2022年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之常微分

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目录

2018年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之常微分方程考研强化五套模拟题（一） (2)

2018年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之常微分方程考研强化五套模拟题（二） (10)

2018年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之常微分方程考研强化五套模拟题（三） (21)

2018年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之常微分方程考研强化五套模拟题（四） (32)

2018年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之常微分方程考研强化五套模拟题（五） (45)

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第 2 页，共 51 页2018年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之常微分方程考研强化

五套模拟题（一）

说明：根据本校该考试科目历年考研命题规律，结合出题侧重点和难度，精心整理编写。考研强化检测使用。共五套强化模拟题，均含有详细答案解析，考研强化复习必备精品资料。

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一、解答题

1． 求微分方程满足初值条件的特解

：

【答案】

设

方程化为

积分得

解为、.代入初值条件，

有

特解为

2．

当

求出方程组

的奇点，确定其类型，并判断其稳定性.

【答案】

将系统写为

其中

考虑它的一次近似系统

则O （0,0）是原系统及①的惟一奇点，

其系数矩阵的特征方程为

所以特征根为

当

时，

两特征根为相异实根，并且都大于0,

所以奇点为原系统的不稳

定结点；

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3 页，

共 51

页

当

时，两特征根为一对共轭复根，

所以奇点为原系统的不稳定焦点；当

时

，两特征根为相等实根，

且所以奇点为原系统的不

稳定节点.3． 考虑方程组

其中函数在单连通区域D 内有连续偏导数，

假设存在函数其

一阶偏导数于域D 内连续，在D

内不变号且在D 内的任一子域内不恒等于零.试证明上述方程组于域D

内不存在任何周期解.

应用此结论证明方程

没有极限环存在，

其中为常数，

且

【答案】假设D 内存在周期为T 的周期解

根据格林公式，对于由

T

所围成的区域

有

所以在区域

上恒有

成立.这与已知

在D 的任一子域内不恒等于零相矛盾，故原方程组在D 内不存在任何周期解.

令

则可将方程

化为方程组取则

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第 4 页，共 51 页所以方程不存在任何周期解，当然更没有极限环存在.4． 求解微分方程组

：

【答案】

由题意得相应齐次线性微分方程的系数矩阵为

特征方程为

所以特征值为

易得特征值对应的特征向量分别为

所以方程组的基解矩阵为

故齐次方程的通解为

将①代入非齐次方程组得

所以

因此微分方程组的解为

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