2016~2017厦门湖里区初三数学九年级期末试题及答案

2016~2017厦门湖里区初三数学九年级期末试题及答案

一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）． 1．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ） A．

B．

C．

D．

2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m的取值是（ ）

A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1

3．已知抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）

A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2） 4．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（ ）

沿弦AC翻折交AB

A．80° B．70° C．60° D．50°

5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（ ） A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=1

6．AE⊥BC于点E，如图，已知在?ABCD中，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，AD=5，DC=4 则DA′的大小为（ ）

A．1 B． C． D．2

7．AD相切，如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（ ）

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A．5 B．6 C． D．

8．下列事件中是必然发生的事件是（ ） A．打开电视机，正播放新闻

B．通过长期努力学习，你会成为数学家

C．从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃

D．某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天

9．如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．

10．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上．）

11．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= ． 12．设抛物线y=x2+8x﹣k的顶点在x轴上，则k= ．

13．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D= 度．

第2页（共26页）

14．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是 cm2．

15．不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ． 16．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为 ．

三、解答题：本大题共10个小题，满分102分，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．

17．解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0．

18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中，点A的坐标为（1，1）． （1）将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°画出旋转后的图形；

（2）若点B到达点B1，点C到达点C1，点D到达点D1，写出点B1、C1、D1的坐标．

第3页（共26页）

19．如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：AC=CD．

20．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．

21．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由．

22．如图是函数y=与函数y=在第一象限内的图象，点P是y=的图象上一动

第4页（共26页）

点，PA⊥x轴于点A，交y=的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=的图象于点D．

（1）求证：D是BP的中点； （2）求四边形ODPC的面积．

23．如图，已知二次函数y=﹣点．

（1）求这个二次函数的解析式；

+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

24．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

25．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16

第5页（共26页）

米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x．

26．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，点B是抛物线与y轴交点．判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

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2016-2017学年内蒙古赤峰市宁城县九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）． 1．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】中心对称．

【分析】根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解． 【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故答案为：A．

2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m的取值是（ ）

A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1

【考点】根的判别式．

【分析】方程没有实数根，则△＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

【解答】解：由题意知，△=4﹣4m＜0， ∴m＞1 故选：C．

3．已知抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）

A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2）

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【考点】二次函数的性质．

【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【解答】解：因为y=（x﹣2）2+1为抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）． 故选B．

4．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（ ）

沿弦AC翻折交AB

A．80° B．70° C．60° D．50°

【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）． 【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到等于

所对的圆周角减去

所对的圆周角，然后根据∠ACD

所对的圆周角可得出∠DAC的度数，由三角形外角

的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=20°，

∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°． 根据翻折的性质，

所对的圆周角为∠B，

所对的圆周角为∠ADC，

∴∠ADC+∠B=180°， ∴∠B=∠CDB=70°， 故选B．

第8页（共26页）

5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（ ） A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=1 【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可． 【解答】解：x2+4x﹣5=0， x2+4x=5， x2+4x+22=5+22， （x+2）2=9， 故选：A．

6．AE⊥BC于点E，如图，已知在?ABCD中，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，AD=5，DC=4 则DA′的大小为（ ）

A．1 B． C． D．2

【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．

【分析】过A′作A′F⊥DA于点F，由旋转的性质可得求得A′B，在Rt△ABE中可

求得BE，则可求得A′E，则可求得DF和A′F，在Rt△A′FD中由勾股定理可求得A′D．

【解答】解：

∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=4，∠ABC=∠ADC=60°， ∴BE=AB=2，AE=A′F=

AB=2

，

∵取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′， ∴A′B在线段BC上，且A′B=AB=5， ∴A′E=A′B﹣BE=5﹣2=3， ∴AF=A′E=3，

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∴DF=DA﹣AF=5﹣3=2，

在Rt△A′FD中，由勾股定理可得A′D=故选C．

=

=

，

7．AD相切，如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（ ）

A．5 B．6 C． D．

【考点】切线的性质；正方形的性质．

【分析】求出正方形ANOM，求出AM长和AD长，根据DE=DM求出即可．

【解答】解：

连接OM、ON，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=11，∠A=90°，

∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切， ∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A， ∵OM=ON，

