经典的微积分习题库

习题1—2

1．确定下列函数的定义域：

1（1）y?；

2x?9（4）y?32．求函数

?1?siny??x??0(x?0)(x?0)（2）y?logaarcsinx；

（3）y?2； sin?x1x?1?loga(2x?3)；（5）y?arccos?loga(4?x2) x?22

的定义域和值域。

3．下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)?x,g(x)?x2；

2

（2）f(x)?cosx,g(x)?1?2sin2（4）f(x)??2；

x?1,g(x)?x?1； x?14．设f(x)?sinx证明：

（3）f(x)?x,g(x)?x0。 xf(x??x)?f(x)?2sin?x?x??cos?x?? 22??5．设f(x)?ax2?bx?5且f(x?1)?f(x)?8x?3，试确定a,b的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？

1?x22223（1）y?x(1?x) （2）y?3x?x； （3）y?；

1?x2ax?a?x（4）y?x(x?1)(x?1)； （5）y?sinx?cosx?1 （6）y?。

27．设f(x)为定义在(??,??)上的任意函数，证明：

（1）F1(x)?f(x)?f(?x) 偶函数； （2）F2(x)?f(x)?f(?x)为奇函数。

8．证明：定义在(??,??)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设f(x) 定义在(?L,L)上的奇函数，若f(x)在(0,L)上单增，证明：f(x)在(?L,0)上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）y?cos(x?2) （2）y?cos4x； （3）y?1?sin?x；

（4）y?xcosx； （5）y?sin2x （6）y?sin3x?tanx。

11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。

（1）y?x3,x?sint

（2）y?au,u?x2； （3）y?logau,u?3x2?2；

（6）y?logau,u?x2?2。

（4）y?u,u?sinx?2 （5）y?u,u?x3 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）y?3(1?x)2?1

（2）y?3(x?1)；

1

2

（3）y?sin2(3x?1)

（4）y?3logacos2x。

2x（3）y?x。

2?113．求下列函数的反函数： （1）y?2sinx；

（2）y?1?loga(x?2)；

习题1—3

1．利用数列极限定义证明：如果limun?A，则lim|un|?|A|，并举例说明反之不然。

n??n??

习题1—4

?x2(x?1)1．设f(x)??

?x?1(x?1)f(x)与limf(x)； （1）作函数y?f(x)的图形； （2）根据图形求极限lim??x?1x?1（3）当x?1时，f(x)有极限吗？

2．求下列函数极限：

xxlim（1）lim； （2）； 2x?0?x?|x|x?0?|x|3．下列极限是否存在？为什么？ （1）limsinx；

x???（3）lim?x?0x。

x2?|x|（2）limarctanx；

x??

1（3）limcos；

x?0x（6）lime?x。

x???（4）lim(1?e?x)；

x??（5）lim|x?1|；

x?1x?1

习题1—5

求下列极限

?12n?11??1?lim????????1．lim?； 2. ； ?22??x???n2x???1?22?3n(n?1)nn???x2?2x?14．lim；

x?1x2?1

x2?53. lim； x?2x?33

(x?h)2?x25. lim； h?0h 6. limx?1x?1。 x?1习题1—6

1．求下列极限：

sinax（1）lim(b?0)；

x?0sinbx（2）limtanx?sinx； 3x?0x

（3）lim1?cosx；

x?0xsinxx2x?tanx（4）lim；

x?0sinx?1?（7）lim?1??；

t???t?

t

arcsinx（5）lim；

x?0x?1?（8）lim?1??x???x?2

x?3?2?（6）lim?1??；

x???x? ；

（9）lim(1?tanx)cotx；

x?0

?x?a?（10）lim??；

x???x?a?x

?x?2??（11）lim?x???x2?1???2x2?11??； （12）lim?1?2?。

x???n?n2．利用极限存在准则证明：

11?1??2???2（1）limn?2??1；

x???n??n?2?n?n??（2）数列2,2?2,2?2?2，?的极限存在； （3）lim

x2?1?1。 x?1x???习题1—7

1．当n无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？

(?1)n2n?11?cosn?1（1）2； （2）； （3）； （4）。

n?1nnn2．已知函数

11xsinx,2,,ln(1?x),ex,e?x

xx（1）当x?0时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （2）当x???时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？

