 的值；

（2）若M ，N 分别是AC ，BD 的中点，BC=4，求MN 的长；

（3）当CD 运动到某一时刻，D 点与B 点重合，P 是线段AB 延长线上任意一点，问PA PB

PC

+的值是否改变？若不变，求出其值，若改变，请说明理由。

2.如图，已知点A ，B ，C 是数轴上三点，点C 对应的数为6，BC=4，AB=12。

（1）求点A ，B 对应的数；

（2）动点P ，Q 同时从A ，C 出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动。M 为AP 的中点，N 在CQ 上，且CN=13

CQ ，设运动时间为t （t>0）。 ①求点M ，N 对应的数（用含t 的式子表示）

②t 为何值时，OM=2BN 。

3.如图，数轴上线段AB=2，CD=4，点A 在数轴上表示的数是-10，点C 在数轴上表示的数是

16.若线段AB 以6个单位/秒的速度向右运动，同时线段CD 以2个单位/秒的速度向左运动。

（1）问运动多少秒时BC=8？

（2）当运动到BC=8时，点B 在数轴上表示的数是_____________；

（3）P 是线段AB 上一点，当B 点运动到线段CD 上时，是否存在关系式

3BD AP PC -=？若存在，求线段PC 的长；若不存在，请说明理由。

专题二、动角模型

【例1】已知D是直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE。

（1）如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=____________；若∠COF=m°，则∠BOE=________；∠BOE与∠COF的数量关系为_____________

（2）在图2中，若∠COF=75°，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的三分之一？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由。

（3）当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由。若不成立，求出∠BOE与∠COF的数量关系。

【练习1】已知：∠AOB=60°，OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线。

（1）如图1，OC在∠AOB内部时，求∠DOE的度数；

（2）如图2，将OC绕O点旋转到OB的左侧时，OD、OE仍是∠BOC和∠COA的平分线，求此时∠DOE的度数；

（3）当OC绕O点旋转到OA的下方时，OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，∠DOE 的度数又是多少？（直接写出结论，不必写出解题过程）

【练习2】已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．

（1）若∠COF=14°，则∠BOE=____________；若∠COF=n°，则∠BOE=__________； ∠BOE 与∠COF 的数量关系为_____________

（2）当射线OE 绕点O 顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中∠BOE 和∠COF 的数量关系是否仍然成立？请说明理由。

（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE 的内部是否存在一条射线OD ，使得∠BOD 为直角，且∠DOF=3∠DOE ？若存在，求出∠COF 的度数；若不存在，请说明理由。

【练习3】已知：∠AOD=160°，OB 、OM 、ON 是∠AOD 内的射线。

（1）如图1，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，当射线OB 绕点O 在∠AOD 内旋转时，求∠MON 的大小；

（2）OC 也是∠AOD 内的射线，如图2，若∠BOC=20°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，当射线OB 绕点O 在∠AOD 内旋转时，求∠MON 的大小；

（3）在（2）的条件下，当射线OB 从边OA 开始绕O 点以每秒2°的速度逆时针旋转t 秒，如图3，若∠AOM ：∠DON=2：3，求t 的值。

【例2】已知OC 是∠AOB 内部的一条射线，M 、N 分别为OA 、OC 上的点，线段OM 、ON 分别以30°/s 、10°/s 的速度绕点O 逆时针旋转。

（1）如图①，若∠AOB=140°，当OM 、ON 逆时针旋转2s 时，分别到OM '、ON '处，求BON COM ''∠+的值；

（2）如图②，若OM 、ON 分别在∠AOC 、∠COB 内部旋转时，总有∠COM=3∠BON ，求B O C

A O B

∠∠的值。

（3）知识迁移，如图③，C 是线段AB 上的一点，点M 从点A 出发在线段AC 上向C 点运动，点N 从点C 出发在线段CB 上向B 点运动，点M 、N 的速度比是2：1，在运动过程中始终有CM=2BN ，求________BC AC =

【练习1】已知∠AOB=100°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD。

（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；

（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0<n<90）时，∠AOE-∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE-∠BOF的值；若不是，请说明理由。

（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0<n<180）时，满足∠AOD

+∠EOF=6∠COD，则n=___________

【练习2】已知点O是直线AB上的一点，∠COE=90°，OF是∠AOE的平分线。

（1）当点C，E，F在直线AB的同侧（如图1所示）时，试试说明∠BOE=2∠COF；

（2）当点C与点E，F在直线AB的两旁（如图2所示）时，（1）中的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由；

（3）将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°（0<m<180），得到射线OD.设∠AOC=n°，若

∠BOD=

2

60

3

n?

