数学文卷·2018届湖北省重点中学、齐鲁名校教科研协作体（临沂一

齐鲁名校教科研协作体

山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（4）

文科数学试题

审题：山东临沂一中 山东邹城一中 湖北天门中学

本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（原创，容易）设集合M?[0,3]，N?{x?Z|x?1}，则M?N?（ D ） A．[0,3] B．(1,3] C．{1,2,3} D．{2,3} 选D

2．（原创，容易）已知命题P:?x0为有理数，x0?2x0?1?0，则?p命题为（ A ） A．?x为有理数，x?2x?1?0 B．?x为无理数，x?2x?1?0 C．?x0为有理数，x0?2x0?1?0 D．?x0为无理数，x0?2x0?1?0 选A

3．（原创，容易）若复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称，且z1?2?i，则复数（ C ） A．

22222z1=z23434?i B．??i C．?1 D．1 5555选C

【考点】复数运算及几何意义

4．（改编，容易）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地．”，请问此人第5天走的路程为（ D ） A．36里 B．24里 C．18里 D．12里 选D

????????5. （原创，容易）若平面向量满足a?(2a?b)，则a,b的夹角?为（ C ） |a?b|?21|a|，

A．30 B．60 C．120 D．150 选C

【考点】平面向量的模、夹角、数量积

6. （原创，容易）若P(x,y)满足约束条件1?x?2x?y?4，且大值为（ C ）

A．1 B． 4 C．7 D．10 选C

【考点】线性规划

O B A(1,-2) y C x 00003x?z?2，则z的最yx2?y2?1在平面内围成的面积，用随机模拟的方法由7. （原创，中档）为了估计椭圆4计算机设定在x?[0,2],y?[0,2]内随机产生10个随机数组(xi,yi)如下表，得到10个随机点Mi(xi,yi)，i?[1,10]，i?N，则由此可估计该椭圆所围成的面积为（ B ） A．3.2 B．6.4 C．8 D．2? 编号i 1 0 0.7 2 1 1.3 3 0.2 1.4 4 1.2 0.5 5 0 1.6 6 1 0.6 7 2 0.4 8 1.7 1.6 9 0.8 0.3 10 0.9 2 xi yi 选B

【考点】随机数、几何概型

8．（原创，中档）一个几何体三视图如下，则其体积为（ D ） A．12 B．8 C．6 D．4 3 4 2 正视图 4 侧视图 3 2

解析：在长方体中进行割补得如图几何体，为一个三棱锥（粗线画的图形），其体积

11V??(2?3)?4?4，选D

32【考点】三视图还原及多面体体积

9. （改编，中档）如图所示的程序框图，若输入a?101201， 则输出的b?（ B ） A. 64

B. 46 C. 289 D. 307 0123开始 输入a 解析：经计算得b?1?3?0?3?2?3?1?3?46，选B 【考点】算法及流程图

b?0b?0i?1把a的右数第i位数字赋给t i?1b?b?t?3i?1?1 1b?b?ti??i?2i否 i?5? 是 输出b 结束 10．（原创，中档）已知函数f(x)?2cosx(msinx?cosx)?1(m?0)的最大值为2，则f(x)

一条对称轴方程为( D ) A．x?选D

【考点】三角运算及几何意义

11. （原创，中档）已知三棱锥P?ABC所有顶点都在球O的球面上，底面?ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB?22，PA?PB?PC?3，则球O的表面积为( A ) A．9? B．

???? B．x? C．x? D．x? 124369? C．4? D．? 4解析：设AB中点为D，则D为?ABC的外心，因为PA?PB?PC?3，易证

PD?面ABC，所以球心O在直线PD上，又PA?3，AB?22，算得PD?1，设

球半径为R，则?ODA中，(R?1)?2?R?R?所以S?9?，选A

【考点】线面垂直、球表面积公式

A

12. （原创，难）已知抛物线y?4x，过焦点F作直线l交抛物线于A,B两点，准线与x轴的交点为C，若

2223 2P D O C B |AF|???[3,4]，则tan?ACB的取值范围为( B ) |FB|M A 4013415A1 43] B. [,43] C. [,] D. [,] A. [,9253852解析：如图，不妨取A在一象限，设l倾斜角为?，?ACF??

? ??3时，设|BF|?|BB1|?x,易得|A1M|?x,|AM|?2x

|NF|?x3|NF|1cos?? ?，同理??4时，，所以cos??25|FB|2C -1B1 ?N ?F H B

43??11343]（或可求cos??所以sin??[,?[,]?sin??[,]） 52??12552又sin??|AH||A1C|??tan?，同理sin??tan?BCF |AF||AA1|43所以?ACF??BCF??，且tan??[,]

52tan2??2tan??21?tan?21?tan?tan??[40,43]，选B 9【考点】直线与抛物线、三角函数、值域 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13. （原创，容易）e2x?1?1（e?2.71828...）的解集为 12解析：(??,) 答案：(??,) 【考点】简单的指数不等式

