近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

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近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

近几年来,运动型问题常常被列为中考的压轴问题。动点问题属于运动型问题,这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上,设计一个或几个动点,并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察。问题常常集几何、代数知识于一体,数形结 合,有较强的综合性。 解决这类问题的策略一般有:1.把握点运动的全过程,要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形,抓住其中的等量关系和变量关系。

2.特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系,化动为静,由特殊情形(特殊点、特殊位置、特殊图形等)过渡到一般情形。要抓住图形在动态变化中暂时静止的某一瞬间,将这些点锁定在某一位置上,问题的实质就容易显现出来,从而得到解题的方法。

3.画出图形,这一步很重要。 因为随着点的移动,与之相关的一些图形肯定随着改变,而且点移动到不同的位置,我们要研究的图形可能会改变。所以,一定要画图,不能凭空想象。

4.当一个问题是有关确定图形的变量之间的关系时,通常建立函数模型求解;当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊值时,通常建立方程模型求解。一般会涉及到全等和相似。

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想:分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想

中考数学(动点问题)考试分析

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

典型例题(历年真题)

一、三角形边上动点

1、(2009年齐齐哈尔市)直线y 点,运动停止.点Q沿线段OA

34

x 6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点出发,同时到达A

运动,速度为每秒1个单

位长度,点P沿路线O→B→A运动. (1)直接写出A、B两点的坐标;

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(2)设点Q的运动时间为t秒,△OPQ的面积为S,求出S与t之间 的函数关系式; (3)当S

485

时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.

解:1、A(8,0) B(0,6)

2、当0<t<3时,S=t2

当3<t<8时,S=3/8(8-t)t

提示:第(2)问按点P到拐点B所有时间分段分类;

第(3)问是分类讨论:已知三定点O、P、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边,②OP为边、OQ为对角线,③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形,根据图形性质求顶点坐标。

2、(2009年衡阳市)

如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm, ∠ABC=60º. (1)求⊙O的直径;

(2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切;

(3)若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动,同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为t(s)(0 t 2),连结EF,当t为何值时,△BEF为直角三角形.

B

B

图(1)

图(2)

图(3)

注意:第(3)问按直角位置分类讨论

3、(2009

重庆綦江)如图,已知抛物线y a(x 1)2 a 0)经过点A( 2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC. (1)求该抛物线的解析式;

(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?

(3)若OC OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1长度单位的速度沿OC和BO动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.

注意:发现并充分运用特殊角∠DAB=60°

当△OPQ面积最大时,四边形BCPQ的面积最小。

4、(2011江苏淮安,28,12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2.点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的

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同侧,设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.

(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是 ;当t=3时,正方形EFGH的边长是 ; (2)当0<t≤2时,求S与t的函数关系式; (3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?

.......

考点:相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;勾股定理;正方形的性质。 专题:计算题;几何动点问题;分类讨论。

分析:(1)当时t=1时,可得,EP=1,PF=1,EF=2即为正方形EFGH的边长;当t=3时,PE=1,PF=3,即EF=4;

(2)正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状,依次为正方形、五边形和梯形;可分三段分别解答:①当0<t≤错误!

未找到引用源。时;②当错误!未找到引用源。<t≤错误!未找到引用源。时;③当错误!未找到引用源。<t≤2时;依次求S与t的函数关系式;

(3)当t=5时,面积最大; 解答:解:(1)当时t=1时,则PE=1,PF=1,∴正方形EFGH的边长是2;当t=3时,PE=1,PF=3,∴正方形EFGH的边长是4; (2):①当0<t≤错误!未找到引用源。时, S与t的函数关系式是y=2t³2t=4t2;

②当错误!未找到引用源。<t≤错误!未找到引用源。时, S与t的函数关系式是: y=4t2﹣错误!未找到引用源。[2t﹣错误!未找到引用源。(2﹣t)]³错误!未找到引用源。[2t﹣错误!未找到引用源。(2﹣t)] =﹣错误!未找到引用源。2

t+11t﹣3; ③当错误!未找到引用源。<t≤2时; S与t的函数关系式是y=错误!未找到引用源。(t+2)³错误!未找到引用源。(t+2)﹣错误!未找到引用源。(2﹣t)(2﹣t)=3t;

(3)当t=5时,最大面积是: S=16﹣错误!未找到引用源。³错误!未找到引用源。³错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。;

点评:本题考查了动点函数问题,其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质,锻炼了学生运用综合知识解答题目的能

力. 5、(2011 江苏徐州,27,8)如图①,在△ABC中,AB=AC,BC=acm,∠B=30°.动点P以1cm/s的速度从点B出发,沿折线B﹣A﹣C运动到点C时停止运动.设点P出发x s时,△PBC的面积为y cm.已知y与x的函数图象如图②所示.请根据图中信息,解答下列问题:

2

(1)试判断△DOE的形状,并说明理由; (2)当a为何值时,△DOE与△ABC相似?

考点:相似三角形的性质;等腰三角形的判定与性质;解直角三角形。

分析:(1)首先作DF⊥OE于F,由AB=AC,点PP以1cm/s的速度运动,可得点P在边AB和AC上的运动时间相同,即可得点F是OE的中点,即可证得DF是OE的垂直平分线,可得△DOE是等腰三角形;

(2)设D

(3

a

,

12

a错误!未找到引用源。),由DO=DE,AB=AC,可得当且仅当∠DOE=∠ABC时,△DOE∽△ABC,然

2

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后由三角函数的性质,即可求得当

a=

3

错误!未找到引用源。时,△DOE∽△ABC.

