第四章 本金利息分离技术

第四章 本金利息分离技术

本章以贷款业务为例，介绍本金利息分离技术常用的以下两种方法：

摊还法：指定期支付未清偿债务本金和利息的做法，且利息偿还优先。实质上，这是一种定期分期偿还贷款的做法。

偿债基金法：指借款人为偿还债务而成立基金的做法。借款人在指定期限内，分期拨款入基金，累计起一笔足够款项以偿还未来到期的债务。 本章研究的主要问题：

1 如何确定投资期间每个时刻的未结贷款余额

2 如何将投资期间的现金流分解为“本金”和“利息”两部分

3不同的本金分离方法对投资收益结果分析的影响第一节 摊还法

一 未结贷款余额的计算

未结贷款余额又称：未结贷款本金、未付贷款余额、剩余贷款债务等，它指在

贷款业务中，每次分期还款后，借款人未偿还的债务在当时的价值。

计算方法有两种：预期法和追溯法

预期法：是用所有未支付的分期付款现值之和表示每个时刻的贷款余额。适用

于所有的还款额和还款时间已知的情况。

追溯法：是用原始贷款额的累计值扣除所有已付款项的累计值表示每个时刻的

贷款余额。适用于还款次数和还款时间未定的情况。

用Bt表示第t次还款后瞬间的未结贷款余额，而且为了区别所采用的计算方法，分别用Btp和Btr表示预期算法和追溯算法的结果。

1 每次还贷金额已知的情况：

设贷款利率为i，分 n次还清，每次还款1个货币单位，则：

Btp?an?ti?????????????????（4.1.1）

Btr?a?(1?i)t?s??????????????（4.1.2）

niti结论4.1 若贷款分n次偿还，每次还款1个货币单位，且利率为i，则： （1） 采用预期法和追溯法计算的得到未结余额是相同的，即：

Btp?a（2）

n?ti?=Bt?a?(1?i)?s? t=0,1,2,?,n;

nitirt未结贷款余额有如下的递推关系：

Bt?Bt?1(1?i)?1 t=1,2,?,n;

证明：

(1)B?a?(1?i)?s?nirttti1?vn(1?i)t?11?vn?tt?(1?i)???a??Btp

n?tiiii(2)??

2 贷款金额已知的情形：

设原始贷款金额为L，贷款利率为i，分n次还清。若每次的还款额为R，则有

Ra??L 即：R?niL a?niaBt?Ra?pn?ti?Ln?tini?a?????????????（4.1.1）

?s??ti?t?????????????（4.1.2） B?L?(1?i)???a?ni??rt例4.1 某贷款的还贷方式为：前5年每半年还2000元，后5年每半年还1000元。如果半年换算的挂牌利率为10%，分别用预期法和追溯法计算第5次还贷后的贷款余额。

解：

（1）用预期算法：

B5?200a0?p50.05?100a0?100.05 9v5?1470 (2) 用追溯法

先求出原始贷款金额

(a? L?1000r200.05?a?100.05)?20183.95

B5?20183.92(1?0.05)?2000s?550.05?14709.13

例4.2 某30年的贷款每年还1000元，在第15年的正常还款之后，借款人再一次多

还2000元，如果将上述已还款全部用于扣除贷款余额，剩余的贷款余额再分12年等额还清（P111此处将书中的逗号改为句号）。年利率为9%，计算后12年的年还款额。

解：用预期法计算第15次还款后的贷款余额为：

B5?1000ap150.09??8060.70

由于同时还偿还了2000元，所以到第15年结束时，实际还贷款6060.70元。 所以后12年的年还款额为

6060.70?846.38（元）

a?120.09问题:对投资人来说，提前归还的2000元什么情况下合算？ 二 摊还表

1摊还法的基本原理：贷款的分期还款中利息偿还优先，即首先偿还应计利息，余下的部分作为本金偿还。

具体表示为：

R: 从t-1时刻到t时刻时间段的还款额 It：从t-1时刻到t时刻时间段所还利息量 Pt：从t-1时刻到t时刻时间段本金量 则有:

It?iBt?1Pt?R?Itt?1,2,?,n???????????????????（4.1.14）t?1,2,?,n???????????????????（4.1.15） Bt?(1?i)Bt?1?R?Bt?1?Pt t=1,2,?，n?????（4.1.16）