14. （原创，容易）已知f(x?1)?cosx，则f(1)? 解析：法1:f(x?1)?cosx?f(x)?cos(x?1)?f(1)?cos0?1 法2:令x?0?f(1)?cos0?1 答案：1

【考点】函数解析式及函数值

15.（原创，较难）?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，M为AB的中点，

12b?2,CM?3，且2ccosB?2a?b，则S?ABC=

解析：

法1：2ccosB?2a?b?2sinCcosB?2sinA?sinB

?2sinCcosB?2sinBcosC?2cosBsinC?sinB?cosC?所以C?60

如图补成平行四边形ACBD，则?CAD?120，CD?23 001 22 A D M 3 a B C ， ?ADC中，由余弦定理得(23)2?a2?4?4acos1200?a?2

1?2?2sin600?3 2??????????????????2????2????2????????0法2：同上C?60，2CM?CA?CB?4CM?CA?CB?2CA?CB

所以S?ABC=所以12=4+a?2a?a?2 所以S?ABC=21?2?2sin600?3 答案：3 2【考点】解斜三角形：正余弦定理、面积公式、平面向量基本定理

16. （原创，难）若直线y?a分别与f(x)?ex?1,g(x)?ln(x?1)的图象交于A,B两点，则线段AB长度的最小值为 解析：

法1：f(x)在R增,g(x)在(1,??)增

f(x) g(x) f(x1)?g(x2)?a?(?1,??)?x2?x1?(ea?1)?ln(a?1)?h(a) h?(a)?ea?1在(?1,??)增，且h?(0)?0 a?10 x1 2 -1 x2 所以h(t)在(?1,0)减，(0,??)增

所以h(a)min?h(0)?2，即|AB|min?2

法2：设y?f(x?t)?ex?t?1与g(x)有公切点P(x0,y0)，则t?|AB|min。

1?x0?te????y(x0)?g(x0)?11x?1???1?ln(x?1)?ln(x?1)??1?00??00y(x)?g(x)x?1x?10?000?ex0?t?1?ln(x?1)0?令h(x)?ln(x?1)?1?1,x?(1,??)，显然h(x)在(1,??)增，且h(2)?0 x?1所以x0?2?t?2，即|AB|min?2 答案：2 【考点】导数、函数单调性、零点

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本题满分12分）

（原创，容易）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4?S2?7a1,S5?30 （1）求{an}的通项公式an；

（2）设bn?1*，数列?bn?的前n项和Tn?log2(m2?m)对任意n?N恒成立，求实数Snm的取值范围.

解析：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则由S4?S2?7a1,S5?30得??a3?a4?2a1?5d?7a1?a1?d?2，????4分

5(a?2d)?30?1所以an?2?(n?1)?2?2n，即an?2n????6分 （2）由（1）可得Sn?n(n?1)，所以bn?111??????8分

n(n?1)nn?111111111Tn?(1?)?(?)?(?)?...?(?)?1?????10分

22334nn?1n?1易知{Tn}在n?N增，当n???时，Tn?1

所以1?log2(m?m)?m?m?2?m?(??,?1]?[2,??)????12分 【考点】等差数列的通项与求和、不等式恒成立 18. （本题满分12分）

（原创，容易）某种植物感染?病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗?病毒的制剂，现对20株感染了?病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.

编号 吸收量(mg) 22*01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9 （1）完成以2?2下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？

吸收足量 吸收不足量 1 合计 20 植株存活 植株死亡 合计 （2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率.

参考数据：

P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828n(ad?bc)2，其中n?a?b?c?d K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2解析：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：

吸收足量 12 3 15 吸收不足量 1 4 5 合计 13 7 20 植株存活 植株死亡 合计 ?????????????????????????????????????4分

20(12?4?3?1)2K??5.934?6.635

13?7?15?52所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.???8分

(2)样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株. 设事件A:抽取的3株中恰有1株存活

记存活的植株为a,死亡的植株分别为b1,b2,b3,b4

则选取的3株有以下情况：{a,b1,b2}，{a,b1,b3}，{a,b1,b4}，{a,b2,b3}，{a,b2,b4}，

{a,b3,b4}，{b1,b2,b3}，{b1,b2,b4}，{b1,b3,b4}，{b2,b3,b4}

共10种，其中恰有一株植株存活的情况有6种 所以P(A)?63?（其他方法酌情给分.）????????????12分 105【考点】概率与统计：列联表、独立性检验、随机事件的概率 19．（本题满分12分）

（原创，中档）在四棱锥P?ABCD中,PD?底面ABCD ，ABCD为等腰梯形， 且AB//DC,AC?BD，AB?22,DC?2

P N D C

（1）若CM??CP，试确定实数?的值，使PA//面MBD； （2）若?APC?90，设AN?02AP，求三棱锥N?AOD的体积. 3

解：（1）当??1时，PA//面MBD 3证明：设AC?BD?O，连OM，由AB//DC，AB?22,DC?2可得

COCM1CM1??，所以???．此时AP//OM， OAMP2CP3由OM?面MBD，AP?面MBD，故PA//面MBD．????????6分

22（2）设DP?a，易得DA?5?PA?a?5，PC2?a2?2，AC?3 2?(a?5)?(a?2)?9?a?1，所以N到面AOD距离h? 322P 又AB?22,DC?2，AC?BD