解答:解:(1)△DOE是等腰三角形. 作DF⊥OE于F,

∵AB=AC,点PP以1cm/s的速度运动, ∴点P在边AB和AC上的运动时间相同, ∴点F是OE的中点, ∴DF是OE的垂直平分线, ∴DO=DE,

∴DOE是等腰三角形.

引用源。,得

在Rt△DOF中,tan∠DOF=

yDxD

14

a,

14

a错误!未找到引用源。=tan30°

3

错误!未找到

3

错误!未找到引用源。,

(2)由题意得:D

∵DO=DE,AB=AC,

3

12

未找到引用源。), 错误!

2

∴当a=错误!未找到引用源。时,△DOE∽△ABC.

∴当且仅当∠DOE=∠ABC时,△DOE∽△ABC,

点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识.此题综合性较强,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.

6、(2011 郴州)如图,Rt△ABC中,∠A=30°,BC=10cm,点Q在线段BC上从B向C运动,点P在线段BA上从B向A运动.Q、P两点同时出发,运动的速度相同,当点Q到达点C时,两点都停止运动.作PM⊥PQ交CA于点M,过点P分别作BC、CA的垂线,垂足分别为E、F. (1)求证:△PQE∽△PMF;

(2)当点P、Q运动时,请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系?并证明你的猜想;

(3)设BP=x,△PEM的面积为y,求y关于x的函数关系式,当x为何值时,y有最大值,并将这个值求出来.

考点:相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;解直角三角形。 分析:(1)由∠EPF=∠QPM=90°,利用互余关系证明△PQE∽△PMF;

(2)相等.运动速度相等,时间相同,则BP=BQ,∠B=60°,△BPQ为等边三角形,可推出∠MPA=∠A=30°,等角对等边; (3)由面积公式得S△PEM=错误!未找到引用源。PE³PF,解直角三角形分别表示PE,PF,列出函数式,利用函数的性质求解.

解答:证明:(1)∵PE⊥BC,PF⊥AC,∠C=90°, ∴∠PEQ=∠PFM=90°,∠EPF=90°,即∠EPQ+∠QPF=90°, 又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°, ∴∠EPQ=∠FPM, ∴△PQE∽△PMF; (2)相等. ∵PB=BQ,∠B=60°, ∴△BPQ为等边三角形, ∴∠BQP=60°, ∵△PQE∽△PMF, ∴∠PMF=∠BQP=60°, 又∠A+∠APM=∠PMF,

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∴∠APM=∠A=30°, ∴PM=MA;

(3)AB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=20,BP=x,则AP=20﹣x,

PE=xcos30°=错误!未找到引用源。x,PF=(20﹣x) 错误!未找到引用源。,

S△PEM=错误!未找到引用源。PE³PF,

点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,解直角三角形,二次函数的性质.关键是根据题意判断相似三角形,利用相似比及解直角三角形得出等量关系

7、 (2011成都,20,10分)如图,已知线段AB∥CD,AD与BC相交于点K,E是线段AD上一动点. (1)若BK=错误!未找到引用源。KC,求错误!未找到引用源。的值;

(2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE=错误!未找到引用源。AD时,猜想线段AB.BC.CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当AE=错误!未找到引用源。AD(n>2),而其余条件不变时,线段AB,BC,CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论,不必证明.

∴y=错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。x 错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。(20x﹣x)

=﹣错误!未找到引用源。(x﹣10)2+错误!未找到引用源。(0≤x≤10).

∴当x=10时,函数的最大值为错误!未找到引用源。.

2

考点:相似三角形的判定与性质;角平分线的性质。 专题:计算题;几何动点问题。 分析:(1)由已知得

CKBK

25

,由CD∥AB可证△KCD∽△KBA,利用

CDAB

CKBK

求值;

(2)AB=BC+CD.作△ABD的中位线,由中位线定理得EF∥AB∥CD,可知G为BC的中点,由平行线及角平分线性质,得∠

GEB=∠EBA=∠GBE,则EG=BG=错误!未找到引用源。BC,而GF=错误!未找到引用源。CD,EF=错误!未找到引用源。AB,利用EF=EG+GF求线段AB.BC.CD三者之间的数量关系;

当AE=错误!未找到引用源。AD(n>2)时,EG=BG=错误!未找到引用源。BC,而GF=错误!未找到引用源。CD,EF=

n 1n

AB,EF=EG+GF可得BC+CD=(n-1)AB.

解答:解:(1)∵BK=错误!未找到引用源。KC,∴又∵CD∥AB, ∴△KCD∽△KBA,∴

CKBK

25

∴EG=BG=错误!未找到引用源。BC,而GF=错误!未找到引用源。CD,EF=错误!未找到引用源。AB, ∵EF=EG+GF,∴AB=BC+CD;

CDAB

CKBK

25

(2)当BE平分∠ABC,AE=错误!未找到引用源。AD时,

AB=BC+CD.

证明:取BD的中点为F,连接EF交BC与G点, 由中位线定理,得EF∥AB∥CD,∴G为BC的中点,∠GEB=∠EBA,

又∠EBA=∠GBE,∴∠GEB=∠GBE,

-1)AB.

