数学文卷·2018届湖北省重点中学、齐鲁名校教科研协作体(临沂一
更新时间:2024-07-11 17:04:01 阅读量:2 综合文库 文档下载
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齐鲁名校教科研协作体
山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷(4)
文科数学试题
审题:山东临沂一中 山东邹城一中 湖北天门中学
本试卷共4页,23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(原创,容易)设集合M?[0,3],N?{x?Z|x?1},则M?N?( D ) A.[0,3] B.(1,3] C.{1,2,3} D.{2,3} 选D
2.(原创,容易)已知命题P:?x0为有理数,x0?2x0?1?0,则?p命题为( A ) A.?x为有理数,x?2x?1?0 B.?x为无理数,x?2x?1?0 C.?x0为有理数,x0?2x0?1?0 D.?x0为无理数,x0?2x0?1?0 选A
3.(原创,容易)若复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,且z1?2?i,则复数( C ) A.
22222z1=z23434?i B.??i C.?1 D.1 5555选C
【考点】复数运算及几何意义
4.(改编,容易)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”,请问此人第5天走的路程为( D ) A.36里 B.24里 C.18里 D.12里 选D
????????5. (原创,容易)若平面向量满足a?(2a?b),则a,b的夹角?为( C ) |a?b|?21|a|,
A.30 B.60 C.120 D.150 选C
【考点】平面向量的模、夹角、数量积
6. (原创,容易)若P(x,y)满足约束条件1?x?2x?y?4,且大值为( C )
A.1 B. 4 C.7 D.10 选C
【考点】线性规划
O B A(1,-2) y C x 00003x?z?2,则z的最yx2?y2?1在平面内围成的面积,用随机模拟的方法由7. (原创,中档)为了估计椭圆4计算机设定在x?[0,2],y?[0,2]内随机产生10个随机数组(xi,yi)如下表,得到10个随机点Mi(xi,yi),i?[1,10],i?N,则由此可估计该椭圆所围成的面积为( B ) A.3.2 B.6.4 C.8 D.2? 编号i 1 0 0.7 2 1 1.3 3 0.2 1.4 4 1.2 0.5 5 0 1.6 6 1 0.6 7 2 0.4 8 1.7 1.6 9 0.8 0.3 10 0.9 2 xi yi 选B
【考点】随机数、几何概型
8.(原创,中档)一个几何体三视图如下,则其体积为( D ) A.12 B.8 C.6 D.4 3 4 2 正视图 4 侧视图 3 2
解析:在长方体中进行割补得如图几何体,为一个三棱锥(粗线画的图形),其体积
11V??(2?3)?4?4,选D
32【考点】三视图还原及多面体体积
9. (改编,中档)如图所示的程序框图,若输入a?101201, 则输出的b?( B ) A. 64
B. 46 C. 289 D. 307 0123开始 输入a 解析:经计算得b?1?3?0?3?2?3?1?3?46,选B 【考点】算法及流程图
b?0b?0i?1把a的右数第i位数字赋给t i?1b?b?t?3i?1?1 1b?b?ti??i?2i否 i?5? 是 输出b 结束 10.(原创,中档)已知函数f(x)?2cosx(msinx?cosx)?1(m?0)的最大值为2,则f(x)
一条对称轴方程为( D ) A.x?选D
【考点】三角运算及几何意义
11. (原创,中档)已知三棱锥P?ABC所有顶点都在球O的球面上,底面?ABC是以C为直角顶点的直角三角形,AB?22,PA?PB?PC?3,则球O的表面积为( A ) A.9? B.
???? B.x? C.x? D.x? 124369? C.4? D.? 4解析:设AB中点为D,则D为?ABC的外心,因为PA?PB?PC?3,易证
PD?面ABC,所以球心O在直线PD上,又PA?3,AB?22,算得PD?1,设
球半径为R,则?ODA中,(R?1)?2?R?R?所以S?9?,选A
【考点】线面垂直、球表面积公式
A
12. (原创,难)已知抛物线y?4x,过焦点F作直线l交抛物线于A,B两点,准线与x轴的交点为C,若
2223 2P D O C B |AF|???[3,4],则tan?ACB的取值范围为( B ) |FB|M A 4013415A1 43] B. [,43] C. [,] D. [,] A. [,9253852解析:如图,不妨取A在一象限,设l倾斜角为?,?ACF??
