2019年秋高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式学案 新人教A版必修5

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3.1 不等关系与不等式

学习目标：1.了解不等式的性质(重点).2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(难点)．

[自 主 预 习·探 新 知]

1．不等符号与不等关系的表示： (1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠； (2)不等关系用不等式来表示．

2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换

[提示] ①不等式a ≥b 应读作：“a 大于或等于b ”，其含义是a >b 或a ＝b ，等价于“a 不小于b ”，即若a >b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≥b 正确．

②不等式a ≤b 应读作：“a 小于或等于b ”，其含义是a <b 或a ＝b ，等价于“a 不大于b ”，即若a <b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≤b 正确．

3．比较两实数a ，b 大小的依据

思考：x 2

＋1与2x 两式都随x 的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x 2

＋1与2x 的大小，而且具有说服力吗？

[提示] 作差：x 2

＋1－2x ＝(x －1)2

≥0，所以x 2

＋1≥2x . 4．不等式的性质

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(1)a >b 且c >d 则a －c >b －d .

(2)a >b 则ac >bc .

(3)a >b >0且c >d >0则a c >b d .

(4)a >b >0则a n >b n .

(5)a >b 则a c 2>b c 2.

[提示] 对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质，

(1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的，故(1)错．

(2)中当c ≤0时，不成立．

(3)中例如5>3且4>1，则54>31

是错的，故(3)错． (4)中对n ≤0均不成立，例如a ＝3，b ＝2，n ＝－1，则3－1>2－1显然错，故(4)错．

(5)因为1c 2>0，所以a ·1c 2>b ·1c

2，故(5)正确．因此正确的结论有(5)． [基础自测]

1．思考辨析

(1)不等式x ≥2的含义是指x 不小于2.( )

(2)若a <b 或a ＝b 之中有一个正确，则a ≤b 正确．( )

(3)若a >b ，则ac >bc 一定成立．( )

(4)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×

提示：(1)正确．不等式x ≥2表示x >2或x ＝2，即x 不小于2.

(2)正确．不等式a ≤b 表示a <b 或a ＝b .故若a <b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≤b 一定正确．

(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此

若a >b ，则ac >bc 不一定成立．

(4)错误．取a ＝4，c ＝5，b ＝6，d ＝2.满足a ＋c >b ＋d ，但不满足a >b .

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- 3 - 2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T

不超过40吨，用不等式表示为( )

A ．T <40

B ．T >40

C ．T ≤40

D ．T ≥40

C [限重就是不超过，可以直接建立不等式T ≤40.]

3．已知a >b ，c >d ，且cd ≠0，则( )

【导学号：91432263】

A ．ad >bc

B ．ac >bc

C ．a －c >b －d

D ．a ＋c >b ＋d

D [a ，b ，c ，d 的符号未确定，排除A 、B 两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，

排除C 项，故选D 项．]

4．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2

，则m ，n 的大小关系是________． m ≥n [m －n ＝2a 2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a 2≥0.]

[合 作 探 究·攻 重 难

]

用不等式表示不等关系

用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面

积不小于110 m 2

，靠墙的一边长为x m ．试用不等式表示其中的不等关系.

【导学号：91432264】

[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18， 这时菜园的另一条边长为30－x 2＝?

????15－x 2(m)． 因此菜园面积S ＝x ·? ????15－x 2，依题意有S ≥110，即x ?

????15－x 2≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为

??? 0<x ≤18，x ? ????15－x 2≥110.

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1．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此

车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．

[解] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则

????? x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，

y ∈N ，

即????? x ＋y

≤9，5x ＋4y ≥30，0≤

x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N . 比较两数(式)的大小 已知a ，b 为正实数，试比较a b ＋b a

与a ＋b 的大小. 【导学号：91432265】

思路探究：注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小．

[解]