当AE=错误!未找到引用源。AD(n>2)时,BC+CD=(n

8、(2011山东青岛,24,10分)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于点D,且BD=8cm.点M从点A出发,沿AC的方向匀速运动,速度为2cm/s;同时直线PQ由点B出发,沿BA的方向匀速运动,速度为1cm/s,运动过程中始终保持PQ∥AC,直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F.连接PM,设运动时间为ts(0<t<5). (1)当t为何值时,四边形PQCM是平行四边形?

(2)设四边形PQCM的面积为ycm2,求y与t之间的函数关系式;

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(3)是否存在某一时刻t,使S四边形PQCM=

916

S△ABC?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;

(4)连接PC,是否存在某一时刻t,使点M在线段PC的垂直平分线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.

考点:相似三角形的判定与性质;一元二次方程的应用;线段垂直平分线的性质;勾股定理。 专题:综合题。

分析:(1)假设PQCM为平行四边形,根据平行四边形的性质得到对边平行,进而得到AP=AM,列出关于t的方程,求出方程的解得到满足题意t的值;

(2)过点P作PE垂直AC.由PQ运动的速度和时间t可知线段BP=t,根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC,根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形,即BP=PQ=t,再由证得的相似三角形得底比底等于高比高,用含t的代数式就可以表示出BF,进而得到梯形的高PE=DF=8﹣t,又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t,所以梯形的下底CM=10﹣2t.最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式; (3)根据三角形的面积公式,先求出三角形ABC的面积,又根据S四边形PQCM=y的值,代入第二问求出的y与t的解析式中求出t的值即可;

(4)假设存在,则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC,过点M作MH垂直AB,由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB,由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长,再由AP的长减AH的长表示出PH的长,从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方,再由AC的长减AM的长表示出MC的平方,根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值. 解答:解:(1)假设四边形PQCM是平行四边形,则PM∥QC, ∴AP=AM,即10﹣t=2t,解得t=错误!未找到引用源。, ∴当t=错误!未找到引用源。s时,四边形PQCM是平行四边形;

(2)过P作PE⊥AC,交AC与E,如图所示:

y=

916

S△ABC,求出四边形PQCM的面积,从而得到了

12

(PQ MC) FD

1

4 22

(t 10 2t) 8 t t 8t 4025 5

错误!未找到引用源。; (3)S△ABC=当y=

12

AC BD

1

916

S△ABC=

916

40 352

245

10 8 40,

时,

25

2

t 8t 40

2

452

解得t1

52

,t2

(舍去);

(4)假设存在某一时刻t,使得M在线段PC的垂直平分线上,则MP=MC,

过M作MH⊥AB,交AB与H,

∵PQ∥AC,∴△PBQ∽△ABC,∴△PBQ为等腰三角形,PQ=PB=t, ∴

∵∠A=∠A,∠AHM=∠ADB=90°, ∴△AHM∽△ADB, ∴

HMBD

HM8

BFBD

BPBA

,即

BF8

t10

,解得BF=

45

AHADAH6

AMAB2t10

,又

6, 65t,

t,

∴FD=BD﹣BF=8﹣错误!未找到引用源。,又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t, ,∴HM

85

t,AH

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

即HP 10 t 在

2

65

t 10

115

t,

HMP

∵MP2=MC2,即解得:t1 ∴t=

37

三形

2

520

t 44t 100 100 40t 4t,

22

11 372 8 2

MP t 10 t t 44t 100,

5 5 5

又∵MC=(10﹣2t)=100﹣40t+4t,

2

2

2

17

,t2=0,

2017

s时点M在线段PC的垂直平分线上.

点评:本题综合考查了平行四边形的性质,三角形相似的判定与性质,垂直平分线的性质以及勾股定理的应用.第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例,进而求出关系式,第三问和第四问都属于探究性试题,需要采用“逆向思维”,都应先假设存在这样的情况,从假设出发作为已知条件,寻找必要条件,从而达到解题的目的.

9、(2011湖南长沙,26,10分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,

在其一侧作等边三角线APQ.当点P运动到原点O处时,记Q得位置为B. (1)求点B的坐标;

(2)求证:当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值;

(3)是否存在点P,使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:动点问题 等边三角形 全等三角形 梯形 探索存在问题 专题:动点问题 压轴题

分析:(1)在边长为2的正△ABO中,过过点B作BC⊥y轴于点C,由特殊角的三角函数值易求BC

OC=AC=1,从而B

1).

(2)由于△ABO和△APQ都是正三角形,得∠PAQ=∠OAB=60°,从而∠PAO=∠QAB,再加上AP=AQ,AO=AB,利用“SAS”可证明△APO≌△AQB,从而∠ABQ=∠AOP=90°总成立,即当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值90°.

(3)梯形中只有一组对边平行,故四边形要是梯形,就得看哪两组对边平行,由(2)易知点Q总在过点B且与AB垂直的直线上,可见AO与BQ不平行.此时,分两种情况讨论AB∥OQ,即点P在原点O的两侧(左右两边时).如下面两图,①左图,在Rt△BOQ中,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.又OB=OA=2,可求得BQ

APO≌△AQB,从而OP=

BQ

=P

的坐标为( 0).