? ??3时,设|BF|?|BB1|?x,易得|A1M|?x,|AM|?2x
|NF|?x3|NF|1cos?? ?,同理??4时,,所以cos??25|FB|2C -1B1 ?N ?F H B
43??11343](或可求cos??所以sin??[,?[,]?sin??[,]) 52??12552又sin??|AH||A1C|??tan?,同理sin??tan?BCF |AF||AA1|43所以?ACF??BCF??,且tan??[,]
52tan2??2tan??21?tan?21?tan?tan??[40,43],选B 9【考点】直线与抛物线、三角函数、值域 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. (原创,容易)e2x?1?1(e?2.71828...)的解集为 12解析:(??,) 答案:(??,) 【考点】简单的指数不等式
14. (原创,容易)已知f(x?1)?cosx,则f(1)? 解析:法1:f(x?1)?cosx?f(x)?cos(x?1)?f(1)?cos0?1 法2:令x?0?f(1)?cos0?1 答案:1
【考点】函数解析式及函数值
15.(原创,较难)?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,M为AB的中点,
12b?2,CM?3,且2ccosB?2a?b,则S?ABC=
解析:
法1:2ccosB?2a?b?2sinCcosB?2sinA?sinB
?2sinCcosB?2sinBcosC?2cosBsinC?sinB?cosC?所以C?60
如图补成平行四边形ACBD,则?CAD?120,CD?23 001 22 A D M 3 a B C , ?ADC中,由余弦定理得(23)2?a2?4?4acos1200?a?2
1?2?2sin600?3 2??????????????????2????2????2????????0法2:同上C?60,2CM?CA?CB?4CM?CA?CB?2CA?CB
所以S?ABC=所以12=4+a?2a?a?2 所以S?ABC=21?2?2sin600?3 答案:3 2【考点】解斜三角形:正余弦定理、面积公式、平面向量基本定理
16. (原创,难)若直线y?a分别与f(x)?ex?1,g(x)?ln(x?1)的图象交于A,B两点,则线段AB长度的最小值为 解析:
法1:f(x)在R增,g(x)在(1,??)增
f(x) g(x) f(x1)?g(x2)?a?(?1,??)?x2?x1?(ea?1)?ln(a?1)?h(a) h?(a)?ea?1在(?1,??)增,且h?(0)?0 a?10 x1 2 -1 x2 所以h(t)在(?1,0)减,(0,??)增
所以h(a)min?h(0)?2,即|AB|min?2
法2:设y?f(x?t)?ex?t?1与g(x)有公切点P(x0,y0),则t?|AB|min。
1?x0?te????y(x0)?g(x0)?11x?1???1?ln(x?1)?ln(x?1)??1?00??00y(x)?g(x)x?1x?10?000?ex0?t?1?ln(x?1)0?令h(x)?ln(x?1)?1?1,x?(1,??),显然h(x)在(1,??)增,且h(2)?0 x?1所以x0?2?t?2,即|AB|min?2 答案:2 【考点】导数、函数单调性、零点
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分12分)
(原创,容易)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4?S2?7a1,S5?30 (1)求{an}的通项公式an;
(2)设bn?1*,数列?bn?的前n项和Tn?log2(m2?m)对任意n?N恒成立,求实数Snm的取值范围.
