2022优化方案高考总复习·数学理(江苏专用)第八章第7讲知能训练

1．(2016·广州七校联考)抛物线14

x 2＝y 的焦点坐标是________． 解析：由14

x 2＝y ?x 2＝4y ，于是焦点坐标为(0，1)． 答案：(0，1)

2．(2016·江西省名校调研改编)已知抛物线C ：y ＝2 016x 2，则它的准线方程是________． 解析：将抛物线C ：y ＝2 016x 2化为标准方程得x 2＝12 016

y ，所以其焦点坐标为????0，18 064，准线方程为y ＝－18 064

. 答案：y ＝－18 064

3．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24

＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．

解析：由c 2＝9－4＝5得F (－5，0)，

则抛物线方程为y 2＝－45x .

答案：y 2＝－45x

4．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54

x 0，则x 0＝________． 解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为AF ＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14

＝AF ＝54

x 0，解得x 0＝1. 答案：1

5．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．

解析：以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，则抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．

答案：2 6

6．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．

解析：注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p 2

，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3，0)，半径为4的圆．于是依题意有????p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p 2＋3

＝4，解得p ＝2.

答案：2

7．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的

一个交点，若FP →＝4FQ →，则QF ＝________．

解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以PQ ∶PF ＝3∶4，又焦点F

到准线l 的距离为4，所以QF ＝QQ ′＝3.

答案：3

8．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB →＝OA →＋OF

→(O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．

解析：由题可知F (1，0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，－k )，所以B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，

S △BOF ＝12·OF ·|y B |＝12

×1×2＝1. 答案：1

9．抛物线x 2

＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．

解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ????0，p 2，准线l 为y ＝－p 2

，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ? ????－12＋p 22，－p 2，B ? ????12＋p 22

，－p 2，所以AB ＝ 12＋p 2，则

AF ＝AB ＝ 12＋p 2，所以p AF ＝sin π3，即p 12＋p 2＝32，解得p ＝6. 答案：6

10．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1，2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为________．

解析：因为点A 在抛物线上，所以4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1，0)，

设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①

y 22＝4x 2，②

由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)

得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2

. 又因为y 1＋y 2＋23

＝0，所以y 1＋y 2＝－2， 所以k BC ＝－2.

又因为x 1＋x 2＋13

＝1，所以x 1＋x 2＝2， 所以BC 的中点为(1，－1)，

则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，

即2x ＋y －1＝0.

答案：2x ＋y －1＝0

11．(2016·江苏省四校联考)已知抛物线y 2＝2x 上有四点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)、D (x 4，y 4)，点M (3，0)，直线AB 、CD 都过点M ，且都不垂直于x 轴，直线PQ 过点M 且垂直于x 轴，交AC 于点P ，交BD 于点Q .

(1)求y 1y 2的值；

(2)求证：MP ＝MQ .

解：(1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋3，与抛物线方程联立得：y 2－2my －6＝0， 所以y 1y 2＝－6.

(2)证明：直线AC 的斜率为y 1－y 3x 1－x 3＝2y 1＋y 3，所以直线AC 的方程为y ＝2y 1＋y 3

(x －x 1)＋y 1. 所以点P 的纵坐标为y P ＝

6＋y 1y 3y 1＋y 3 ＝6＋????－6y 2y 3－6y 2＋y 3＝6（y 2－y 3）y 2y 3－6

， 同理点Q 的纵坐标为y Q ＝6（y 3－y 2）y 2y 3－6

， 所以y P ＋y Q ＝0，又PQ ⊥x 轴，所以MP ＝MQ .

12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2，2)，其焦点F 在x 轴上．

(1)求抛物线C 的标准方程；

(2)求过点F 且与直线OA 垂直的直线方程；

(3)设过点M (m ，0)(m >0)的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．

解：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px .因为点A (2，2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .

(2)由(1)可得焦点F 的坐标是????12，0，又直线OA 的斜率为22

＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x ＋y －12

＝0. (3)设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0.

将x ＝y k ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1，2＝1±1＋2mk 2k .