②如右图,当AQ∥OB时,在Rt△ABQ中,∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°,由AB=2,可得OP=BQ=

P的坐标为(2

3,0).

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解答:(1)如下图,过点B作BC⊥y轴于点C.

∵A(0,2),△AOB为等边三角形 ∴AB=OB=2,∠BAO=60°, ∴BC

∴B

0)∴此时P

的坐标为(.

OC=AC=1,

1).

(2)当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,

不失一般性.

∵∠PAQ=∠OAB=60° ∴∠PAO=∠QAB

在△APO和△AQB中,∵AP=AQ,∠PAO=∠

②如上图,当点P在x轴正半轴上时,点Q在点

B的上方,此时,若AQ∥OB,则四边形AOQB即

是梯形,当AQ∥OB时,∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°.

又AB=2,可求得BQ

由(2)可知,△APO≌△AQB,∴OP=BQ

=,

QAB,AO=AB

∴△APO≌△AQB总成立, ∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立,

∴当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,

∠ABQ为定值90°.

(3)由(2)可知,点Q总在过点B且与AB垂直的直线上,可见AO与BQ不平行.

①如下图,当点P在x轴负半轴上时,点Q在点

)∴此时P

的坐标为(.

0)或( 0)综上,P

的坐标为(

B的下方,此时,若AB∥OQ,四边形AOQB即

是梯形,当AB∥OQ时,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°. 又OB=OA=2,可求得BQ

由(2)可知,△APO≌△AQB,∴OP=BQ

点评:本题是第二道压轴题,在平面直角坐标系中,以两条坐标轴上的一个定点(y轴)与一个动点(x轴)为出发点,构造两个等边三角形,由此设计三个有梯度的问题:第一题是基础题,求定点B的坐标;而第二题求证∠ABQ为定值,从而等

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

边三角形的性质不难发现:通过证明两三角形全等可以解决问题;真正压轴是最后一问,探索当以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形时动点P的坐标,这会让大多数考生非常纠结的问题:当静下心来思索,就会发现AO与BQ不平行,此时目标只指另外一组对边AB∥OQ,结合第二问题的结论,用分类思想结合画图,就会豁然开朗.

10、(2011江苏无锡,27,10分)如图,已知O(0,0)、A(4,0)、B(4,3).动点P从O点出发,以每秒3个单位的速度,沿△OAB的边0A、AB、B0作匀速运动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发,运动的时间为t秒,当点P运动到O时,它们都停止运动.

(1)当P在线段OA上运动时,求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围;

(2)当P在线段AB上运动时,设直线l分别与OA、OB交于C、D,试问:四边形CPBD是否可能为菱形?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线l的出发时间,使得四边形CPBD会是菱形.

考点:直线与圆的位置关系;解一元一次方程;坐标与图形性质;勾股定理;菱形的性质。 专题:计算题;代数几何综合题;动点型。

分析:(1)根据点P与直线l的距离d<1分为点P在直线l的左边和右边,分别表示距离,列不等式组求范围; (2)四边形CPBD不可能为菱形.依题意可得AC=t,OC=4﹣t,PA=3t﹣4,PB=7﹣3t,由CD∥AB,利用相似比表示CD,由菱形的性质得CD=PB可求t的值,又当四边形CPBD为菱形时,PC=PB=7﹣3t,把t代入PA2+AC2,PC2中,看结果是否相等如果结果不相等,就不能构成菱形.设直线l比P点迟a秒出发,则AC=t﹣a,OC=4﹣t+a,再利用平行线表示CD,根据CD=PB,PC∥OB,得相似比,分别表示t,列方程求a即可. 解答:解:(1)当P在线段OA上运动时,OP=3t,AC=t, ⊙P与直线l相交时,错误!未找到引用源。

又当四边形CPBD为菱形时,PC=PB=7﹣3t,当t=错误!未找到引用源。时,

代入PA2+AC2=(3t﹣4)2+t2=错误!未找到引用源。,PC2=(7﹣3t)2=错误!未找到引用源。, ∴PA2+AC2≠PC2,就不能构成菱形.

设直线l比P点迟a秒出发,则AC=t﹣a,OC=4﹣t+a, 由CD∥AB,得CD=错误!未找到引用源。(4﹣t+a),由CD=PB,得错误!未找到引用源。(4﹣t+a)=7﹣3t, 解得t=错误!未找到引用源。PC∥OB,PC=CD,得

4 (3t t) 1

,解得错误!未找到引用源。<t<错误!

(3t t) 4 1

未找到引用源。;

(2)四边形CPBD不可能为菱形.

依题意,得AC=t,OC=4﹣t,PA=3t﹣4,PB=7﹣3t, ∵CD∥AB,

∴错误!未找到引用源。

16 3a9

CDAB

OCOA

,即错误!未找到引

PCOB

APAB

,即AB PC=OB AP,

用源。

CD3

4 t4

3³错误!未找到引用源。(4﹣t+a)=5³(3t﹣4), 解得t=错误!未找到引用源。

9a 11669524

解得CD=错误!未找到引用源。(4﹣t), 由菱形的性质,得CD=PB,

即错误!未找到引用源。(4﹣t)=7﹣3t, 解得t=错误!未找到引用源。,

则错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 解得a=错误!未找到引用源。误!未找到引用源。秒出发.