∴四边形ANOM是正方形， ∴AM=OM=5，

第10页（共26页）

∵AD和DE与圆O相切，圆O的半径为5， ∴AM=5，DM=DE， ∴DE=11﹣5=6， 故选B．

8．下列事件中是必然发生的事件是（ ） A．打开电视机，正播放新闻

B．通过长期努力学习，你会成为数学家

C．从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃

D．某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天 【考点】随机事件．

【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．

【解答】解：A、B、C选项可能发生，也可能不发生，是随机事件．故不符合题意；

D、是必然事件． 故选D．

9．如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为（ ）

A． B． C．【考点】几何概率．

D．

【分析】根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．

【解答】解：观察这个图可知：阴影部分占四个小正方形，占总数36个的，

第11页（共26页）

故其概率是． 故选A．

10．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．

【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，

当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限； 此时，没有选项符合，

当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选D．

二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上．）

11．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= ﹣1 ．

【考点】一元二次方程的解．

【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程即可求得m的值．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0， ∴x=0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0，且m﹣1≠0， ∴m2﹣1=0，即（m﹣1）（m+1）=0且m﹣1≠0， ∴m+1=0， 解得，m=﹣1； 故答案是：﹣1．

第12页（共26页）

12．设抛物线y=x2+8x﹣k的顶点在x轴上，则k= ﹣16 ． 【考点】二次函数的性质．

【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0． 【解答】解：根据题意得解得k=﹣16． 故答案为：﹣16．

13．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D= 40 度．

=0，

【考点】切线的性质．

【分析】连接OC，先根据圆周角定理得∠DOC=2∠A=40°，再根据切线的性质定理得∠OCD=90°，则此题易解． 【解答】解：连接OC， ∵∠A=25°，

∴∠DOC=2∠A=50°， 又∠OCD=90°， ∴∠D=40°．

14．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是

cm2．

第13页（共26页）

【考点】解直角三角形；旋转的性质．

【分析】阴影部分为直角三角形，且∠C′AB=30°，AC′=5，解此三角形求出短直角边后计算面积．

【解答】解：∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′， ∵∠CAC′=15°，

∴∠C′AB=∠CAB﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，AC′=AC=5， ∴阴影部分的面积=×5×tan30°×5=

15．不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 【考点】概率公式．

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：∵共4+3+2=9个球，有2个红球， ∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为， 故答案为：．

16．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为 24 ．

．

．

【考点】规律型：图形的变化类．

第14页（共26页）

【分析】由图形可知：第1个图形有3+3×1=6个圆圈，第2个图形有3+3×2=9个圆圈，第3个图形有3+3×3=12个圆圈，…由此得出第n个图形有3+3n个圆圈，进一步代入求得答案即可．

【解答】解：∵第1个图形有3+3×1=6个圆圈， 第2个图形有3+3×2=9个圆圈， 第3个图形有3+3×3=12个圆圈， …

∴第n个图形有3+3n个圆圈．

则第⑦个图形中小圆圈的个数为3+3×7=24， 故选：24．

三、解答题：本大题共10个小题，满分102分，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．

17．解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0． 【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】方程的左边提取公因式x﹣3，即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解．

【解答】解：原式可化为：（x﹣3）（x﹣3+4x）=0 ∴x﹣3=0或5x﹣3=0 解得

18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中，点A的坐标为（1，1）． （1）将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°画出旋转后的图形；

（2）若点B到达点B1，点C到达点C1，点D到达点D1，写出点B1、C1、D1的坐标．

．

第15页（共26页）

【考点】作图-旋转变换．

【分析】（1）分别画出B、C、D三点绕点A顺时针方向旋转90°后的对应点B1、C1、D1即可．

（2）根据图象写出坐标即可．

【解答】解：（1）正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°，旋转后的图形如图所示．

（2）B1（2，﹣1），C1（4，0），D1（3，2）．

19．如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：AC=CD．

第16页（共26页）

【考点】切线的性质；垂径定理．

【分析】AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证． 【解答】∵直线AC与⊙O相切， ∴OA⊥AC，

∴∠OAC=90°，即∠OAB+∠CAB=90°， ∵OC⊥OB， ∴∠BOC=90°， ∴∠B+∠ODB=90°， 而∠ODB=∠ADC， ∴∠ADC+∠B=90°， ∴OA=OB， ∴∠OAB=∠B， ∴∠ADC=∠CAB， ∴AC=CD．

20．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由． 【考点】游戏公平性．

【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．

【解答】解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：

3 4 5 第17页（共26页）

6

第二次第一次 3 4 5 6 33 43 53 63 34 44 54 64 35 45 55 65 36 46 56 66 表中共有16种等可能结果，小于45的两位数共有6种． ∴P（甲获胜）=∵