1（3）“是无穷小”，这种说法确切吗？

x3．函数y?xcosx在(??,??)是是否有界？又当x???地，这个函数是否为无穷大？为什么？

4．求下列极限

1?a?a2???ann2?n!000n(|a|?1,|b|?1) （1）lim2； （2）lim； （3）lim ；

x??1?b?b2???bnx??n?2x??n?1x3(?2)n?2n4x2?1（4）lim； （5）lim； （6）lim2；

x??1x?116x?5x?1x??(?2)n?1?3n?1x?25．求下列极限：

sinx??（1）lim?ex??；

x????x?1（2）limx?cos；

x?0x（3）lim?nn??sinn?；

e?xarctanx（4）lim； （5）lim； （6）lime?xarctanx。

x??arctanxx???x??x6．下列各题的做法是否正确？为什么？

(x2?9)x2?9lim?x?9?? （1）limx?9x?9lim(x?9)x?91111?2)?lim?lim2?????0

x?1x?1x?1x?1x?1x?1x?1cosx1（3）lim?limcosx?lim?0。

x??xx??x??x（2）lim(

3

7．证明：当x?0时，arcsinx~x，arctanx~x。 8．利用等价无穷小的性质，求下极限：

sin2xsin2x（1）lim； （2）lim；

x?0sin3xx?0arctanxxsinxnlim（3）lim（为正整数）；（4）。 m,nx?0(sinx)mx?0?1?cosx9．当x?1时，x3?3x?2是x?1是多少阶无穷小？

x?1110．当x???时，4是是多少阶无穷小？

x?1x11111．当x??时，sin是是多少阶无穷小？

xxx

习题1—8

1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：

x（1）f(x)?；

x

?x2(0?x?1)（2）f(x)??；

2?x(1?x?2)??x2(|x|?1)?|x|(x?0)（3）f(x)??； （4）?(x)??。

1(x?0)??x(|x|?1)2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。

nx2?121（1）y?2； （2）y?； （3）y?cos。 tanxxx?3x?2?ex(0?x?1)3．a为何值时函数f(x)??在[0，2]上连续？

?a?x(1?x?2)1?x2nx的连续性，若有间断点，判断共类型。 4．讨论函数f(x)?limn??1?x2n

习题1—9

1．设f(x)连续，证明|f(x)|也是连续的。

2．若f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]上f(x)恒为正，证明：连续。

3．求下列极限：

（1）limx?2x?5； （2）lim(sin2x)； （3）limx?0x?1在[a,b]上迹f(x)23?4sin5x?sin3x；

x?0sinx 4

sinx?sinaax?ab(a?0)； （4）lim； （5）limx?ax?bx?bx?asinx（7）lim2； （8）limthx；

x???x?0x?x（10）lim?x?2（6）limln(1?3x)；

x?0x3（9）lim(x?2x?1)；

x???x?2?x?22；

x?4ln(a?x)?lna（12）lim。

x?0x

（11）limx?x?xx?1x???

习题1—10

1．证明：方程x?3x?1在区间（1，2）上至少有一个根。

2．设f(x)在闭区间[a，b]上连续，x1,x2,?,xn是[a，b]内的n个点，证明：

5???[a,b]，使得

f(?)?

f(x1)?f(x2)???f(xn)

n习题2—1

1．用导数定义求下列函数的导数： （1）y?ax?b （a,b是常数）；

（2）f(x)?cosx；

（3）y?1。 x2．下列各题中假定f?(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么？ （1）lim（3）lim?x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?A； （2）lim?A，其中，f(0)?0；

x?0x?xf(x0?h)?f(x0?h)?A。

h?0h3．利用幂函数求导数公式，求下列函数的导数：

（1）y?x2?x； （3）y?xx2

（2）y?x1.6?3x2； （4）y?；

x2?3xx5。

1，求f?(1),f?(?2)。 x5．已知函数f(x)?x，求f?(2),f?(4)。

16．自由落体运动s?gt2（g=9.8米/秒2）。

2（1）求在从t?5秒到（t??t）秒时间区间内运动的平均速度，设?t?1秒，?0.1秒，0.001秒；

（2）求落体在5秒末的瞬时速度； （3）求落体在任意时刻t的瞬时速度。

4．已知函数f(x)?