,即直线l比P点迟错

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

点评:本题考查了直线与圆的关系,勾股定理的运用,菱形的性质.关键是根据菱形的性质,对边平行,邻边相等,得出相似比及边相等的等式,运用代数方法,列方程求解.

二、特殊四边形边上动点

1、(2009年吉林省)如图所示,菱形ABCD的边长为6厘米, B 60°.从初始时刻开始,点P、Q同时从A点出发,点P以1厘米/秒的速度沿A C B的方向运动,点Q以2厘米/秒的速度沿A B C D的方向运动,当点Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动,设P、Q运动的时间为x秒时,△APQ与△ABC重叠部分的面....积为y平方厘米(这里规定:点和线段是面积为O的三角形),解答下列问题:

(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒;

(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中,当△APQ是等边三角形时x的值是 (3)求y与x之间的函数关系式.

B

提示:第(3)问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类 ; 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。 2、(2009年哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为( 3,4),点

C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.

(1)求直线AC的解析式;

(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S 0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围); (3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直 线AC所夹锐角的正切值. 图(1)

图(2)

注意:第(2)问按点P到拐点B所用时间分段分类;

第(3)问发现∠MBC=90°,∠BCO与∠ABM互余,画出点P运动过程中, ∠MPB=∠ABM的两种情况,求出t值。 利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值. 3、(2009年温州)如图,在平面直角坐标系中,点A(

3,0),B(33,2),C(0,2).动点D以每秒1个单位的速度从

点0出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动.过点E作EF上AB,交BC于点F,连结DA、DF.设运动时间为t秒. (1)求∠ABC的度数; (2)当t为何值时,AB∥DF; (3)设四边形AEFD的面积为S. ①求S关于t的函数关系式;

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

②若一抛物线y=x2+mx经过动点E,当S<2注意:发现特殊性,DE∥OA

4、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y

3时,求m的取值范围(写出答案即可).

118

x

2

49

x 10与

x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B. 过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)

(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0<t<理由;

(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程. 提示:第(3)问用相似比的代换,

得PF=OA(定值)。

第(4)问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.

5、(2011 山西,26)如图,在平面直角坐标系中.四边形OABC是平行四边形.直线l经过O、C两点.点A的坐标为(8,o),点B的坐标为(11.4),动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O一C﹣B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t>0).△MPQ的面积为S. (1)点C的坐标为 ,直线l的解析式为错误!未找到引用源。.

(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围. (3)试求题(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值.

(4)随着P、Q两点的运动,当点M在线段CB上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N.试探究:当t为何值时,△

92

时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明

QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题;数形结合;分类讨论。

分析:(1)由平行四边形的性质和点A、B的坐标便可求出C点坐标,将C点坐标代入正比例函数即可求得直线l的解析式; (2)根据题意,得OP=t,AQ=2t,根据t的取值范围不同分三种情况分别进行讨论,得到三种S关于t的函数,解题时注意t的取值范围;

(3)分别根据三种函数解析式求出当t为何值时,S最大,然后比较三个最大值,可知当当t=错误!未找到引用源。时,S有最大值,最大值为

1289

(4)根据题意并细心观察图象可知;当t=错误!未找到引用源。时,△QMN为等腰三角形.

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

解答:解:(1)由题意知:点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11.4),

且OA=BC,故C点坐标为C(3,4), 设直线l的解析式为y=kx, 将C点坐标代入y=kx, 解得k=错误!未找到引用源。,

∴直线l的解析式为y=错误!未找到引用源。x; 故答案为(3,4),y=错误!未找到引用源。x;

(2)解:根据题意,得OP=t,AQ=2t.分三种情况讨论: ①当0<t≤错误!未找到引用源。时,如图l,M点的坐标是(t,

t=16﹣3t,MP=4. S=

12

MP MF=

12

4 (16﹣3t)=﹣6t+32

①②③中三个自变量t的取值范围.(8分)

评分说明:①、②中每求对l个解析式得(2分),③中求对解析式得l分.①②③中三个自变量t的取值范围全对 才可得(1分).

(3)解:①当0<t≤错误!未找到引用源。时,S=

2

43

t).

153153

∵a=错误!未找到引用源。>0,抛物线开口向上,对称轴

为直线t=﹣20,

∴当0<t≤错误!未找到引用源。时,S随t的增大而增大. ∴当t=错误!未找到引用源。时,S有最大值,最大值为

t

2

16

t

2

(t 20)

2

160

过点C作CD⊥x轴于D,过点Q作QE⊥x轴于E,可得△AEO

∽△ODC

856

AQOC

AEOD

QECD

,∴

2t5

AE3

QE4

,∴AE=错

②当错误!未找到引用源。<t≤3时,S=﹣2t+

2

误!未找到引用源。,EQ=

8t5

323

t 2(t

83

)

2

1289

∴Q点的坐标是(8+

6t

∵a=﹣2<0,抛物线开口向下.

∴当t=错误!未找到引用源。时,S有最大值,最大值为

错误!未找到引用源。),∴PE=8+

5,

1289

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ∴S=②当

12

MP PE

12

43

t (8

15

t)

215

t

2

163

tt

③当3<t<错误!未找到引用源。时,S=﹣6t+32, ∵k=﹣6<0.∴S随t的增大而减小.

