2018-2019学年高中物理 第三章 万有引力定律及其应用 微型专题4 卫星变轨问题和双星问题学案

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微型专题4 卫星

变轨问题和双星问题

知识目标 1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化. 2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度. 核心素养 1.掌握卫星变轨的实质及蕴含的思想方法. 2.掌握“双星”的特点，建立“双星”问题模型.

一、人造卫星的发射、变轨与对接 1．发射问题

要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星一很大的发射初速度，且发射速度v＞v1＝7.9 km/s，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F引

Mmv2

＝F向，即G2＝m，从而使卫星进入预定轨道．

rr2．卫星的变轨问题

卫星变轨时，先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化．

v2

(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做

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近心运动，向低轨道变迁．

v2

(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，

r卫星将做离心运动，向高轨道变迁．

以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据． 3．飞船对接问题

(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图1甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接．

图1

(2)同一轨道飞船与空间站对接

如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度．

例1 如图2所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( )

图2

A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期

C．卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度 答案 B

解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：

Mmv2

G2＝m，v＝rrGM r因为r1＜r3，所以v1＞v3，A项错误． 由开普勒第三定律知T3>T2，B项正确．

在Q点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速． 所以在Q点v2Q>v1Q，C项错误． 推荐精选K12资料

推荐精选K12资料 在同一点P，由

GMm＝ma知，卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的r2

加速度，D项错误．

【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的对接和变轨问题

判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路：

(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断． (2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小．

(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析．

(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G2判断． 二、双星问题

1．如图3所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”．

FmMr

图3

2．双星问题的特点

(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度相同．

(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.

3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即＝m2ωr2.

例2 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图4所示．已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周

2

Gm1m22

2＝m1ωr1L推荐精选K12资料

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图4

Lm2Lm1

答案 m1＋m2m1＋m24πL

G?m1＋m2?

23解析 双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力 对m1：对m2：

Gm1m22

2＝m1r1ω， LGm1m22

2＝m2r2ω，且r1＋r2＝L， LLm2Lm1

，r2＝. m1＋m2m1＋m2

解得r1＝

2

m1m24πLm2

由G2＝m1r12及r1＝得

LTm1＋m2

周期T＝

4πL.

G?m1＋m2?

23【考点】双星问题 【题点】双星问题

针对训练 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常数并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星的( ) A．质量之积 C．速率之和 答案 BC

解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示

B．质量之和 D．各自的自转角速度

每秒转动12圈，角速度已知，

中子星运动时，由万有引力提供向心力得

Gm1m22

2＝m1ωr1① l推荐精选K12资料

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Gm1m22

2＝m2ωr2② ll＝r1＋r2③

23

G?m1＋m2?ωl2

由①②③式得＝ωl，所以m1＋m2＝，

l2G质量之和可以估算．

由线速度与角速度的关系v＝ωr得

v1＝ωr1④ v2＝ωr2⑤

由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算． 质量之积和各自的自转角速度无法求解.

1.(卫星的变轨问题)(多选)肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，如图5所示，在距月球表面100 km的P点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，则下列说法正确的是( )

图5

A．“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长 B．“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长

C．“嫦娥三号”经过P点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大 D．“嫦娥三号”经过P点时，在三个轨道上的加速度相等 答案 AD

解析 由于“嫦娥三号”在轨道 Ⅰ 上运动的半长轴大于在轨道 Ⅱ 上运动的半径，也大于轨道 Ⅲ 的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为TⅠ＞TⅡ＞TⅢ，故A正确，B错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P点进行“刹车制动”，所以经过P点时，在三个轨道上的线速度关系为vⅠ＞vⅡ＞vⅢ，所以C错误；由于“嫦娥三号”在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D正确． 推荐精选K12资料

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【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题

2．(卫星、飞船的对接问题)如图6所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功．假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )

图6

A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案 C

解析 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；同时，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误． 3.(双星问题)如图7所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是( )