5

7．函数在某点没有导数，函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线？举例说明。

?x2(x?1)8．设函数f(x)??为了使函数f(x)在x?1处连续可导，a，b应取什

?ax?b(x?1)么值？

29．求曲线y?sinx在x??及x??处的切线斜率。

310．求曲线y?x3上取横坐标为x1?1及x2?3的两点，作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？

1??xsin(x?0)x?012．证明函数数f(x)??在处连续，但不可导。 x?(x?0)?013．函数y?|sinx|在x?0处的导数是否存在，为什么？ 14．讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性：

1?2?xsin(x?0)（1）f(x)??在点x?0处； x?(x?0)?0x?1（2）y?在点x?1处；

x?1（3）y?|x?2|在点x??2处。

习题2—2

1．求下列函数的导数： （1）y?ax2?bx?c； （4）y?x2cosx； （7）y?

（2）y?x2(2?x)； （5）?(?)??sin?； （8）s?（3）f(v)?(v?1)2(v?1)；

2（6）y?3ax?；

x（9）y?(2?sect)sint。

121?x?x2．求下列函数在指定点处的导数：

（1）f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0，求f?(0)，f?(1)；

；

1?sint；

1?sint

（2）y?x2sin(x?2)，求y?(2)。

3．求下列函数的导数（其中x，t是自变量，a,b是大于零的常数）： （1）y?1a2?x2； 11?x2（2）y?x2x2?a2；

（3）y?1?ln2x； （6）y?cosx2；

（4）y?tanx； 2（5）y?1?ex； ；（8）y?sin2（7）y?1?2x?xxcot； （9）y?sin2(2x?1)； 32（12）y?sinex2（10）y?sin1?x2； （11）y?cot31?x2；

?x?2；

6

1（13）y?cos2(cos2x)； （14）y?x2sin；

x（16）y?2x/lnx；

31??（15）y?1?tan?x??；

x??

（17）y?t3?3t （18）y?ln(1?x?2x?x2)；

（21）y?ln[ln(lnt)]；

（19）y?esinx；

1（22）y?arccos；

x（20）y?ln3(x2)；

（23）y?arccos1?3x； （24）y?xarctanx；

2（25）y?xarccosx?1?x （26）y?（28）y?arcsinarcsinx1?x2；

1??（27）y??arccos?e?x；

x??21?xarcsinx； （29）y?ln(arctan1?x2)；（30）y?； 1?xarccosxxxb?1??a??b??x?arcsinxx?y?（31）y?cos?；（32）；（33） arccosy?e?arctane??????；??bxa??????x??（34）y?e?sin21x； （35）y?ch(shx)； （38）y?arctan(thx)

（36）y?th(lnx)； （39）y?ln(chx)?（37）y?shxechx；

12ch2x。

4．求与曲线y?x2?5相切且通过点（1，2）的直线方程。 5．求曲线y?xlnx的平行于直线2x?2y?3?0的法线方程。 6．抛物线y?x2上哪一点的切线与直线3x?y?1?0交成45°角。

7．求过曲线y?e2x?x2上横坐标x?0的点处的法线方程，并求从原点到该法线的距离。

dy8．设f(x)对x可导，求：

dx（1）y?f(x2)； （2）y?f(ex)ef(x)；

（3）y?f[f(x)]

（4）y?f(sin2x)?f(cos2x)。

习题2—3

1．求下列函数的二阶导数： （1）y?xcosx； （4）y?tanx； （7）y?lnsinx；

（2）y?a?x；

222x3?x?4（3）y?；

xx（5）y?(1?x2)arctanx； （6）y?e；

（8）y?sinx?sin2x?sin3x；（9）y?ln(x?x2?a2)。

2．验证函数y?C1e?x?C2e??x(?,C1,C2是常数）满足关系式y????2y?0。 3．验证函数y?exsinx满足关系式y???2y??2y?0。

4．求下列函数的高阶导数： （1）y?x2e2x，求y(20)；

（2）y?x2sin2x，求y(50)。

7

5．若f??(x)存在，求下列函数y的二阶导数（1）y?f(x2)

d2ydx2：

（3）y?ln[f(x)]。

（2）y?f(sin2x)；

dx1d2xy?????6．试从导出。 23dyy??dy(y)

