《测试技术》（第二版）课后习题答案-贾民平 -

测试技术与信号处理

习题解答

授课教师：陈杰来

第一章 习 题（P29）

解：

（1） 瞬变信号－指数衰减振荡信号，其频谱具有连续性和衰减性。 （2） 准周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱仍具有离散

性。

（3） 周期信号，因为各简谐成分的频率比为有理数，其频谱具有离散性、

谐波性和收敛性。

解：x(t)=sin2?f0t的有效值（均方根值）：

xrms???12T012T01T0?T00x2(t)dt?1T0?T00sin22?f0t　dt1(T0?14?f0sin4?f0tT00?T00(1?cos4?f0t)　dt?14?f02T0)

(T0?sin4?f0T0)?1/2

1

解：周期三角波的时域数学描述如下：

x(t) 1 . . .

-T0/2 0 ?T0/2 T0?t?020?t?T02. . . t 2A?A?t?T0??2Atx(t)??A?T0????x(t?nT0)（1）傅里叶级数的三角函数展开： 1T0/22T0/221a0??x(t)dt??(1?t)dt??T/20T0T00T02

2T0/2an??x(t)cosn?0tdt ?T/2T004T0/22 ??(1?t)cosn?0tdtT00T0 ?4n?1,3,5,?4?222n??22sin??n?2?n?

n?2,4,6,??0T0/2 bn ? 2 ? ，式中由于x(t)是偶函数，sinn?0t是奇函数，x( t)sinn? 0tdtT0?T0/2则x(t)sinn?0t也是奇函数，而奇函数在上下限对称区间上的积分等于0。故

bn?0。

因此，其三角函数展开式如下：

14x(t)??22?1cosn?0t?2n?1n?14??22?1sin(n?0t??2)?2n?1n?(n=1, 3, 5, …）

其频谱如下图所示：

2

A(?) 1 24? (?) ?249?2 ? 242 25?0

?0 3?0 5?0 ? 0 ?0 3?0 5?0 ?

单边幅频谱 单边相频谱

（2）复指数展开式

复指数与三角函数展开式之间的关系如下： C0 =a0 CN =(an-jbn)/2 C-N =(an+jbn)/2 故有

?22?222n??sin??n?ReCN =an/2 2?n2?2?0n?1,3,5,?n?2,4,6,?C0?A0?a0ReCN =an/2 ImCN =-bn/2 1122an?bn?An 22ICb?n?arctgmn?arctg(?n)ReCnanCn? ImCN =-bn/2 ＝0 C0?A0?a0?Cn?1212112an?bn?An=an 222ICb?n?arctgmn?arctg(?n)?0ReCnan 3

实频谱 1 2229? 25?2ReCn 2 22 ?2 ?2 9? 2 222 25?-5?0 -3?0 -?0 0 ?0 ImCn

虚频谱

3?0 5?0 ?

-5?0 -3?0 -?0 0 ?0 3?0 5?0 ?

双边幅频谱 21 2Cn2 29? 25?2 2 2 ?2?2 9? 2 222 25?-5?0 -3?0 -?0 0 ?0 3?0 5?0 ?

?n

双边相频谱

-5?0 -3?0 -?0 0 ?0 3?0 5?0 ?

4

解：

x(t)?w(t)cos?0tw(t) 1 w0 T cos?0t 1 0 --T t FT[w(t)]FT[cos?0t]1212W(?)2T012T?卷积 ??00?0?FT[w(t)cos?0t]TX(?)T??0

010

?0?

由于窗函数的频谱 W(?)?2Tsinc(?T)，所以

1[W(???0)?W(???0)]2?T[sinc(???0)T?sinc(???0)T]X(?)?其频谱图如上图所示。

解：

x?1?T0?T00x(t)dtT01T0/2?[?sin2?f0dt??(?sin2?f0)dt]T0/2T001?[?cos2?f0tT0?2/?

T0/20?cos2?f0tT0T0/2]1??(xrms)?T02x2?T00x2(t)dt1?T0?T00sin22?f0t　dtT01?2T0?0(1?cos4?f0t)　dt

110?(T0?sin4?f0tT0)2T04?f0?1/2

11

第二章 习 题（P68）

=

60sin50?解： ?x2?Rx(0)?lim()sin(50?)?lim3000()?3000??0

???050?-

解：

Rx(?)?lim?lim2T??0T???T?Tx(t)x(t??)dt?TAe?at?Ae?a(t??)dt?Alim?A2(?T??0?Te?2at?e?a?dt?01?a??2at)ee2aA2?a??e2a

解：

对于周期信号可用一个周期代替其整体，故有1TRx(?)??x(t)x(t??)dtT01T2＝?Acos(?t??)cos[?(t??)??]dtT0式中，T是余弦函数的周期，T＝2?/?