法一：(作差法)? ????a b ＋b a －(a ＋b )＝? ????a b －b ＋? ????b a －a ＝a －b b ＋b －a a

＝a －b

a －

b ab ＝a －b 2a ＋b

ab . ∵a ，b 为正实数，

∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0， ∴a －b 2a ＋b ab ≥0，

当且仅当a ＝b 时等号成立．

∴a b

＋b a

≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)．

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- 5 - 法二：(作商法)b a ＋a b

a ＋

b ＝b

3＋a 3ab a ＋b ＝a ＋b

a ＋

b －ab ab a ＋b ＝a ＋b －ab ab ＝a －b 2＋ab ab

＝1＋a －b 2ab ≥1，当且仅当a ＝b 时取等号． ∵b a ＋a b >0，a ＋b >0， ∴b a ＋a b

≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)． 法三：(平方后作差)∵? ????a b

＋b a 2

＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， ∴? ????a b ＋b a 2

－(a ＋b )2＝a ＋b a －b 2ab . ∵a >0，b >0，

∴

a ＋

b a －b 2ab ≥0， 又a b ＋b a >0，a ＋b >0，故a b ＋b a

≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)．

2．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．

[解] (x 3－1)－(2x 2－2x )

＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1)

＝(x －1)(x 2－x ＋1) ＝(x －1)????

??? ????x －122

＋34. 因为x <1，所以x －1<0.

又? ????x －122＋34

>0，

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- 6 - 所以(x －1)????

??? ????x －122＋34<0. 所以x 3－1<2x 2－2x

.

不等式性质的应用

[探究问题]

1．小明同学做题时进行如下变形：

∵2<b <3，

∴13<1b <12

， 又∵－6<a <8，

∴－2<a b <4.

你认为正确吗？为什么？

提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，

不等号方向改变，在本题中只知道－6<a <8.不明确a 值的正负．故不能将13<1b <12

与－6<a <8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．

2．由－6<a <8，－4<b <2，两边分别相减得－2<a －b <6，你认为正确吗？

提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利

用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．

3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？

∵－2<a －b <4，

∴－4<b －a <－2.

又∵－2<a ＋b <2，

∴0<a <3，－3<b <0，

∴－3<a ＋b <3.

这怎么与－2<a ＋b <2矛盾了呢？

提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相

乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a －b <4与－2<a ＋b <2两边相加得0<a <3，又将－4<b －a <－2与－2<a ＋b <4两边相加得出－3<b <2，又将该式与0<a <3两边相加得出－3<a ＋b <3，多次使用了这种转化，导致了a ＋b 范围的扩大．

已知c >a >b >0，求证：a

c －a >b c －b .

【导学号：91432266】

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- 7 - 思路探究：①如何证明c a <c b ？②由c a <c b 怎样得到

c －a a <c －b b

？ [解] ∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0. 由

???a >b >0?1a <1b c >0?c a <c b ， ????c －a a <c －b b c －a c －b a b >0?a c －a >b c －b .

母题探究：1.(变条件，变结论)将例题中的条件“c >a >b >0”变为“a >b >0，c <0”证明：c a >c b .

[证明] 因为a >b >0，所以ab >0，1ab

>0. 于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >c b

. 2．(变条件，变结论)将例题中的条件“c >a >b >0”变为“已知－6<a <8,2<b <3”如何求出2a

＋b ，a －b 及a b 的取值范围．

[解] 因为－6<a <8,2<b <3，所以－12<2a <16，

所以－10<2a ＋b <19.又因为－3<－b <－2，所以－9<a －b <6.又13<1b <12

， (1)当0≤a <8时，0≤a b <4；

(2)当－6<a <0时，－3<a b <0.

由(1)(2)得－3<a b

<4.

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1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，

体育成绩z 超过45分，用不等式组表示为________．

{ x y z >45 [“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以{ x ≥95，y >380，z >45.]

2．若1a <1b

<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有________个. 【导学号：91432267】

1 [由1a <1b <0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确；由1a <1b <0，得??????1a >????

??1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，那么a >b ，故③错误．]

3．已知a ，b 均为实数，则(a ＋3)(a －5)________(a ＋2)(a －4)(填“>”“<”或“＝”)．

< [因为(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以(a ＋

3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．]

4．若8<x <10,2<y <4，则x y 的取值范围是________．

(2,5) [∵2<y <4，∴14<1y <12

. ∵8<x <10，∴2<x y <5.]

5．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋d d

. 【导学号：91432268】

[证明] 因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ， 因为bd >0，所以a b ≤c

d ，所以a b ＋1≤c d ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋d d

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6sji.html