又∵当t=3时,S=14.当t=错误!未找到引用源。时,S=0.∴0<S<14.

综上所述,当t=错误!未找到引用源。时,S有最大值,最

52

<t≤3时,如图2,过点q作QF⊥x轴于F,

∵BQ=2t﹣5,∴OF=11﹣(2t﹣5)=16﹣2t

∴Q点的坐标是(16﹣2t£¬4),∴PF=16﹣2t﹣t=16﹣3t ∴

S=

2

用源。

大值为

1289

错误!未找到引用源。.

12

MP PF

12

43

t (16 3t) 2t

323

t

评分说明:①②③各(1分),结论(1分);若②中S与t的值仅有一个计算错误,导致最终结论中相应的S或t有误,则②与结论不连续扣分,只扣(1分);③中考生只要答出S随t的增大而减小即可得分.

(4)当t=错误!未找到引用源。时,△QMN为等腰三角形.

③当点Q与点M相遇时,16﹣2t=t,解得t=错误!未找到引用源。.

当3<t<错误!未找到引用源。时,如图3,MQ=16﹣2t﹣

点评:本题是二次函数的综合题,其中涉及的到的知识点有抛物线最大值的求法和动点问题等知识点,是各地中考的热点和难点,解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用,同学们要加强训练,属于中档题.

6、(2011梧州,26,12分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6cm,AB=8cm,BC=14cm.动点P、Q都从点C出发,点P沿C→B方向做匀速运动,点Q沿C→D→A方向做匀速运动,当P、Q其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.

(1)求CD的长;

(2)若点P以1cm/s速度运动,点Q以2的速度运动,连接BQ、PQ,设△BQP面积为S(cm2),点P、Q运动的时间

为t(s),求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围; (3)若点P的速度仍是1cm/s,点Q的速度为acm/s,要使在运动过程中出现PQ∥DC,请你直接写出a的取值范围.

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

考点:直角梯形;根据实际问题列二次函数关系式;勾股定理;解直角三角形。

分析:(1)过D点作DH⊥BC,垂足为点H,则在Rt△DCH中,由DH、CH的长度,运用勾股定理即可求出CD的长; (2)由于点P在线段CB上运动,而点Q沿C→D→A方向做匀速运动,所以分两种情况讨论:①点Q在CD上;②点Q在DA上.针对每一种情况,都可以过Q点作QG⊥BC于G.由于点P、Q运动的时间为t(s),可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度,然后根据三角形的面积公式即可求出S与t的函数关系式,并写出t的取值范围; (3)令DQ=CP,Q点在AD边上,求出a的取值范围. 解答:解:(1)过D点作DH⊥BC,垂足为点H,则有DH=AB=8cm,BH=AD=6cm.

∴CH=BC﹣BH=14﹣6=8cm. 在Rt△DCH中,∠DHC=90°,

CD=2+CH2=8.

(2)当点P、Q运动的时间为t(s),则PC=t.

①当点Q在CD上时,过Q点作QG⊥BC,垂足为点G,则

②当点Q在DA上时,过Q点作QG⊥BC,垂足为点G, 则:QG=AB=8cm,BP=BC﹣PC=14﹣t,

∴S△BPQ=错误!未找到引用源。BP³QG=错误!未找到引用源。(14﹣t)³8=56﹣4t.

当Q运动到A点时所需要的时间t=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=4+错误!未找到引用源。. ∴S=56﹣4t(4<t≤4+错误!未找到引用源。). 综合上述:所求的函数关系式是: S=14t﹣t2(0<t≤4),

S=56﹣4t(4<t≤4+错误!未找到引用源。);

(3)要使运动过程中出现PQ∥DC,a的取值范围是a≥1+..

4

3

QC=2²t.

又∵DH=HC,DH⊥BC, ∴∠C=45°.

∴在Rt△QCG中,QG=QC²sin∠C=2t³sin45°=2t. 又∵BP=BC﹣PC=14﹣t,

∴S△BPQ=错误!未找到引用源。BP³QG=错误!未找到引用源。(14﹣t)³2t=14t﹣t2.

当Q运动到D点时所需要的时间t=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=4. ∴S=14t﹣t(0<t≤4).

2

点评:本题考查了动点与图形面积问题,需要通过题目的条件,分类讨论,利用特殊三角形,梯形的面积公式进行计算. 7(2011 株洲,23,)如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点,PO的延长线交BC于Q. (1)求证:OP=OQ;

(2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P从点A出发,以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒,请用t表示PD的长;并求t为何值时,四边形PBQD是菱形.

考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;菱形的性质;矩形的性质。

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

专题:证明题;动点型。

分析:(1)本题需先根据四边形ABCD是矩形,得出AD∥BC,∠PDO=∠QBO,再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB,即可证出OP=OQ.

(2)本题需先根据已知条件得出∠A的度数,再根据AD=8厘米,AB=6厘米,得出BD和OD的长,再根据四边形PBQD是菱形时,证出△ODP∽△ADB,即可求出t的值,判断出四边形PBQD是菱形. 解答:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC

∴∠PDO=∠QBO,又OB=OD,∠POD=∠QOB ∴△POD≌△QOB ∴OP=OQ (2)PD=8﹣t

∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=90°, ∵AD=8cm,AB=6cm, ∴BD=10cm, ∴OD=5cm.