图7

A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2 B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2 2C．m1做圆周运动的半径为L

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2

D．m2做圆周运动的半径为L

5答案 C

解析 设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得

Gm1m222

2＝m1r1ω＝m2r2ω，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2 L23

所以可解得r1＝L，r2＝L

55

m1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，

故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3. 综上所述，选项C正确． 【考点】双星问题 【题点】双星问题

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一、选择题

考点一 卫星的变轨问题

1．(多选)如图1所示，航天飞机在完成太空任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，

B为轨道Ⅱ上的近地点，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )

图1

A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

B．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 答案 ABC

【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题

2．(多选)如图2所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0.飞船在半径为4R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )

图2

A．飞船在轨道Ⅲ上的运行速率大于g0R

B．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率小于在轨道Ⅱ上B处的运行速率 C．飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度 D．飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝4∶1 答案 BC

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mv2

解析 由＝mg0知，v＝g0R，即飞船在轨道Ⅲ上的运行速率等于g0R，A错误．由v＝ RGMr知，vⅠvⅢ，则有vⅡB>vⅠ，B正确．由a＝

GM知，飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度，C正确．由T＝r2

2π

r3知，飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝8∶1，D错误． GM【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题

3．如图3所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点

M距地面200 km，远地点N距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分

别是v1和v2.当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3，比较飞船在M、N、P三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )

图3

A．v1＞v3＞v2，a1＞a3＞a2 B．v1＞v2＞v3，a1＞a2＝a3 C．v1＞v2＝v3，a1＞a2＞a3 D．v1＞v3＞v2，a1＞a2＝a3 答案 D

解析 根据万有引力提供向心力，即

GMmGM2＝ma得：a＝2，由题图可知r1＜r2＝r3，所以a1＞rra2＝a3；当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短GMmmv2

时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，所以v3＞v2，根据2＝得：v＝

rr因为r1＜r3，所以v1＞v3，故v1＞v3＞v2.故选D. 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题

4．(多选)如图4所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射．卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面推荐精选K12资料

GM，又r推荐精选K12资料

100 km、周期为118 min的工作轨道Ⅲ，开始对月球进行探测，下列说法正确的是( )

图4

A．卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小

B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的加速度比在轨道Ⅰ上经过P点的加速度大 C．卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的长

D．卫星在轨道Ⅰ上经过P点的速度比在轨道Ⅲ上经过P点的速度大 答案 AD

Mmv2

解析 卫星在轨道Ⅲ上的半径大于月球半径，根据G2＝m，得v＝rrGM，可知卫星在轨道rⅢ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小，A正确．卫星在轨道Ⅲ上和在轨道Ⅰ上经过P点时所受万有引力相等，所以加速度也相等，B错误．轨道Ⅲ的半径比轨道Ⅰ的半长轴小，根据开普勒第三定律，卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的短，C错误．卫星从轨道Ⅰ经多次变轨进入轨道Ⅲ，在P点需依次减速，D正确． 【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题

5．(多选)如图5所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )

图5

A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度 B．a加速可能会追上b

C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的c

D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大 答案 BD

解析 因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度、加速度大小均相等．又由b、c轨道半径推荐精选K12资料

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大于a轨道半径，由v＝

GM可知，vb＝vc＜va，故选项A错；当a加速后，会做离心运动，r轨道会变成椭圆，若椭圆与b所在轨道相切(或相交)，且a、b同时来到切(或交)点时，a就

vc2

追上了b，故选项B正确；当c加速时，c受的万有引力F＜m，故它将偏离原轨道，做离rcvb2

心运动，当b减速时，b受的万有引力F＞m，它将偏离原轨道，做近心运动，所以无论如rb何c也追不上b，b也等不到c，故选项C错；对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v＝

GM可知，r减小时，v逐渐增大，故选项D正确． r考点二 双星问题

6．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和

S2之间的距离为r，已知引力常数为G，由此可求出S2的质量为( )

4πr?r－r1?A. 2

22

GTB.