??

-

?

??

，则∠DOE的度数是___________（用含n的式子表示）。

【例3】如图，两个形状、大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转。

（1）直接写出∠DPC的度数；

（2）若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度（如图②），若PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF的度数；

（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针，转速为2°/s，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当2∠CPD=3∠BPM，求旋转的时间是多少？

【练习1】如图①，在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM放在射线OB上，另一边ON放在直线AB的下方。

（1）将图①中的直角三角板绕点O逆时针旋转至图②，点D为线段NO延长线上一点，且OD平分∠AOC。

①若∠BOC=119°40′，求∠COM的度数；

②试说明射线OM是∠BOC的角平分线。

（2）将图①中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，若∠BOC=2∠AOC，且在旋转的过程中，第t秒时ON所在的直线恰好平分锐角∠AOC，求t的值。

【练习2】如图①，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方。

（1）将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为_____________度。

（2）继续将图②中的三角板绕点O按逆时针至图③的位置，使得ON在∠AOC的内部。试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由。

（3）在上述直角三角板从图①开始绕点O按30°每秒的速度逆时针旋转270°的过程中，是否存在OM所在直线平分∠BOC和∠AOC中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋转时间t；若不存在，说明理由。

作业：

1.如图，∠AOD=150°，∠BOC=30°，∠BOC绕点O逆时针在∠AOD的内部旋转，其中OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，在∠BOC从OB与OA重合时开始到OC与OD重合时为止，以每秒2°的速度旋转过程中，有下列结论，其中正确的是（）

（1）射线OM的旋转速度为每秒2°；（2）当∠AON=90°时，时间为15秒；（3）∠MON的大小为60°。

A.（1）（2）（3）

B.（2）（3）

C.（1）（2）

D.（3）

2.已知∠AOB=110°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD。

（1）如图所示，当OB、OC重合时，求∠AOE-∠BOF得值；

（2）当∠COD从图示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0<t<10），在旋转过程中∠AOE-∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由。

3.如图：

（1）已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；（2）如果（1）中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON得度数；

β<?），其他条件不变，求∠MON的度数；

（3）如果（1）中∠BOC=β（90

（4）从（1）（2）（3）的结果中你得到什么样的规律？

（5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1）～（4），设计一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出其中的规律。

4.将一副直角三角板按如图①摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON 绕点O以每秒8°的速度顺时针方向旋转t秒。

（1）如图②，当t=_____________秒时，OM平分∠AOC，此时∠NOC-∠AOM=____________；（2）继续旋转三角板MON，如图③，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）

（3）直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC 也绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时，两个三角板同时停止运动。

①当t=___________时，∠MOC=15°；

②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系（数量关系中不能含t）.

5.一副三角板如图①放置，点A 、O 、B 在直线MN 上，其中∠BOD=30°，∠AOC=45°。

（1）如图②，OE 平分∠DOC ，OF 平分∠BOC ，求∠EOF 的度数；

（2）如图③，若三角板AOC 绕点O 逆时针旋转α（060α?<<?），OF 平分∠BOC ，OG 平分∠AOD ，求∠FOG 得度数；

（3）若三角板AOC 绕点O 顺时针α（0180,30,45ααα?<<?≠?≠?且），（2）中其他条件不变，请直接写出∠FOG 的度数。

图①图②图③

6.已知：O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC。

（1）如图①，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；

（2）在图①中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；

（3）将图①中的∠DOE绕顶点O顺时针旋转至图②的位置。

①探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系；

②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6t6i.html