点评:本题主要考查了矩形的性质,在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来是解本题的关键. 8、(2011 丹东,25,12分)己知:正方形ABCD.

(1)如图1,点E、点F分别在边AB和AD上,且AE=AF.此时,线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么?请直接写出结论.

(2)如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当0°<α<90°时,连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立,如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.

(3)如图3,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当a=90°时,连接BE、DF,猜想沟AE与AD满足什么数量关系时,直线DF垂直平分BE.请直接写出结论.

(4)如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当90°<α<180°时,连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF,则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形?请直接写出结论.

当四边形PBQD是菱形时,PQ⊥BD, ∴∠POD=∠A,

又∠ODP=∠ADB∴△ODP∽△ADB, ∴

ODPD

5

ADBD

错误!未找到引用源。,即错误!未找到引

用源。解得t=

810

8 t

7

4

错误!未找到引用源。,即运动时间为错误!未

找到引用源。秒时,四边形PBQD是菱形.

考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;正方形的性质。 专题:证明题。

分析:(1)根据正方形的性质,AB=AD,由AE=AF,可得BE=DF且BE⊥DF; (2)通过证明△DFA≌△BEA,可得(1)中的结论依然成立;

(3)连接BD,直线DF垂直平分BE,可得AD+AE=BD,BD=错误!未找到引用源。

2AD,解答出即可;

(4)如图,通过证明△DAF≌△BAE,可得DF=BE,结合(2)中结论,可得到各边中点所组成的四边形的形状; 解答:证明:(1)BE=DF且BE⊥DF; (2)在△DFA和△BEA中,

∵∠DAF=90°﹣∠FAB,∠BAE=90°﹣∠FAB, ∴∠DAF=∠BAE, 又AB=AD,AE=AF, ∴△DFA≌△BEA, ∴BE=DF;∠ADF=∠ABE, ∴BE⊥DF;

(3)AE=(错误!未找到引用源。﹣1)AD;

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

(4)正方形.

点评:本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线及正方形的性质,本题的综合性较强,掌握并熟练应用以上性质是解答本题的关键.

9、(2011天水,26)在梯形OABC中,CB∥OA,∠AOC=60°,∠OAB=90°,OC=2,BC=4,以点O为原点,OA所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,另有一边长为2的等边△DEF,DE在x轴上(如图(1)),如果让△DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动,开始时点D与点A重合,当点D到达坐标原点时运动停止.

(1)设△DEF运动时间为t,△DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式.

(2)探究:在△DEF运动过程中,如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G,是否存在这样的时刻t,使得△OAG的面积与梯形OABC的面积相等?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。

分析:(1)根据F与B重合前后及E与A重合前后,分三种情况求S关于t的函数关系式;

(2)依题意得D(4﹣t,0),求出直线OC解析式,根据DF∥OC确定直线DF解析式,再由△OAG的面积与梯形OABC的面积相等,求出G点纵坐标,根据G点在抛物线上求G点横坐标,代入直线DF解析式求t,判断是否符号t的取值范围即可. 解答:解:(1)依题意得OA=5,

当0≤t<1时,

s=

2

5

x2

5

x,

t2,

由C点坐标可知,直线OC解析式为y

当1≤t<2时,

s=

2

(2﹣t)2=

2

t2

∵DF∥OC,

∴设直线DF解析式为y

+k, t﹣4),

将D(4﹣t,0)代入得k

当2≤t≤5时,

s=(2)不存在. 依题意,得C(1

∴直线DF:y

t﹣4),

,B(5

,,抛物线对称轴为

设△OAG的OA边上高为h,由S△OAG=S梯形OABC,得

12

x=3,

抛物线与x轴两交点坐标为O(0,0),(6,0), 设抛物线解析式为y=ax(x﹣6),

³5³h=

12

³(4+5

解得

5

将C点坐标代入,得a=

5

,∴y=

5

x(x﹣6)=

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

将y

=

5

代入y=

5

x(x﹣6)中,得x=3±

分别代入直线DF:y

t﹣4)中,得t=

145

145

∴F(3﹣

5

)或(

5

),

但0≤t≤5, ∴不存在.

10、(2011 泰州,28,12分)在平面直角坐标系xOy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限.

(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;

(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上; (3)设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围,并说明理由.

考点:正方形的性质;坐标与图形性质;全等三角形的判定与性质;解直角三角形。 专题:几何动点问题;几何综合题。

分析:(1)当∠BAO=45°时,因为四边形ABCD是正方形,P是AC,BD对角线的交点,能证明OAPB是正方形,从而求出P

点的坐标.

(2)过P点做x轴和y轴的垂线,可通过三角形全等,证明是角平分线. (3)因为点P在∠AOB的平分线上,所以h>0. 解答:解:(1)∵∠BPA=90°,PA=PB,

∴∠PAB=45°, ∵∠BAO=45°, ∴∠PAO=90°,

∴四边形OAPB是正方形,

(2)作PE⊥x轴交x轴于E点,作PF⊥y轴交y轴于F点,

∵∠BPE+∠EPA=90°,∠EPB+∠FPB=90°, ∴∠FPB=∠EPA, ∵∠PFB=∠PEA,BP=AP, ∴△PBF≌△PAE,

∴P点的坐标为:

2

a

2

a).

∴PE=PF,

∴点P都在∠AOB的平分线上.