，

，P（乙获胜）=

．

∴这个游戏不公平．

21．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】观察DG的位置，找包含DG的三角形，要使两条线段相等，只要找到与之全等的三角形，即可找到与之相等的线段． 【解答】解：连接BE，则BE=DG． 理由如下：

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAD﹣∠BAG=∠EAG﹣∠BAG，即∠DAG=∠BAE， 则

，

第18页（共26页）

∴△BAE≌△DAG（SAS）， ∴BE=DG．

22．如图是函数y=与函数y=在第一象限内的图象，点P是y=的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=的图象于点D．

（1）求证：D是BP的中点； （2）求四边形ODPC的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；

（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案． 【解答】（1）证明：∵点P在函数y=上， ∴设P点坐标为（，m）． ∵点D在函数y=上，BP∥x轴， ∴设点D坐标为（，m）， 由题意，得

第19页（共26页）

BD=，BP==2BD， ∴D是BP的中点．

（2）解：S四边形OAPB=?m=6，

设C点坐标为（x，），D点坐标为（，y）， S△OBD=?y?=， S△OAC=?x?=，

S四边形OCPD=S四边形PBOA﹣S△OBD﹣S△OAC=6﹣﹣=3．

23．如图，已知二次函数y=﹣点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）二次函数图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，两点代入y=﹣+bx+c，算出b和c，即可得解析式．（2）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．

【解答】解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=﹣得：解得

，

+4x﹣6．

+bx+c，

∴这个二次函数的解析式为y=﹣

第20页（共26页）

（2）∵该抛物线对称轴为直线x=﹣∴点C的坐标为（4，0）， ∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，

∴S△ABC=×AC×OB=×2×6=6．

=4，

24．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

【考点】切线的判定．

【分析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证；

（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC﹣CD即可求出AD的长． 【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴DE=BE，

第21页（共26页）

在△OBE和△ODE中，

，

∴△OBE≌△ODE（SSS）， ∴∠ODE=∠ABC=90°， 则DE为圆O的切线；

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴BC=AC， ∵BC=2DE=4， ∴AC=8，

又∵∠C=60°，DE=CE，

∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2， 则AD=AC﹣DC=6．

25．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x．

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【考点】一元二次方程的应用．

【分析】本题的等量关系是池底的造价+外围墙的造价+中间隔墙的造价=47200元，由此可列方程求解． 【解答】解：根据题意，得 2（x+整理，得 x2﹣39x+350=0． 解得 x1=25，x2=14． ∵x=25＞16，

∴x=25不合题意，舍去． ∵x=14＜16，

=

＜16，

×400）+2×

×300+200×80=47200，

∴x=14符合题意． 所以，池长为14米．

26．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，点B是抛物线与y轴交点．判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

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【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，然后把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；

（2）根据图形的割补法，可得二次函数，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；

（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解．

【解答】解：（1）将A（﹣4，0），C（2，0）两点代入函数解析式，得

解得

所以此函数解析式为：y=x2+x﹣4；

（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为：（m， m2+m﹣4）， ∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB

=×4×（m2+m﹣4）+×4×（﹣m）﹣×4×4 =﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8 =﹣m2﹣4m =﹣（m+2）2+4，

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∵﹣4＜m＜0，

当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4． 答：m=﹣2时S有最大值S=4． （3）∵点Q是直线y=﹣x上的动点， ∴设点Q的坐标为（a，﹣a）， ∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴， ∴点P的坐标为（a， a2+a﹣4）， ∴PQ=﹣a﹣（a2+a﹣4）=﹣a2﹣2a+4， 又∵OB=0﹣（﹣4）=4，

以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形， ∴|PQ|=OB，

即|﹣a2﹣2a+4|=4，

①﹣a2﹣2a+4=4时，整理得，a2+4a=0， 解得a=0（舍去）或a=﹣4， ﹣a=4，

所以点Q坐标为（﹣4，4），

②﹣a2﹣2a+4=﹣4时，整理得，a2+4a﹣16=0， 解得a=﹣2±2

，

，2﹣2

）或（﹣2﹣2

，2﹣2

，2+2

）．

，2+2

）

所以点Q的坐标为（﹣2+2

综上所述，Q坐标为（﹣4，4）或（﹣2+2）或（﹣2﹣2

时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．

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2017年2月9日

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