习题2—4

dy： dx（1）x2?y2?R2； （2）x2?xy?y2?a2； 1．求下列方程所确定的隐函数y的导数（4）xy?yx

（5）xcosy?sin(x?y)；

（3）xy?ex?y；

y（6）arctan?lnx2?y2。

x（3）y?1xx2．利用对数求导法求下列函数的导数： （1）y?2xx；

cosx（2）y?(lnx)；

x ；

（4）y?(sinx)3x?2； （5）y?；

(5?2x)(x?1)（6）y?3x(x2?1)(x?1)2。

3．求圆(x?1)2?(y?3)2?17过点（2，1）的切线方程。 4．设y?sin(x?y)，求y??。 5．设s?1?tes，求st??。

?x?t2dyd2y,6．已知?， 求 。 2dxdxy?4t?3?dyd2y?x?acost,7．已知星形线?， 求 。 23dxdx??y?asint?x?a(??sin?)dyd2y,8．已知摆线?，求 。 2dxy?a(1?cos?)dx?9．求下列曲线在给定点处的切线和法线方程：

3at?x???x?acos???1?t2（1）?，在??处； （2）?，在t?2处。 2y?bsin?4??y?3at?1?t2?2??x?1?2t?t10．已知质点运动方程为?

2??y?4t（1）求质点出发时所在的位置；

（2）t?2秒时的水平与铅直方向的速度； （3）求水平方向加速度与铅直方向加速度。

8

t??x?esint11．验证参量方程?，

t??y?ecost所确定的函数y满足关系式

?dy?2(x?y)?2x?y??。 dx2?dx?12．一架直升机离开地面时，距离一观察者120米，它以40米/秒的速度垂直上飞，求起飞后15秒时，飞机飞离观察者的速度？

13．将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速度为多少？

d2y14．有一长为5米的梯子，靠在墙上，若它的下端沿地板以3米/秒的速度离开墙脚滑动，问：

（1）当其下端离开墙脚多少米，梯子的上、下端滑动的速率相同？ （2）它的下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速率是多少？ （3）何时它的上端下滑的速率为4米/秒？

习题2—5

1．求下列函数的微分 （1）y?5x2?3x?1；

（2）y?(x2?2x)(x?4)；

（3）y?arcsin(2x2?1)；

（4）y?2ln2x?x； （5）y?ln(sect?tant)；

2．求下列函数在指定点的微分：

?21（1）y?arcsinx，在x?和x?时(|?|?2)；

22x（2）y?，在x?0和x?1处。 21?x3．求下列函数在指定条件下的微分：

1?61?（1）y?x2?x,x?10,?x?0.1； （2）y?，当从变到时。 x23606(tanx?1)4．若函数y?x2?1，

（1）在x?1处，?x?0.01，试计算dy,?y及?y?dy；

（2）将点x处的微分dy，增量?y和?y?dy在函数图形上标出。 5．填空：

11)?2xdx； （1）d(（2）d(（3）d()?dx )?2dx；

xxdx)?)?sin2xdx； （4）d(（6）d( )?e?xdx； （5）d(2x（7）d(

)?exdx2?(2（8）d(sinx?cosx)?d()dx；)?d(cosx)?()dx。

9

习题3—1

??5????5??1．验证F(x)?lnsinx在?,上满足Rolle定理的条件，并在?,?上，找出使??66??66?f?(?)?0的?。

2．以定义在[1，3]上的函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)为例，说明Rolle定理是正确的。

3．已知函数f(x)?1?3x2,f(?1)?f(1)，但在[-1，1]没有导数为零的点，这与Rolle定理是否矛盾？为什么？

4．验证函数f(x)?arctanx在[0，1]上满足Lagrange中值定理的条件，并在区间（0，1）内找出使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立的?。

15．当ab?0时，对于函数f(x)?在（a，b）上能否找到满足有限增量公式的?点？

x这与Lagrange中值定理是否矛盾？

6．不用求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根？并指出它们所在的区间。

7．证明恒等式：arcsinx?arccosx??28．若方程anxn?an?1xn?1???a1x?0有一个正根x?x0，证明：方程annxn?1?an?1(n?1)xn?2???a1?0必有一个小于x0的正根。

9．若函数f(x)在(a,b)上具有二阶导数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)其中，a?x1?x2?x3?b，证明：在（x1,x3）上至少有一点?，使得f??(?)?0。