上面的第三个等式说明贷款余额的减少只与本金Pt有关，而与利息无关。

摊还表就是将还贷其间的每次还款分解为还本金和还利息所构成的表；同时，

表中还列出每次还款后的未结贷款余额。

见P112表4-1

从表4-1我们得到以下的等式：当贷款利率为i，每次还款1个货币单位共计

n次时，有：

It?1?vn?t?1Pt?vn?t?1Bt?Bt?1?Ptt?1,2,?,n??????????（4.1.5） t?1,2,?,n??????????（4.1.6） t?1,2,?,n??????????（4.1.7）

??vt?a?

t?1nn?P??vtt?1nt?1nnn?t?1?It?1t?n??Pt

t?1nPt?1?(1?i)Pt列，公比为1+i.

t?1,2,?,n?1该式说明本金量依时间顺序呈递增的等比数

It?1?It?iPt该式说明利息量序列依时间顺序构成递减数列。

以上两式说明，在等额还款方式下，前期的还款额主要用于偿还利息，后期主

要偿还本金。

2利息、本金和未结贷款余额的计算

（1）每次还款额为R，分n次还清，则有：

It?R(1?vn?t?1)Pt?Rvn?t?1Bt?Ra?n?tit?1,2,?,n?????????（4.1.8） t?1,2,?,n??????????（4.1.9）

t?1,2,?,n?????????（4.1.10）

L（2）原始贷款额为L，分n次还清，那么每次的还款额为：R?a?代入上面三式，得到

，

niIt?L(1?vn?t?1)a?nit?1,2,?,n????????（4.1.11）

Pt?Ln?t?1va?nit?1,2,?,n????????（4.1.12）

a?Ln?tiBt?a??La?n?tia?ninit?1,2,?,n??????（4.1.13）

在实际摊还表的计算中，常常采用下面这组递推公式： B0=L, It=iBt-1, Pt=R-It, Bt=Bt-1-Pt

例4.3 现有4年期1000元贷款，年利率为8%，逐年偿还。试给出该贷款项目的逐年摊还表。

解：见P114

例4.4现有1000元贷款通过每季度还款100元偿还，且已知季换算挂牌利率为16%。计算第4次还款中的利息量和本金量。 解：第三次还款后的未结贷款余额为： B3?1000(1?0.04)?100s? 所以：利用下式：

r330.04?812.70

It?iBt?1Pt?R?Itt?1,2,?,n?????????（4.1.14）t?1,2,?,n?????????（4.1.15） 而不用4.1.8和4.1.9式。

I4=0.04×812.7=32.51 P4=100-32.51=67.49

例：4.5甲从乙处借款10000元，双方商定以季换算挂牌利率8%分6年按季度

还清。但是，在第2年底（第8次还款之后），乙将未到期的贷款权益转卖给丙，而乙、丙双方商定的季换算挂牌利率为10%。分别计算丙和乙的利息总收入。

解这6年中的每次还款额为：

R?10000?528.71

a?240.02（1）先计算丙的利息总收入.第2年底，当丙从乙手中将未到期的贷款权益买

入时，买价为：

528.71a?160.025?6902.31

而丙在后4年从甲收回的总金额为：

16×R=8459.36元

所以丙在后4年的总的利息收入为： 8459.36-6902.31=1557.05 （2）计算乙的利息收入

（书中的第一种理解不合理）见课本P115 乙在与甲和丙的交易中，总的收入是： 8×528.71+6902.31=11131.99 所以，乙的利息总收入为 11131.99-10000=1131.99元

例：4.6 现有年利率为i的n年投资，每年底收回1个货币单位。但是，在第

2年内的年收入率为j，且有j>i.（该条件可不要）在以下两种情况下，计算第2年以后的年收入。

（1） 第3年开始的年收益率仍然为i， （2） 第3年开始的年收入率保持j.

解：已知B0?a?，第1年底的未结贷款余额为B1?anin?1i?，设所求年收入为x，

则第2年底的未结贷款余额为

B2?（1?j）an?1i??X

?(1) 因为，从第3年开始的年收益率仍然为i，所以B2?Xan?2i

（1?j）a故：B2?（1?j）a所以：

所以：X??n?1i??X?Xa?n?2i?

n?1i?X(1?an?2i???)?Xan?1i?X(1?i)an?1i?