由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)，化简得k 2＝4m

. 因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝????1＋1k 2(y 1－y 2)2＝????1＋1k 24（1＋2mk 2

）k 2＝94(m 2＋4m )，所以f (m )＝32

m 2＋4m (m >0).

1．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．

解析：由题可知抛物线焦点坐标为????a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝

2????x －a 4，令x ＝0，可得A 点坐标为????0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2

＝4，得a ＝±8，故抛物线方程为y 2＝±8x .

答案：y 2＝±8x

2．(2016·西安质检)已知点M (－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则MQ －QF 的最小值是________．

解析：抛物线的准线方程为x ＝－12

， 当MQ ∥x 轴时，MQ －QF 取得最小值，

此时点Q 的纵坐标y ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x 得Q 的横坐标x ＝2，则(QM －QF )min

＝|2＋3|－????2＋12＝52. 答案：52

3．(2016·南京、盐城、徐州模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，定点A (22，0)，若射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线l 相交于点N ，则FM ∶MN ＝________．

解析：设直线F A 的倾斜角为α，

因为焦点F (0，1)，定点A (22，0)，

所以tan α＝1－22

＝－24，sin α＝13， 作MB ⊥l ，垂足为点B ，由抛物线的定义可得：FM ＝MB ，

所以FM MN ＝sin(π－α)＝sin α＝13

. 答案：13

4．(2016·鹰潭模拟改编)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线

C 准线上的一点，记向量OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．给出下列

命题：

①?a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形；

②?a <0且b <0，使得向量OP →与ON →垂直；

③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1总成立．

其中，所有正确命题的序号是________．

解析：根据题意可知，当点P 落在准线与x 轴的交点时，PM ＝PN ＝22≠MN ＝4，所以△PMN 不是等边三角形，所以无论P 在何处即?a ，b ∈R ，△PMN 都不是等边三角形．故

①正确，根据题意不妨令M (1，2)，N (1，－2)，令OP →·ON →＝0，即(a ＋b )·1－2(2a －2b )＝0，

整理得3a ＝5b ，所以?a <0且b <0，使得向量OP →与ON →垂直，故②正确，OP →＝(a ＋b ，2a －

2b )，因为点P 在抛物线的准线上，所以a ＋b ＝－1总成立，故③正确．

答案：①②③

5．抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－2，该抛物线上的每个点到准线x ＝－2的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 相切的圆，

(1)求定点N 的坐标；

(2)是否存在一条直线l 同时满足下列条件：

①l 分别与直线l 1和l 2交于A 、B 两点，且AB 中点为E (4，1)；

②l 被圆N 截得的弦长为2.

解：(1)因为抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－2，所以p ＝4，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点，所以定点N 的坐标为(2，0)．

(2)假设存在直线l 满足两个条件，显然l 斜率存在，设l 的方程为y －1＝k (x －4)，k ≠±1.以N 为圆心，同时与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 相切的圆N 的半径为 2.因为l 被圆N

截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1, 即d ＝|2k －1|1＋k 2

＝1，解得k ＝0或43，当k ＝0时，显然不符合AB 中点为E (4，1)的条件，矛盾；当k ＝43

时，l 的方程为4x －3y －13＝0.由?????4x －3y －13＝0，y ＝x ，解得点A 的坐标为(13，13)；由?

????4x －3y －13＝0，y ＝－x ，解得点B 的坐标为????137

，－137.显然AB 的中点不是E (4，1)，矛盾，所以不存在满足条件的直线l . 6.如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．

(1)求抛物线E 的方程；

(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．

解：(1) 依题意，OB ＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝OB sin 30°＝43，y ＝OB cos 30°＝12.因为点B (43，12)在

x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .

(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，

则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由?????y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得?????x ＝x 2

0－42x 0，y ＝－1.

所以Q 为???

?x 20－42x 0，－1. 设定点为M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0

≠0)的x 0，y 0恒成立． 由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，

MQ →＝???

?x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42

－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*) 由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0

≠0)的y 0恒成立， 所以?????1－y 1＝0，y 21＋y 1

－2＝0，解得y 1＝1. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0，1)．

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