令?t??＝?代入上式，则得A2Rx(?)＝2??2?01cos?cos[?＋??]d?　＝A2cos??

2若x(t)为正弦信号时，Rx(?)结果相同。

12

第三章 习 题（P90）

解：

S＝S1S2S3=80nc/MPa×0.005V/nc×25mm/V=10 mm/ MPa △P=△x/S=30mm/10(mm/ MPa)=3 MPa

解：

S＝S1S2=404×10-4Pc/Pa×0.226mV/Pc=9.13×10-3mV/Pa

10?106mV/Pa8

S2=S/S1== 2.48×10mV/Pc

404?10-4Pc/Pa

解: ?=2s, T=150s, ?=2π/T

300－0.9965×100=200.35℃ 300＋0.9965×100=399.65℃ 故温度变化范围在200.35~399.65℃.

A(?)?11?(??)2?11?(4?/150)2?0.9965 13

解: ?=15s, T=30/5=6s, ?=2π/T

A(?)?11?(??)2?11?(15?2?/6)2?0.0635h高度处的实际温度t=t0-h*0.15/30

而在h高度处温度计所记录的温度t‘＝A(?)t＝A(?)（t0-h*0.15/30） 由于在3000m高度温度计所记录的温度为－1℃，所以有

－1= A(?)（t0-3000*0.15/30） 求得 t0=－0.75℃

当实际温度为t＝－1℃时，其真实高度可由下式求得：

t=t0-h*0.15/30，h=(t0- t)/0.005=(-0.75+1)/0.005=50m

解： (1)

?A(?)?1?A(?)?1?11?(??)2?1?11?(100?2??)2?10%

则 ?≤7.71×10－4 S (2)

?A(?)?1?A(?)?1?11?(??)2?1?11?(50?2??7.71?10)?42?2.81%?(?)= ?arctg?? = -arctg（50?2??7.71?10?4）= －13.62°

14

解：?＝0.04 S，

?A(?)?1?A(?)?1?11?(??)2?1?11?(2?f?)2（1）当f=0.5Hz时，

?A(?)?1?A(?)?1?11?(??)11?(??)11?(??)222?1?11?(2??0.5?0.04)11?(2??1?0.04)11?(2??2?0.04)222?0.78%（2）当f=1Hz时，

?A(?)?1?A(?)?1??1??3.02%（3）当f=2Hz时，

?A(?)?1?A(?)?1??1??10.65%

解：?＝0.0025 S

?A(?)?1?A(?)?1?11?(??)2?1?11?(0.0025?)2?5%则 ?＜131.5（弧度/s） 或 f＜?/2π＝20.9 Hz 相位差：?(?)= ?arctg?? = -arctg(131.5?0.0025) = －18.20°

解：fn=800Hz, ?=0.14, f=400 ??n?f/fn?400/800?0.5

A(?)?H(?)??11?1??????2n2?4?2???n??1.312?1?0.5?22?4?0.142??0.5?2?(?)??arctg2???n2?0.14?0.5???arctg??10.5721?0.521????n?15

第四章 习 题（P127）

4－9

解： 由 得

S??CC0??0A??2???0?0?C????0A?122?62????1?8.85?10???4?(?1?10)/0.3?02??4.94?10?15(F)??4.94?10?3(PF)变化格数　　S1S2?C?100?5?(?4.94?10?3)??2.47(格)

4－10

解：

Q

Ca Ra Cc Ri Ci

U0?