(3)因为点P在∠AOB的平分线上,所以h>0.

点评:本题考查里正方形的性质,四边相等,四角相等,对角线互相垂直平分,且平分每一组对角,以及坐标与图形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识点.

11、(2011江苏无锡,26,6分)如图,等腰梯形MNPQ的上底长为2,腰长为3,一个底角为60°.正方形ABCD的边长为1,它的一边AD在MN上,且顶点A与M重合.现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚,翻滚到有一个顶点与

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

Q重合即停止滚动.

(1)请在所给的图中,用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图;

(2

)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S.

考点:扇形面积的计算;等腰梯形的性质;弧长的计算;解直角三角形。 专题:作图题;几何综合题。

分析:(1)根据点A绕点D翻滚,然后绕点C翻滚,然后绕点B翻滚,半径分别为1、150°,据此画出圆弧即可.

(2)根据总结的翻转角度和翻转半径,求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可. 解答:解:(1)作图如图;

2、1,翻转角分别为90°、90

°、

(2)∵点A绕点D翻滚,然后绕点C翻滚,然后绕点B翻滚,半径分别为1、错误!未找到引用源。、1,翻转角分别为90°、90°、150°,

∴S=

180 1

360

2

90 (2)

360

2

2

150 1360

4

12

1=错误!未找到引用源。+π+错误!未找到引用源。

2

π+2=错误!未找到引用源。π+2.

点评:本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算,是一道不错的综合题,解题的关键是正确的得到点A的翻转角度和半径.

三、直线上动点

1、(2009年湖南长沙)如图,二次函数y ax bx c(a 0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴相交于点C.连结AC、

BC,A、C两点的坐标分别为A( 3,0)、C(0,且当x 4和x 2时二次函数的函数值y相等. (1)求实数a,b,c的值;

(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结MN,将△BMN沿MN翻折,B 点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N2

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

相似?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

提示:第(2)问发现

特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形BNPM为菱形;

第(3)问注意到△ABC为直角三角形后,按直角位置对应分类;先画出与△ABC相似的△BNQ ,再判断是否在对称轴上。 2、(2009眉山)如图,已知直线y

12

x 1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线

y

12

2

x bx c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为 (1,

0)。

⑴求该抛物线的解析式;

⑵动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM MC|的值最大,求出点M的坐标。

提示:第(2)问按直角位置分类讨论后画出图形----①P为直角顶点AE为斜边时,以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P,②A为直角顶点时,过点A作AE垂线交x轴于点P,③E为直角顶点时,作法同②;

第(3)问,三角形两边之差小于第三边,那么等于第三边时差值最大。

3、(2009年兰州)如图①,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4), 点C在第一象限.动点P在正方形 ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.

(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;

(2)求正方形边长及顶点C的坐标;

(3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标; (4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与

PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.

注意:第(4)问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论;求t值时,灵活

运用等腰三角形“三线合一”。

4、(2009年北京市)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为

A 6,0 ,B

6,0 ,C0,,延长AC到点D,使CD=

(1)求D点的坐标;

12

AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.

(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线y kx b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;

(3)设G为y轴上一点,点P从直线y kx b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。(要求:简述确定G点位置的方法,但不要

求证明)

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

提示:第(2)问,平分周长时,直线过菱形的中心;

第(3)问,转化为点G到A的距离加G到(2)中直线的距离和最小;发现(2)中直线与x轴夹角为60°.见“最短路线问题”专题。 5、(2009年上海市)

D D

D

B

AD∥BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足

图1

C

(Q) B

C

图2

已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,

PQ图3 AD(如图1所示)

PCAB

(1)当AD=2,且点Q与点B重合时(如图2所示),求线段PC的长;

(2)在图8中,联结AP.当AD

32

,且点Q在线段AB上时,设点B、Q之间的距离为x,

S△APQS△PBC

y,其中S△APQ表

示△APQ的面积,S△PBC表示△PBC的面积,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域; (3)当AD AB,且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示),求 QPC的大小.

注意:第(2)问,求动态问题中的变量取值范围时,先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值,然后再根据运动的

特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC⊥BD时,点Q、B重合,x获得最小值; 当P与D重合时,x获得最大值。 第(3)问,灵活运用SSA判定两三角形相似,即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似;或

者用同一法;或者证∠BQP=∠BCP,得B、Q、C、P四点共圆也可求解。

6、(2009年河北)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0). (1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ;

(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)

(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由; (4)当DE经过点C 时,请直接写出t的值. ..

P

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解

提示:(3)按哪两边平行分类,按要求画出图形,再结合图形性质求出t值;有二种成立的情形, DE∥QB,PQ∥BC;

(4)按点P运动方向分类,按要求画出图形再结合图形性质求出t值;有二种情形, CQ=CP=AQ=t时, QC=PC=6-t时.

7、(2009年包头)已知二次函数y ax bx c(a 0)的图象经过点A(1,直线x m0),B(2,0),C(0, 2),(m 2)与x轴交于点D. (1)求二次函数的解析式;

(2)在直线x m(m 2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);

(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由. 提示:

第(2)问,按对应锐角不同分类讨论,有两种情形;

第(3)问,四边形ABEF为平行四边形时,E、F两点纵坐标相等,且AB=EF,对第(2)问中两种情形分别讨论。

2

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/6sm1.html

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