12．证明下列不等式：

（1）|sinx2?sinx1|?|x2?x1|； （2）|arctanx2?arctanx1|?|x2?x1|；

（3）当x?1时，ex?ex。

(?1?x?1)。

习题3—2

1．求下列各题的极限：

3x?3aln(1?x)(a?0)； （1）lim； （2）limx?ax?ax?0x2ex?e?x（4）lim； （5）limx2e1/x；

x?0sinxx?01??xlim?（7）lim；（8）lnx?ln(x?1)??； x?1?x?1lnx?x?1?（3）lim?x?0lnsin3x；

lnsinx1??ln?1??x?（6）lim?；

x???arccotxxsinx； （9）lim?x?0xn?sinx??1?lim(a?1,n?0)（10）lim； （11）； （12）lim????。 x???axx?0?x?x?0??x?x?sinx2．验证lim存在，但不能用L?Hospital法则计算。

x???x?cosx

10

tanxx3

习题3—3

1．将x的多项式x4?5x3?x2?3x?4表为（x?4）的多项式。 2．应用Maclaurin公式，将函数f(x)?(x3?3x?1)3表示为x的多项式。 3．当x0?4时，求函数y?x的三阶Taylor公式。

14．当x0??1时，求函数f(x)?的n阶Taylor公式，并写出拉格朗日型余项。

x

习题3—4

1．判定函数f(x)?x?cosx(0?x?2?)的单调性。 2．证明：y?x3?x单调增加。

3．判定函数f(x)?arctanx?x的单调性。

x2?14．证明：y?在不含点x?0的任何区间都是单调增加的。

x5．求下列函数的单调区间：

（1）y?2x3?6x2?18x?7；

10（3）y?3；

4x?9x2?6x（2）y?(x?2)5(2x?1)4； （4）y?3(2x?a)(a?x)2(a?0)；

（5）y?2x2?lnx； （6）y?ln(x?1?x2)。 6．证明下列不等式：

1（1）1?x?1?x (x?0)； （2） 1?xln(x?1?x2)?1?x2(x?0)；

2???（3）sinx?tanx?2x?0?x??； （4）arctanx?x(x?0)。

2??7．试证方程sinx?x只有一个实根。

8．试确定方程x3?3x2?9x?2?0的实根个数，并指出这些根所在范围。 9．单调函数的导函数是否必为单调函数？（研究：f(x)?x?sinx）

习题3—5

1．求下列函数的极值： （1）y?2x3?3x2；

1xx（2）y?1?3x4?5x2；

（3）y?x?ln(1?x2)； （6）y?x?tanx。

（4）y?； （5）y?2ex?e?x；

2．求下列函数在指定区间上的最大值和最小值：

[?1,2]； （1）y?x5?5x4?5x3?1， （2）y?

11

1?x?x21?x?x2, [0,1]；

a2b2?（3）y?， x1?x

(0,1),(a?b?0)； [?5,1]；

（4）y?x?1?x， （5）y?sin2x?x， （6）y?arctan??????2,2?； ??[0,1]； [?10,10]。

1?x， 1?x（7）f(x)?|x2?3x?2|，

3．将8分为两部分，怎样分才使它们的立方之和为最小？ 4．设一球的半径为R，内接于此球的圆柱体的最高为h，问h为多大时圆柱的体积最大？

5．过平面上一已知点P(1,4)引一条直线，要使它在二坐标轴上的截距都为正，且它们之和为最小，求此直线的方程。

6．对某个量x进行n次测量，得到n个测量值x1,x2,?,xn，试证：当x取这n上数的算术平均值

x1?x2???xn时，所产生的误差的平方和：

n(x?x1)2?(x?x2)2???(x?xn)2为最小。

7．有一杠杆，支点在它的一端，在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体，加力于杠杆的另一端，使杠杆保持水平（图3.5.3），如果杠杆本身每米的重量为5kg，求最省力的杆长？

8．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（图3.5.4）。问留下的扇形的中心角?为多大时，做成的漏斗的容积最大？