解析:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 则由S4?S2?7a1,S5?30得??a3?a4?2a1?5d?7a1?a1?d?2,????4分
5(a?2d)?30?1所以an?2?(n?1)?2?2n,即an?2n????6分 (2)由(1)可得Sn?n(n?1),所以bn?111??????8分
n(n?1)nn?111111111Tn?(1?)?(?)?(?)?...?(?)?1?????10分
22334nn?1n?1易知{Tn}在n?N增,当n???时,Tn?1
所以1?log2(m?m)?m?m?2?m?(??,?1]?[2,??)????12分 【考点】等差数列的通项与求和、不等式恒成立 18. (本题满分12分)
(原创,容易)某种植物感染?病毒极易导致死亡,某生物研究所为此推出了一种抗?病毒的制剂,现对20株感染了?病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计;并对植株吸收制剂的量(单位:mg)进行统计.规定:植株吸收在6mg(包括6mg)以上为“足量”,否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计,其中 “植株存活”的13株,对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.
编号 吸收量(mg) 22*01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9 (1)完成以2?2下列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下,认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关?
吸收足量 吸收不足量 1 合计 20 植株存活 植株死亡 合计 (2)若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株,求这3株中恰有1株“植株存活”的概率.
参考数据:
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828n(ad?bc)2,其中n?a?b?c?d K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2解析:(1) 由题意可得“植株存活”的13株,“植株死亡”的7株;“吸收足量”的15株,“吸收不足量”的5株,填写列联表如下:
吸收足量 12 3 15 吸收不足量 1 4 5 合计 13 7 20 植株存活 植株死亡 合计 ?????????????????????????????????????4分
20(12?4?3?1)2K??5.934?6.635
13?7?15?52所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下,认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.???8分
(2)样本中“制剂吸收不足量”有5株,其中“植株死亡”的有4株, 存活的1株. 设事件A:抽取的3株中恰有1株存活
记存活的植株为a,死亡的植株分别为b1,b2,b3,b4
则选取的3株有以下情况:{a,b1,b2},{a,b1,b3},{a,b1,b4},{a,b2,b3},{a,b2,b4},
{a,b3,b4},{b1,b2,b3},{b1,b2,b4},{b1,b3,b4},{b2,b3,b4}
共10种,其中恰有一株植株存活的情况有6种 所以P(A)?63?(其他方法酌情给分.)????????????12分 105【考点】概率与统计:列联表、独立性检验、随机事件的概率 19.(本题满分12分)
(原创,中档)在四棱锥P?ABCD中,PD?底面ABCD ,ABCD为等腰梯形, 且AB//DC,AC?BD,AB?22,DC?2
P N D C
(1)若CM??CP,试确定实数?的值,使PA//面MBD; (2)若?APC?90,设AN?02AP,求三棱锥N?AOD的体积. 3
解:(1)当??1时,PA//面MBD 3证明:设AC?BD?O,连OM,由AB//DC,AB?22,DC?2可得
COCM1CM1??,所以???.此时AP//OM, OAMP2CP3由OM?面MBD,AP?面MBD,故PA//面MBD.????????6分
22(2)设DP?a,易得DA?5?PA?a?5,PC2?a2?2,AC?3 2?(a?5)?(a?2)?9?a?1,所以N到面AOD距离h? 322P 又AB?22,DC?2,AC?BD
N D O A 所以OD?OC?1,OA?OB?2 所以VN?AODM C 1122?(?2?1)?????????12分 3239【考点】立体几何:线面平行、体积 20.(本题满分12分)
B (原创,较难)已知点F(?1,0)及直线l:x??4,若动点P到直线l的距离d满足
d?2|PF|
(1)求点P的轨迹C的方程;
????????(2)若直线PF交轨迹C于另一点Q,且PF?2FQ,以P为圆心r?2|PQ|为半径的
圆被直线l截得的弦为AB,求|AB|.
x2y2??1??4分 解析:(1)设P(x,y),由题意|x?4|?2(x?1)?y?C:4322????????(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), PF?2FQ?y1??2y2
当PQ斜率为0或斜率不存在时不适合题意,设PQ:x?my?1(m?0)
由??x?my?122?3x?4y?12?(3m2?4)y2?6my?9?0?????6分
6m?y?y???y22??13m2?4???0,且???????????8分
?9?yy???2y22122?3m?4?6m23m2?414?(2)????m2?