1?j 1?i

?（2）因为第3年开始的年收入率保持j，所以 B2?Xan?2j?（1?j）a 所以： B2?（1?j）a所以：

n?1i?n?1i?X?Xa?n?2j?

?X(1?an?2j???)?Xan?1j?X(1?j)an?1j?

a所以X?n?1i??a

n?1j

第二节 偿债基金法

所谓偿债基金法：是指借款人每期支付利息给贷款人，同时还要每期向偿债基金账户存入等额的款项，在贷款期末将原始的贷款一次还清。

4.4.2金额变化的摊还表和偿债基金表

有时，还款额不是固定不变的，会随着时间的推移而变化。假定利息换算周期

和还款周期相同。设原始贷款额为L，n次还款金额分别为R1,R2,?，Rn,则有：

L??Rtvt????????????????（4.4.1）

t?1n这时的摊还表和偿债基金表就没有确定的表达式，但仍然可以编制。像上面的

表4-7的编制。

编制的基本原理：摊还表中的利息为前一时刻未结贷款余额的应计利息；偿债

基金表中的利息为原始贷款的利息；两种表中偿还的本金量均为还贷金额扣除利息部分后的剩余部分。

1 摊还表的编制： 摊还法的原理：

B0?LIt?iBt?1Pt?Rt?ItBt?Bt?1?Ptt?1,2,?,n?t?1,2,?,n?????????????（4.4.2）

t?1,2,?,n?t?1,2,?,n?? 例4.11 甲方向乙方借款10000元，分10次还清，每次的还款金额以20%的比例递

增。设年利率为10%。计算摊还表中前3年还款的本金部分。

?1?k?1????1?i?解：设首次还款额为R1，则根据公式A?i?k?1?k?1???1?i?? 10000=R1i?knn(k?i)

R1=720.89

所以：见课本P127

2偿债基金表的计算

设原始贷款额为L，n次还款金额分别为R1,R2,?，Rn,偿债基金的利率为j，则第t次存入基金帐户的存款额为：Rt-iL

则:

L?(R1?iL)(1?j)n?1?(R2?iL)(1?j)n?2???(Rn?iL)??Rt(1?j)n?t?iLs?t?1ntnnj所以，L??R(1?j)tt?1nn?t1?is?nj分子分母同乘以（1?j)?n??Rvtt?11?(i?j)a?

nj例4.12 某人以年利率5%借款，分10年还清：第1年还200元，随后每次减少10元，计算： （1） 借款总额；

(2)第5次还款中本金与利息的金额；

（3）如果贷款利率为6%，且借款人能够以年利率5%累积偿债基金，计算当初的借款总额。 解：

（1）这个10年逐年递减10元的还款可以分解为100元固定年金和首次期末付款100元以后每年递减10元的标准递减年金的现值之和，故借款总额为： L1?100a?100.05?10(Da)?100.05?1227.83

????nvna或者：根据：A=(P?Q)a??Qnni

（2）第4次还款后的未结余额为 B4?100a?P60.05?10(Da)?60.05?692.4

所以，第5次还款中的利息和本金分别为：

P I5?iB4?34.62

P.38 5?R5?I5?160?34.62?125(3)由公式4.4.3得： 所求的借款总额为：

L??Rvtt?1nt1?(i?j)a??njL11?(0.06?0.05)a??1139.82

100.054.4.3连续摊还计算（不讲）

第五节 实例分析

4.5.1 贷款利率依余额变化的还款额计算

在实际的按揭贷款中，银行会对贷款客户不同阶段的不同未结贷款余额采用不

同的贷款利率，一般称这种计息方式为本金阶梯计息方式。

设贷款额为L，每次的等额还款为R。按照事先给定的一个限额L?(0

规定未结贷款余额小于L?的部分利率为i，未结贷款余额超过L?的部分利率为j，一般有i>j.下面讨论如何计算R.