习题3—6

1．求下列各函数的凹凸区间及拐点： （1）y?x?5x?3x?5； （3）y?x5；

32

（2）y?x3x2?3a2 （a为任意正数）；

（4）y?(x?1)4?ex； （6）y?ln(x2?1)； （8）y?xe?x。

（5）y?earctanx；

（7）y?x4(12lnx?7)；

2??x?t3．求曲线?的拐点。

3??y?3t?t

2．问a和b为何值时，点（1，3）为曲线y?ax3?bx2的拐点？

12

4．试确定y?k(x2?3)2中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。

习题3—7

求下列曲线的渐近线：

11．y?2；

x?4x?5x2．y?；

(1?x)(1?x)23．y?4．y?x4(1?x)3； ；

x2x?125．y?2x?arctan

x。 2习题3—8

描绘下列函数的图形：

11．y?(x4?6x2?8x?7)。

512．y??4x2。

x3．y?e?(x?1)。 4．y?ln(x2?1)。 5．y?9a3x2?a2(a?0)。

26．y?e?xsinx(x?0)。

习题3—9

1．求抛物线y?x2?4x?3在顶点处的曲率及曲率半径。 2．计算曲线y?chx上点（0，1）处的曲率。

3??x?acost3．求曲线?在t?t0处的曲率。

3??y?asint?x?a(cost?tsint)?4．求曲线?在t?处的曲率。

2?y?a(sint?tcost)y2x5．证明曲线y?ach在任何一点处的曲率半径为。

aa

13

习题3—10

1．试证明方程x5?5x?1?0在区间（?1,0）内有惟一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过0.01。

2．求方程xlgx?1的近似根，使误差不超过0.01。

习题4—1

1．定积分

?ba介于曲线y?f(x)，x轴与x?a,x?b之f(x)dx的几何意义可否解释为：

间的曲边梯形的面积？

2．设物体沿x轴，在变力F?F(x)的作用上，由点a移到点b(a?b)，试用定积分概念（积分和式的极限）来表示变力F所作的功W

3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：

（1）（3）

?102xdx?1；

（2）（4）

?101?x2dx??4；

???sinxdx?0；

?????cosxdx?2?2?220cosxdx。

4．把下列定积分写成积分和式的极限：

1?1（1）； （2）dxsinxdx。

001?x25．根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大？

????（1）（3）

1021x2dx与

?10x3dx；

22 （2）（4）

??21x2dx与

x?21x2dx；

lnxdx与

y02?1(lnx)dx；

x??dx与?2?3??1?1???1?23xdx。 dy。 dx6．求由

?e?tdt??0cos(t2)dt?0 确定的隐函数y对x的导数

7．计算下列各导数：

dxsint（1） dt；

dx1td01?x4dx； （3）

dyy8．计算下列各定积分：

?

?ddxd（4）

dx（2）（2）（4）（6）

?lnx1etdt；

22?x2xe?tdt。

（1）（3）（5）

?31x3dx；

??943x(1?x)dx； dx1?x2??121?210dx1?x2；

1/3；

?e?xdx

?40tan2?d?；

14

（7）

?2?0|sinx|dx；

?2x（8）设f(x)??2?3x(x?1)(x?1)，求

?20f(x)dx。

9．求下列极限 （1）lim1x?0x?0sinxcos(t2)dt；

?（2）limx???2x0(arctant)2dtx?12

?x210．设f(x)???x求?(x)?(0?x?1)，

(1?x?2)?x0f(t)dt在[0，2]上的表达式，并讨论?(x)在（0，2）内的连续性。

3211．求极限

n??lim(1?2?3???n)n?。

习题4—2

1．求下列不定积分（其中，a，m，n，g为常数）：

dx（1）xxdx； （2）；

x2x???（3）（6）

?mxndx；

2（4）（7）

??0.611??3?u????du； （5）uu??2?dh2gh；

3?(x?2)?xdx； dx；

?(x??1)dx；

dx；

2（8）

?(?（9）x?1)(x?1)dx；

10x3?34（10）（13）（16）（19）

(1?x)2xx??（11）

3x4?3x2?1x2?1tt?32dx；（12）???1?x21?x2????dx； ???e?x?e?1?2??dx； （14）x???a??edt； （15）

?2?3x?5?2x3xdx；

??（17）secx(secx?tanx)dx；

?tan2xdx； （18）

?cos2xdx； 2（20）

cos2xdx； （21）

cosx?sinx?dx；

1?cos2xcos2xcosx?sinx22dx。

12．e2x,exshx和exchx是否都是e2x的原函数？

23．已知曲线上任意一点的切线的斜率为切点横坐标的二倍，求满足上述条件的所有曲线方程，并求出过点（0，1）的曲线方程。

4．一物体由静止开始运动，经t和后的速度是3t2（米/秒），问： （1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360米需要多少时间？