3m?4?92512(1?m2)27所以|PQ|?|y1?y2|1?m?, ?3m2?482?|PF|?29927|PQ|??d?,r??????????10分 3424设AB中点为M,则|AM|?r2?d2?(2729295 )?()?424所以|AB|?95????12分 2【考点】轨迹方程、直线与圆和椭圆的位置关系、极坐标 21.(本题满分12分)
(原创,难)已知f(x)?(x?1)lnx?(a?1)x
(1)若f(x)在x?1处取得极值,求a并判断该极值为极大值还是极小值; (2)若a?1时,f(x)?k恒成立,求整数k的最大值.
ln3?1.10,ln3.6?1.28 参考数据:ln2?0.69,解析:(1)f?(x)?lnx?1?a(x?0) x由f?(1)?ln1?1?a?0?a??1,此时f(x)?(x?1)lnx
f?(x)?lnx?1?1在(0,??)增, x所以x?(0,1)时,f?(x)?0?f(x)减;x?(1,??)时,f?(x)?0?f(x)增 所以f(1)?0为极小值。?????????????4分
(2)f?(x)?lnx?又f?(3)?ln3?1?1在(0,??)增, x41?0,f?(3.6)?ln3.6??1?0???????????6分 33.6所以必存在唯一x0?(3,3.6)使f?(x0)?0?lnx0?1?1, x0且f(x)在(0,x0)减,(x0,??)增?????????????8分 所以f(x)min?f(x0)?(x0?1)(1?11)?2x0??(x0?),x0?(3,3.6)??10分 x0x0所以k??(x0?1349101),x0?(3,3.6)恒成立,易知?(x0?)?(?,?)?(?4,?3)
x0903x0又k?Z,所以kmax??4?????????????12分
【考点】函数单调性、极值、不等式恒成立、参数讨论、零点存在定理
选做题:请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.
22. 选修4-4:坐标系与参数方程
(改编,容易)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线l的直角坐标方程为x?y?1?0,曲线C的极坐标方程为
?(1?cos2?)?2asin?(a?0)
(1)设t为参数,若x?1?2t,求直线l的参数方程及曲线C的普通方程; 2(2)已知直线l与曲线C交于A,B,设P(1,0),且|PA|,|AB|,|PB|依次成等比数列,求实数a的值.
解析:(1),将x?1?22t t代入x?y?1?0,得y?22?2x?1?t??2(t为参数)????????2分
所以l的参数方程为??y?2t?2?由?(1?cos2?)?2asin?(a?0)??(1?2cos??1)?2asin?
2??2cos2??a?sin??x2?ay,所以曲线C的普通方程为x2?ay(a?0)??5分
(2)将直线的参数方程代入x2?ay(a?0)整理得:t2?(22?2a)t?2?0??7分 设A,B对应的参数为t1,t2,为上述方程的两实根
由题:|AB|2?|PA|?|PB|?|t1?t2|2?|t1t2|?a2?4a?1?0 又a?0?a?5?2????????10分
【考点】普通方程、参数方程、极坐标方程的互化,直线参数方程的几何意义
选修4-5:不等式选讲
23.(原创,容易)已知函数f(x)?|x?1|?|x?2|的最大值为t. (1)求t的值以及此时的x的取值范围;
2(2)若实数a,b满足a?2b?t?2,证明:2a?b?221 4??x?1?(2?x)??3,(x??1)?解:(1)依题意,得f(x)??x+1?(2?x)?2x?1?(?1,3),(?1?x?2)
?(x+1)?(x?2)?3,(x?2)?所以t?3,此时x?[2,??)????????5分
(2)由a?2b?t?2?a?2b?1?a?1?2b?0?b?所以2a?b?b?4b?2?(b?2)?2?(其他证法酌情给分)
【考点】绝对值不等式、简单的不等式证明
22222221, 21????????10分 4
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