QQ?CCa?Cc1

Ca?Cc由Su=U0/a , Sq=Q/a 得：Su/ Sq =U0/Q=

16

第五章 习 题（P162）

解： (1）半桥单臂

uo??R01ui?S?ui4R041?2?2?10－6?2＝2?v4 1当?＝2000??时，u0??2?2000?10－6?2＝2mv4当?＝2??时，u0?（2）半桥双臂 uo?当?＝2??时，u0??R01ui?S?ui2R021?2?2?10－6?2＝4?v2

1当?＝2000??时，u0??2?2000?10－6?2＝4mv2S单?u01?ui?0.5(V)，S?R0/R04?u01?ui?1(V)

?R0/R02双半桥双臂是半桥单臂灵敏度的两倍。

解：均不能提高灵敏度，因为半桥双臂灵敏度S?u0/(与桥臂上应变片数无关。

?R1)?ui，与供桥电压成正比，R2

17

解：

由已知：?(t)?Acos10t?Bcos100t，u0?Esin10000t得全桥输出电压：

uy??Ru0?S?u0?SE?(t)sin10000tR 　＝SE(Acos10t?Bcos100t)sin10000t根据　x(t)y(t)?X(f)*Y(f)jsin2?f0t?[?(f?f0)??(f?f0)]2 j　　　x(t)sin2?f0t?[X(f)??(f?f0)?X(f)??(f?f0)] 2得电桥输入和输出信号的傅里叶变换：

?(f)?AB[?(f?f01)??(f?f01)]?[?(f?f02)??(f?f02)]22

A1010B100100　　　?[?(f?)??(f?)]?[?(f?)??(f?)]22?2?22?2?0电桥输出信号的频谱，可以看成是?(t)的频谱移动到±f0处。

电桥输入与输出信号的频谱图如下图所示。

Reε(ω) A/2 B/2 －100 －10 10 100 ω SEA/4 ImUy(ω) SEB/4 -ω0 -(ω0+100) -(ω0+10) -(ω0-10) -(ω0-100) 0 ω0-100 ω0-10 ω0 ω0+10 ω0+100 ω ω0=10000 －SEB/4 －SEA/4 本量题也可用三角函数的积化和差公式来计算：

18

由已知：?(t)?Acos10t?Bcos100t，u0?Esin10000t得全桥输出电压：?Ruy?u0?S?u0?SE?(t)sin10000tR　＝SE(Acos10t?Bcos100t)sin10000t　　?SEAsin10000tcos10t?SEBsin10000tcos100t11　　?SEA[sin(10000?10)t?sin(10000?10)t]?SEB[sin(10000?100)t?sin(10000?100)t]2211sin?cos??[sin(???)?sin(???)],　　cos?cos??[cos(???)?cos(???)][注： 22cos(???)＝cos?cos??sin?sin?,　　　sin(???)＝sin?cos??cos?sin?

解：调幅波中所包含的各分量的频率及幅值大小：

xa(t)?(100?30cos2?f1t?20cos6?f1t)cos2?fct　　　?100cos2?fct?30cos2?f1cos2?fct?20cos6?f1tcos2?fct　　　?100cos2?fct?15[cos2?(fc?f1)t?cos2?(fc?f1)t]　　　　　　　　　?10[cos2?(fc?3f1)t?cos2?(fc?3f1)t]调制信号与调幅波的频谱分别如下图所示。

ReX(f) 10 －1.5

15

0

100

15

10 1.5

f (kHz)

－0.5 0.5

ReUy(f) 50 5 -11.5 7.5 -10.5 7.5 -10 -9.5 5 -8.5 0 5 8.5 7.5 9.5 10 50 7.5 10.5 5 11.5 f (kHz)

19

解：

1）各环节输出信号的时域波形图如下：

电阻应变片x(t)0xm(t)x’m(t)x‘’m(t)x'(t)0t0x(t)电桥放大器t相敏检波y(t)0tt0t低通滤波显示记录载波振荡器t动态电阻应变仪方框图2）各环节输出信号的频谱图 信号的调制： sin2?f0t?[?(f?f0)??(f?f0)]

x(t)sin2?f0t?j[X(f)??(f?f0)?X(f)??(f?f0)]2j2j?[X(f?f0)?X(f?f0)]2信号的解调： x(t)sin2?f0t?sin2?f0t?1x(t)?1x(t)cos4?f0t22

x(t)sin2?f0t?sin2?f0t?F[x(t)sin2?f0t]?F[sin2?f0t]jj?[X(f?f0)?X(f?f0)]?[?(f?f0)??(f?f0)]221?[2X(f)?X(f?2f0)?X(f?2f0)]420