该问题的关键是找到未结贷款余额刚好小于或等于L?转折时刻m，即找到满足：Bm?L?????（4.5.1） 的最早时刻m。此时有：

?Bt?1?[R?iL??j(Bt?1?L?)] Bt???Bt?1?(R?iBt?1)在m时刻，用预期法有：Bm?Ran?mi?Bt?1?L?????（4.5.2） ?Bt?1?L ?????（4.5.3）

m?B?(L?L)(1?j)?L??iL?s??Rs? 用追溯法有：mmjmj?（4.5.4）

由式4.5.3和4.5.4得：

(L?L?)(1?j)m?L??iL?s? R?mjan?mi??s?????????（4.5.5）

mj由式4.5.1、4.5.3和4.5.5得到：

(L?L?)(1?j)m?L??iL?s?an?mi?mj?s?an?mi??L?

mj 整理：(L?L?)(1?j)amn?mi??iL?s?amjn?mi??L?s?

mjs?(1?ia?)a?L?L?mjn?mim?? 所以，

L?s?(1?j)ma?n?mij????????（4.5.6）

n?mi 满足上述不等式的最小整数，即为所求的m.

例4.14 现有3000元的贷款计划在一年内逐月还清，已知当余额低于1000元时，月利率为1.5%，当余额超过1000元时，超过部分的月利率为1%。计算月还款额。 解：P132

4.5.2确定本金偿还方式的摊还计算

若已知本金的偿还方式分别为：P1,P2,?Pn,则也可构造摊还表：因为：

L??(PK?IK)vk

k?1nB0?LIk?iBK?1BK?BK?1?PK RK?PK?IK

例4.15 设贷款额为L，利率为i，还款现金流为R1、R2、??、Rn，利息部分的税率

为r，证明：在这种情况下，实际的贷款利率为：i(1-r). 证明：显然。 4.5.3其它实例

例4.16已知甲乙双方的借款协议如下：最初甲向乙借款L,利率为12%；然后甲以金额100元，100元，1000元和1000元分4年偿还，且乙同意甲每年只还利息，到期还本金。若甲以年利率8%累积偿债基金，计算L的可能值。

解：偿债基金的4次存款金额分别为：100-0.12L 100-0.12L 1000-0.12L 1000-0.12L

所以，（100-0.12L）s?40.08+900s?=L

20.08解得：L=1507.47

由于1507.47×0.12=180.8964>100

故L不是真正的原始贷款总额。用L表示真正的原始贷款余额，则有：

B2?L(1.12)?100s?r220.12?1.2544L?212

r所以，B2才代表甲方在此时的贷款余额，后两年的偿债基金应该是为最终一次还r清B2而建立的，即： rrB2?（1000?0.12B2）s?

20.08r求得：B2=1664.53

r所以，L?(B2?212)/1.2544?1495.96

例4.17 9年前某家庭从银行得到为期20年的80000元抵押贷款，年利率为8%，逐年还贷。第9次还款时，它们希望一次多付出5000元，然后将余额在今后9年内等额还清。使对以下两种情况计算后9年的还款额：

（1）银行同意过去9年的利率不变，但是后9年的利率将提高为9%； （2）银行坚持将该抵押贷款的利率提高到9%。 解：设R表示所求的年还贷额。 （1）当前时刻的价值方程为：

??800009 ?80000（1?0.08）?s??5000??Ra?

??90.0890.09a?200.08??解得：R=8868.78

（2）当前时刻的价值方程：

??800009?80000??Ra? （1?0.09）?s??5000??90.0990.09a?200.08??解得：R=10450.57

例4.18 甲方从乙方借款20000元，年利率为3%，20年还清，每次还款有还本金和还利息两部分组成，其中还本金部分金额固定为1000元，还利息部分为原贷款额尚未偿还部分的当年利息。第10年底，乙将后10年的贷款权益转卖给丙，双方商定前5年的利率为5%，后5年的利率为4%。计算乙、丙双方的买卖价格。 解：由题目已知 Pt=1000

Bt=(20000-1000t)

It=(Bt-1)×3%=[600-30(t-1)]

每次支付的金额：Rt=Pt+It=1600-30(t-1) 所以，价值流程图：P137 故：

???150a??30(1?0.05)?5(Da)?51000?a?(1?0.05)a?30(Da)?9191?????????50.0550.0450.0550.0550.04???? 或者利用首次付款金额P,然后每次变化Q，总计n次，期末方式，则这种期末年金的现值：

????nvna A=（p-q）a??Qnni来计算。

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