15

习题17—6

1．求下列微分方程的通解：

1（1）y???y?； （2）y???y??x；

x（3）yy???(y?)2?y2y??0； （4）y3y???1?0。 2．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1）y???a(y?)2?0,y(0)?0,y?(0)??1(a?0)； （2）y???(y?)2?1,y(0)?0,y?(0)?0； （3）(1?x2)y???2xy?,y(0)?1,y?(0)?3。

3．设有一质量为m的物体，在空气中由静止开始下落，如果空气阻力为R?k2v2，其中v为物体运动速度，k为一常数，试求物体下落的距离s与时间t的函数关系。

习题17—8

1．求下列各微分方程的通解： （1）y???9y??20y?0； （3）y???7y??12y?5； （5）y???a2y?ex；

（7）y???3y??2y?3xe?x；

（2）y????y?0； （4）2y???y??y?2ex； （6）2y???5y??5x2?2x?1； （8）y???2y??5y?exsin2x；

（9）y???y?ex?cosx； （10）y???y?(2x2?3)?4sinx。 2．求下列各微分方程满足已给定初始条件的特解： （1）y???2y??y?e?x，y(0)?0,y?(0)?0； （2）y???3y??2y?e3x,y(0)?1,y?(0)?0； （3）y???y??sin2x,y(?)?1,y?(?)?1；

（4）y????3y???3y??y?1,y(0)?y?(0)?y??(0)?0。

习题17—9

求下列Euler方程的通解： 1．x2y???xy??y?0； 3．x2y???xy??2y?xlnx；

2. x2y???4xy??6y?x

4. x3y????2xy??2y?x2lnx?3x。

习题18—1

1．用数列极限的定义证明：

(?1)n?11?0； （1）lim（2）lim(1?n)?1；

n??n??n103n2n2?4（3）limn???3；

46

（4）limn23n9n3?72．用数列极限的定义证明数列{(?1)n}发散。

n???0；

（5）limn??2n?1?0；

（6）limqn?0(|q|?1)。

n??3．设a?0，用数列极限的定义证明极限limna?1。

n??4．用数列极限的定义证明数列极限的夹逼准则。

5．下述几种说法与数列{un}极限是A的定义是否等价，并说明理由。

（1）对于任意给定的??0，存在正整数N，使得当n?N时，有|un?A|??； （2）存在正整数N，对任意给定的??0，使得当n?N时，有|un?A|??； （3）对于任意给定??0，存在实数M，使得当n?M时，有|un?A|??； （4）对于0???1，存在正整数N，使得当n?N时，有|un?A|??；

（5）对于任意给定的??0，有正整数N使得当n?N时，有|un?A|?K??，其中K是与?无关的常数；

1（6）对于任意给定的正整数m，都有正整数N，使得当n?N时，有|un?A|?。

m

习题18—2

1．用??X,???语言表述函数极限或无穷大的定义。填写下表： x?x0 ? x?x0? x?x0f(x)?A ???0,???0，使得当f(x)?? f(x)??? f(x)??? 0?|x?x0|??时，有|f(x)?A|?? ?M?0,?X?0使得当|x|?X时，有|f(x)|?M x?? x??? x??? 2．用函数极限的定义证明： 2x?12（1）lim?；

x??3x?13（2）limx??2 x2?1x?ax?1x4?1?4； （4）limcosx?cos?； （5）lim（6）limex?0。

x?1x?1x???x??3．用函数极限的定义证明下列命题：

（1）如果limf(x)?A,limg(x)?B，则lim[f(x)?g(x)]?A?B；

x?x0x?x0x?x0?1； （3）limx?a(a?0)；

（2）如果limf(x)?A,limg(x)?B,(B?0)，则

x??x?? 47

x??limf(x)A?。 g(x)B4．用H ine定理证明函数极限的四则运算法则。 5．证明极限limxsinx不存在。

x???