x(t)调制器y(t)xm(t)= x(t) sin2?f0tY(f)01/21/2f0f?f0X(f)1?fm0fm1/2f0fXm(f)= X(f) ?Y(f)1/2?f调幅过程频谱图00fxm(t)调幅波乘法器载波y(t)Xm(f)1/2低通滤波同步解调1/2x’(t)?f1/200Y(f)1/2f0f?f同步解调1/400f01/2fmfXm(f) ?Y(f)1/42 f0?2 f0?fm0X’(f)低通滤波1/2fm21 ?2 f0?fc?fm0fc2 f0

x(t)调制器y(t)xm(t)= x(t) sin2?f0tImY(f)f001/2?f0X(f)1-1/2f?f1/2m0fmfImXm(f)f0?f调幅过程频谱图00-1/2fxm(t)调幅波乘法器载波y(t)ImXm(f)1/2低通滤波同步解调x’(t)?f1/200ImY(f)0f0f0-1/2f?f同步解调0-1/2-1/2fRe[Xm(f) ?Y(f)]2 f0-1/4?2 f0-1/4?fm0fm低通滤波ReX’(f)1/2fmfc22 ?f?2 f0m?fc02 f0

解：

uy(t)??R1u0?cos2?ftsin2?f0t 4R04根据　x(t)y(t)?X(f)*Y(f)jsin2?f0t?[?(f?f0)??(f?f0)]2 j　　　x(t)sin2?f0t?[X(f)??(f?f0)?X(f)??(f?f0)] 2得电桥输出电压的傅里叶变换：

Uy(f)?1FT[?R(t)sin2?f0t]4R0j　　　?[?R(t)?(f?f0)??R(t))?(f?f0)]　8R0

电桥输出信号的频谱，可以看成是?R(t)的频谱移动到±f0处。 电桥输入与输出信号的频谱图如下图所示。

Re?R(f) R0/2 -f 0 f f

ImUy(f) 1/16 f0-f -(f0+f) -(f0-f) 0 -1/16 f0+f f

23

附 注：常用公式

常用三角函数公式：

11sin?cos??[sin(???)?sin(???)],　　cos?cos??[cos(???)?cos(???)] 22cos(???)＝cos?cos??sin?sin?,　　　sin(???)＝sin?cos??cos?sin?（1）傅里叶级数的三角函数展开：

x(t)?a0??(ancosn?0t?bnsinn?0t)?A0??Ansin(n?0t??n)n?1n?1??An?22an?bn?n?arctg(an)bn1a0?T0

?T0/2?T0/2x(t)dt

（2）三角函数是正交函数

2an?T0??T0/2?T0/2T0/2x(t)cosn?0tdtx(t)sinn?0tdt 2bn?T0?T0/2?t0?T1t0cosn?1t.sinm?1t.dt?0??t0?T1t0?T21sinn?1tsinm?1tdt???0?T21cosn?1tcosm?1tdt???0(m?n)(m?n)(m?n)(m?n)

t0?T1t0（3）欧拉公式

e?jn?0t?cosn?0t?jsinn?0tcosn?0t?1?jn?0tjn?0t(e?e) 2j?jn?0t sinn?0t?(e?ejn?0t)2（4）傅里叶级数的复指数展开：

x(t)?C0??(C?nen?1??jn?0t?Cnejn?0t)?n?????Cne?jn?0t

24

Cn?ReCn?jImCn?Cnej?nCn?(ReCn)2?(ImCn)2?n?arctgImCnReCn

（5）复指数与三角函数展开式之间的关系如下： C0 =a0 ReCN =an/2 CN =(an-jbn)/2 ImCN =-bn/2 C-N =(an+jbn)/2 C0?A0?a01122an?bn?An 22ICb?n?arctgmn?arctg(?n)ReCnanCn?（6）δ函数的部分性质：

x(t)??(t)?x(t)x(t)??(t?t0)?x(t?t0)X(f)??(f)?X(f)X(f)??(f?f0)?X(f?f0)

?(t?t0)?e?j2?fte?j2?f0t0??(f?f0) （7）正余弦信号的频谱 　　　x(t)y(t)?X(f)*Y(f)

j[?(f?f0)??(f?f0)]21cos2?f0t?[?(f?f0)??(f?f0)]2sin2?f0t?jj　　　 x(t)sin2?f0t?[X(f)??(f?f0)?X(f)??(f?f0)]?[X(f?f0)?X(f?f0)]2211　　　x(t)cos2?f0t?[X(f)??(f?f0)?X(f)??(f?f0)]?[X(f?f0)?X(f?f0)]2211　　　[1?x(t)]cos2?f0t?[?(f?f0)??(f?f0)]?[X(f?f0)?X(f?f0)]22 25

