定义法判断函数单调性三步曲

本人总结的用定义法判断函数单调性的步骤,比较实用

作者: 山东枣庄第四十中学 高安国 宋涛 邮箱：gag40@ 邮编：277200手机：13406918172定义法判断函数单调性三步曲

函数的单调性是函数基本性质之一，函数单调性的定义的应用是函数学习的重点和难点，也是近几年

高考重点、热点之一. 因此，能够熟练的利用定义法判断和证明函数单调性，是体现同学们对函数单调性的理解和掌握程度的重要方面.因此，本文归纳了利用定义法判断函数单调性步骤，旨在帮助同学们探索解题规律,提高解题能力, 希望能对同学们的学习有所帮助和启示．

利用定义法判断函数单调性的，一般分为三个步骤，习惯上称为“三步曲”即：

第一步：取值 即设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1 x2；

第二步：作差变形 即作差f x2 f x1 （或f x1 f x2 ），并通过因式分解、配方、有理化等

方法，向有利于判断差的符号的方向变形；

第三步：定号，结论 确定f x2 f x1 （或f x1 f x2 ）的符号，当符号不确定时，可以进

行分类讨论，再确定差的符号，最后根据定义得出结论.

特别提醒 在应用函数单调性的定义解题时，对于第二个步骤，有时还可以利用其等价的式子：

设x1,x2 a,b ,x1 x2，那么 x1 x2 f x1 f x2 0 f x1 f x2 0 f x 在 a,b 上x1 x2

f x1 f x2 是增函数； x1 x2 0 f x 在 a,b 上是减函数. f x1 f x2 0 x1 x2

上述式子有些时候显得方便快捷.

注意问题 应用定义法判断和证明函数单调性时，要注意以下三点：

一是“设x1,x2是该区间内的任意两个值”的“任意”二字不能丢掉，更不能随意用两个特殊值代替；

二是x1,x2有大小之分，通常规定x1 x2；

三是x1,x2必须同属一个单调区间.

典例剖析

【例1】判断函数f

x .

【分析】由于本题是已知函数解析式的函数单调性的判断问题，要判断其在定义域上的单调性，需要先求

函数的定义域，再根据定义域以及判断函数的单调性的步骤，可使本题得到解决.

【解析】f

x 0,＋ ，设0 x1 x2，则 x x2 x1 0，

y＝

∵x1

x2＝

x<0,

0，

∴ y 0,∴f x 0,＋ 上为减函数。

【点评】本题是比较典型的利用定义法判断函数的单调性的问题，在本题的解答过程中，若由 1

本人总结的用定义法判断函数单调性的步骤,比较实用

0 x1 x2 0

y 的单调性，犯了“用结论证结论”的逻辑错误.

通过以上例介绍了如何利用定义法判断函数的单调性，除此以外还可利用图像法判断函数的单调性，当然随着我们学习的深入，还可以利用更为有效的工具—－导数来判断函数的单调性.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6s8e.html