习题19—1

1．写出以下各数集的上、下确界： （1）E?{x|a?x?b}；

?1?.???x???（2）E???； 2?1?x???n?n?1,2,??； （4）E?{正无理数}。 （3）E??1?nsin2??2．设函数f(x)在D上有界，证明：

sup{?f(x)}??inf{f(x)}

x?Dx?D3．若{xn}是一个无界数列，证明：存在子列{xnk}，使得xnk??(k??)。 4．设{xn}是发散的有界数列，证明：存在两个子列{xnk}与{xmk}，分别收敛于不同的极限。

5．用有限覆盖定理证明区间套定理。 6．用区间套定理证明上确界存在原理。

7．证明单调有界函数的间断点是第一类间断点。

习题19—2

1．若f(x)在[a,??)上连续，且limf(x)存在，证明：f(x)在[a,??)上有界。

x???2．设f(x)在(a,b)上连续，又limf(x)?A,limf(x)?B，且A?B，则???(A,B)，??x?ax?b?x0?(a,b)，使得f(x0)??。

3．设f(x)在[a,b]上连续，如果xn?[a,b]，数列{xn}收敛，且limf(xn)??，证明：

x????x0?(a,b)，使得f(x0)??。

4．用一致连续定义验证

（1）y?x2在[0,2]上一致连续；

（2）y?x?sinx在(??,??)上一致连续。

5．若f(x)在[a,??)上连续，limf(x)?A，证明：f(x)在(a,??)上一致连续。

x???

48

习题20—1

?1(x为有理数) f(x)???1(x为无理数)?证明：|f(x)|在任意区间[a,b]上可积，而f(x)在[a,b]上不可积。

1．设

2．讨论下面的函数在相应区间上是否可积。

x?[a,b]； （1）f(x)?[x]?0?（2）f(x)??1??n(x?0)(11?x?)n?1nx?[0,1]；

（3）f(x)在[?2,2]上有界，它的不连续点是

1 （n=1，2，?） n?11??[](0?x?1)3．已知f(x)??x，证明：f(x)在[0，1]上可积。 x?(x?0)?0

习题20—2

1．下列函数在指定的区间上是否可只？

（1）f(x)?1x(|x|?1)；

1?x(?x?1)?2?11?（2）f(x)??1?x(??x?)；

22?1?1(?1?x??)?2?(x?0)?0?1（3）f(x)??； （4）f(x)?sgn(sinx)(0?x??)；

(0?x?1)??x（5）f(x)?max{?(x),?(x)},a?x?b，其中?(x)和?(x)都是[a,b]上的连续函数； （6）f?(x)?max{f(x),0},f?(x)??min{f(x),0},a?x?b，其中f(x)是[a,b]上的连续函数。

2．设函数f(x)在[a,b]上可积，函数g(x)与f(x)只在有限多个点上不相等。证明：函数g(x)在[a,b]上也可积，并且

?bag(x)dx??baf(x)dx。

3．讨论闭区间[a,b]上的函数f(x),|f(x)|,f2(x)三者之间可积性的关系。

习题21—1

1．若级数

?un?1?n收敛，将其各项重排，使每一项离开原来位置不超过m个位置（m是

项先指定的正整数），则新级数与原级数的和相同。

2．利用公式

49

111?????C?lnn??， 23n其中，C是常数，?n?0(n??)，证明：

11111111111?????????????0。

246831012141653．设将级数

11111111 1?2?2?2?2?2?2?2?2??

2436851012的各项重新排列成下述级数

11111 1?2?2?2?2?2??

23456?n分别表示级数（1）和（2）的前3n项部分和与前2n项部分和。 令S3n与S2S证明 lim3n?1。

x??S?2n

1? （1）

（2）

习题21—2

1．设函数序列{un(x)},un(x)?一致收敛。

2．证明：级数

?x2(1?x2)，验证级数

?un?1?n(x)在区间[0，1]上收敛但不

?xn?112?n2在区间(??,??)上一致收敛。

习题21—3

1．求级数2?x?2x2?x3?3x4??的和函数。 2．求级数

??n?0xn的和函数。 2?3n习题22—1

1．判别下列广义积分的收敛性：

??dx（1）； （2）

321xx?12dx（3）； （4）

1(lnx)32．用??函数或B?函数表示下列积分：

?????1xmdx； 1?x??01sinxdx。

（1）（3）

????010xne?hdx1?x22xdx(h?0,n?0)；

（2）

???0e?xdx(n?0)

n1/4。

50

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6sbh.html