1 0 1/2 -?0 0 x(t)=cos?0t 1 t cnR 1/2 x(t)=sin?0t 0 cnR t ?0 cnI ? -?0 1/2 0 cnI 0 |cn| 0 ?0 ? ?0 ? -1/2 1/2 -?0 1/2 -?0 0 |cn| 0 ?0 1/2 ? -?0 1/2 ?0 ? -?0 ?0 ? 双边幅频谱 An 1 双边幅频谱 An 1 0 ?0 ? 0 ?0 ? 单边幅频谱 单边幅频谱 （8）傅里叶变换对：

X(?)?????x(t)e?j?tdt???1x(t)?2?或

?X(?)ej?td?X(f)??x(t)?????x(t)e?j2?ftdtX(f)ej2?ftdf???x(t)

FT IFT

X(?)

26

（9）对周期信号有：

均值：?x?1T0?T00x(t)dt绝对均值：?x1?T0?T00x(t)dt1?T0有效值（均方根值）：xrms1均方值:　??(xrms)?T02x2?T00x(t)dt2

?T00x2(t)dt22??（10）随机信号的均值?x、方差x、均方值x

? 均值（数学期望）――常值（稳定）分量

1T?x?lim?0x(t)dt?E[x]T??T

其中x(t)为样本函数，T为观测的时间历程。 ? 方差－－波动分量

2?x1T?lim?0?x(t)??x?2dt?E?x(t)??x?2T??T

方差的正平方根称为标准差。 ? 均方值――随机信号的强度

2?x1T?lim?0x(t)2dt?E[x(t)2] T??T均方值的正平方根称为均方根值。

222 ?x??x??x22当?x=0时，?x??x

（10）自（互）相关函数、相关系数

Rx(?)?limT???T?Tx(t)x(t??)dt

27

?xy?相关系数 ?xy(?)??x?y

E[(x??x)(y??y)]E?(x??x)?E(y??y)2??2

1Tlim[x(t)??x][x(t??)??x]dtT??T?0?x(?)?2?x1T2lim?x(t)x(t??)dt??xT??T0?2?x

自相关函数

1TRx(?)?lim?x(t)x(t??)dt

T??T0?x(?)?2Rx(?)??x?2x

周期信号：

1TRx(?)??x(t)x(t??)dt

T0非周期信号：

自相关函数的性质：

Rx(?)?????x(t)x(t??)dt

自相关函数为实偶函数 Rx(?)?Rx(??)

Rx(0)?lim1T??2T?T?T22x2(t)dt??x??x2222?x??x?Rx(?)??x??x2Rx(???)??x?x(???)?0周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数

互相关函数

1T Rxy(?)?lim?x(t)y(t??)dt T??T0 28

1T[(x(t)??x)(y(t??)??x)]dt0T??T??xy(?)?lim?x?y1Tlim?x(t)y(t??)dt??x?yR(?)???T??T0xyxy??

?x?y?x?y随机信号的自功率谱密度函数（自谱）为：

Sx(f)??Rx(?)e????j2?f?d?i2?f?

其逆变换为

两随机信号的互功率谱密度函数（互谱）为：

Rx(?)??Sx(f)e???df

Sx(f)??Rx(?)e????j2?f?d?i2?f?其逆变换为

Rx(?)??Sx(f)e???df

自功率谱密度函数 Sx(f)和幅值谱 X(f) 或 |X(f)|2 能谱之间的关系

1Sx?limX?f?T??2T单边谱和双边谱

?2Gx(f)?2Sx(f)|X(f)|及系统频率响应函数H（f）的关系 Sx(f)与幅值谱 自功率谱密度

Y(f)X?(f)Sxy(f)Gxy(f)H(f)????X(f)X?(f)Sxx(f)Gxx(f)H(f)?Sy(f)Sx(f)输入/输出自功率谱密度函数与系统频率响应函数关系

Sy(f)?|H(f)|2Sx(f) Gy(f)?|H(f)|2Gx(f)

单输入、单输出的理想线性系统

Sxy(f)?H(f)Sx(f)

29

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6s4x.html