N D O A 所以OD?OC?1，OA?OB?2 所以VN?AODM C 1122?(?2?1)?????????12分 3239【考点】立体几何：线面平行、体积 20．（本题满分12分）

B （原创，较难）已知点F(?1,0)及直线l:x??4，若动点P到直线l的距离d满足

d?2|PF|

（1）求点P的轨迹C的方程；

????????（2）若直线PF交轨迹C于另一点Q，且PF?2FQ，以P为圆心r?2|PQ|为半径的

圆被直线l截得的弦为AB，求|AB|.

x2y2??1??4分 解析：（1）设P(x,y)，由题意|x?4|?2(x?1)?y?C:4322????????（2）设P(x1,y1),Q(x2,y2)， PF?2FQ?y1??2y2

当PQ斜率为0或斜率不存在时不适合题意，设PQ:x?my?1(m?0)

由??x?my?122?3x?4y?12?(3m2?4)y2?6my?9?0?????6分

6m?y?y???y22??13m2?4???0,且???????????8分

?9?yy???2y22122?3m?4?6m23m2?414?(2)????m2?

3m?4?92512(1?m2)27所以|PQ|?|y1?y2|1?m?， ?3m2?482?|PF|?29927|PQ|??d?，r??????????10分 3424设AB中点为M，则|AM|?r2?d2?(2729295 )?()?424所以|AB|?95????12分 2【考点】轨迹方程、直线与圆和椭圆的位置关系、极坐标 21．（本题满分12分）

（原创，难）已知f(x)?(x?1)lnx?(a?1)x

（1）若f(x)在x?1处取得极值，求a并判断该极值为极大值还是极小值； （2）若a?1时，f(x)?k恒成立，求整数k的最大值.

ln3?1.10，ln3.6?1.28 参考数据：ln2?0.69，解析：（1）f?(x)?lnx?1?a(x?0) x由f?(1)?ln1?1?a?0?a??1，此时f(x)?(x?1)lnx

f?(x)?lnx?1?1在(0,??)增， x所以x?(0,1)时,f?(x)?0?f(x)减；x?(1,??)时,f?(x)?0?f(x)增 所以f(1)?0为极小值。?????????????4分

（2）f?(x)?lnx?又f?(3)?ln3?1?1在(0,??)增， x41?0，f?(3.6)?ln3.6??1?0???????????6分 33.6所以必存在唯一x0?(3,3.6)使f?(x0)?0?lnx0?1?1， x0且f(x)在(0,x0)减，(x0,??)增?????????????8分 所以f(x)min?f(x0)?(x0?1)(1?11)?2x0??(x0?),x0?(3,3.6)??10分 x0x0所以k??(x0?1349101)，x0?(3,3.6)恒成立，易知?(x0?)?(?,?)?(?4,?3)

x0903x0又k?Z，所以kmax??4?????????????12分

【考点】函数单调性、极值、不等式恒成立、参数讨论、零点存在定理

选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22． 选修4-4：坐标系与参数方程

（改编，容易）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l的直角坐标方程为x?y?1?0，曲线C的极坐标方程为

?(1?cos2?)?2asin?(a?0)

（1）设t为参数，若x?1?2t，求直线l的参数方程及曲线C的普通方程； 2（2）已知直线l与曲线C交于A,B，设P(1,0)，且|PA|,|AB|,|PB|依次成等比数列，求实数a的值.

解析：（1），将x?1?22t t代入x?y?1?0，得y?22?2x?1?t??2(t为参数)????????2分

所以l的参数方程为??y?2t?2?由?(1?cos2?)?2asin?(a?0)??(1?2cos??1)?2asin?

2??2cos2??a?sin??x2?ay，所以曲线C的普通方程为x2?ay(a?0)??5分

（2）将直线的参数方程代入x2?ay(a?0)整理得：t2?(22?2a)t?2?0??7分 设A,B对应的参数为t1,t2，为上述方程的两实根

由题：|AB|2?|PA|?|PB|?|t1?t2|2?|t1t2|?a2?4a?1?0 又a?0?a?5?2????????10分

【考点】普通方程、参数方程、极坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义

选修4-5：不等式选讲

23．（原创，容易）已知函数f(x)?|x?1|?|x?2|的最大值为t. （1）求t的值以及此时的x的取值范围；

2（2）若实数a,b满足a?2b?t?2，证明：2a?b?221 4??x?1?(2?x)??3,(x??1)?解：（1）依题意，得f(x)??x+1?(2?x)?2x?1?(?1,3),(?1?x?2)

?(x+1)?(x?2)?3,(x?2)?所以t?3，此时x?[2,??)????????5分

（2）由a?2b?t?2?a?2b?1?a?1?2b?0?b?所以2a?b?b?4b?2?(b?2)?2?（其他证法酌情给分）

【考点】绝对值不等式、简单的不等式证明

22222221， 21????????10分 4

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