4πr1

23

GT2GT

C.

4πr23

GT2

4πrr1

D. 2

22

答案 D

解析 设S1和S2的质量分别为m1、m2，对于S1有

22

2π?2m1m24πrr1?G2＝m1??r1，得m2＝. rGT2?T?

【考点】双星问题 【题点】双星问题

7．两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A．质量大的天体线速度较大 B．质量小的天体角速度较大 C．两个天体的向心力大小一定相等 D．两个天体的向心加速度大小一定相等 答案 C

解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C项正确，D项错误；根据牛顿第二定律，有：

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Gm1m222

2＝m1ωr1＝m2ωr2 L其中：r1＋r2＝L 故r1＝

L m1＋m2

m2

m1

r2＝L

m1＋m2

故＝＝ 故质量大的天体线速度较小，故A项错误． 【考点】双星问题 【题点】双星问题

8．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的( ) 1

A．轨道半径约为卡戎的 71

B．角速度大小约为卡戎的

7C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍 答案 A

解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相同，B错误．双星的向心力为二者间的万有引力，

v1r1m2v2r2m1

r1m2122

所以向心力大小相同，D错误．根据m1ωr1＝m2ωr2，得＝＝，A正确．根据v＝ωr，

r2m17v1r11

得＝＝，C错误． v2r27

【考点】双星问题 【题点】双星问题

9．(多选)宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起．如图6所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的( )

图6

A．质量之比mA∶mB＝2∶1 推荐精选K12资料

B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2

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C．线速度大小之比vA∶vB＝1∶2 答案 AC

解析 双星都绕O点做匀速圆周运动，由二者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω.根据牛顿第二定律，对A星：G对B星：G

D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1

mAmB2

2＝mAωrA① LmAmB2

2＝mBωrB② L联立①②得mA∶mB＝rB∶rA＝2∶1.

根据双星运行的条件有角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，由v＝ωr得线速度大小之比vA∶vB＝

rA∶rB＝1∶2，向心力大小之比FA∶FB＝1∶1，选项A、C正确，B、D错误．

【考点】双星问题 【题点】双星问题

10．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.C.

n3T k2n2T kB.D.

n3T knT k答案 B

解析 如图所示，设两恒星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1和r2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得(2π)①

2

GM1M22π22π2G?M1＋M2?2π2GM)r1＝M2()r2，解得＝()(r1＋r2)，即3＝2＝M1(2rTTrTrTGkM2π2

当两星的总质量变为原来的k倍，它们之间的距离变为原来的n倍时，有＝()② 3?nr?T′

联立①②两式可得T′＝【考点】双星问题 【题点】双星问题 二、非选择题

11．(卫星的有关计算)设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图7所示．设轨道舱的质量为m，月球表面的重力加速度推荐精选K12资料

n3

T，故选项B正确． k推荐精选K12资料

为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常数为G，试求：

图7

(1)月球的质量；

(2)轨道舱的速度大小和周期．

gR2

答案 (1) (2)RGg2πr rRr gMm′

＝m′g， R2

解析 (1)设月球的质量为M，则在月球表面GgR2

得月球质量M＝ G(2)设轨道舱的速度为v，周期为T，则

Mmv2

G2＝m得：v＝Rrrg rr. gMm4π22πrG2＝m2r得：T＝rTR12．(变轨问题)中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图8所示．设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为

t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：

图8

(1)飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速？ (2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小． (3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2.

gR2答案 (1)加速 (2)2 (3)

?R＋h1?

3

gR2t222－R 4nπ

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解析 (2)在地球表面有mg＝根据牛顿第二定律有：GGMm① R2

Mm2＝maA② ?R＋h1?

gR2

由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为aA＝2. ?R＋h1?

2

Mm4π

(3)飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有G(R＋h2)③ 2＝m?R＋h2?T2由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T＝④

3

tn由①③④式联立解得h2＝gR2t222－R. 4nπ

【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的发射和变轨问题

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