2010年江西省芦溪中学高三数学复习(二轮)《立体几何》大专题

更新时间：2023-05-08 03:31:01 阅读量：实用文档文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

2010世界杯推荐度：
相关推荐

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

2009年江西省芦溪中学高三数学复习(二轮)《立体几何》大专题

(学生强化专版)

一、专题热点透析

高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。

二、热点题型范例题型一、平行与垂直的证明

例1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （1）证明P A //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD

例2．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知

45ABC ∠=?，2AB =

，BC =

SA SB ==

（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；

（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．

A C

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

变式：

已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90

底面ABCD ，且PA =AD =DC =

AB =1，M 是PB 的中点. （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.

题型二、空间角与距离

例3．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

，

OA ABCD ⊥底面， 2OA =，M 为OA 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

例4. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（Ⅲ）求点E 到平面的距离.

M E

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

变式：

如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 的平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132OA =

．（1）求证：11B C ⊥面OAH ；

（2）求二面角111O A B C --的大小．

题型三、探索性问题

例5.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．

（1）求证：//EF 平面PAD ；

（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，

⊥EF 平面PCD ？

1C 1A

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

变式：

如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD

BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形

(1)求证：AD ⊥BC

(2)求二面角B －AC －D 的大小

(3)在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30?角？若存

在，确定E 的位置；若不存在，说明理由.

题型四、折叠、展开问题

例6．已知正方形ABCD E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将ADE 沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<

(1) 证明//BF 平面ADE ；

(2)若ACD 为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值。

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

变式：

如图，在直角梯形P 1DCB 中，P 1D ∥CB ，CD ⊥P 1D ，P 1D ＝6，BC ＝3，DC ＝6，A 是P 1D 的中点，E 是线段AB 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面P AB 的位置，使二面角P －CD －B 成45°角．

（Ⅰ）求证：P A ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面PEC 和平面P AD 所成的锐二面角的大小．

题型五、多面体的组合问题

例7．P ABCD -是正四棱锥，1111ABCD A B C D -

是正方体，其中2,AB PA ==

（Ⅰ）求证：11PA B D ⊥；

（Ⅱ）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小；（Ⅲ）求1B 到平面PAD 的距离．

A D

E P

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

变式：

如图4，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2，AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ；

(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.

题型六、表面积与体积问题

例8．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==

，2AB DC ==

（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．

图4

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

变式：

正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．

反馈练习：

1．如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（ B ） A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

2．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3， 11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是( B ) A ．

42π B ．2

2π C ．π2 D ．2π2 3. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( D )

π B.

π C.

π D.

π 4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面 A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为（ B ） A 、

B 、42

C 、22

D 、23

5．△ABC 的顶点B 在平面a 内，A 、C 在a 的同一侧，AB 、BC 与a 所成的角分别是30° 和45°，若AB=3，BC=24 ，AC=5，则AC 与a 所成的角为（ C ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．15°

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

6．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ C ）

A ．π12125

B ．π9125

C ．π6125

D ．π3

125 7 设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ?X ∥Y ”为真命题的是_________。(填序号) ②③

①X 、Y 、Z 是直线；②X 、Y 是直线，Z 是平面；③Z 是直线，X 、Y 是平面；④X 、Y 、Z 是平面.

8．已知点,,,A B C D 在同一个球面上，,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB

=AC = 8AD =，则,B C 两点间的球面距离是。43

π 9．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ 60°

10．空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为________ 2

2a 11．如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =

，PD =60PAB = ∠．

（Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角P BD A --的大小．

12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11.A ABB

（Ⅰ）求证： ;AB BC ⊥

（Ⅱ）若1AA AC a ==，直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，二面角

1,.2A BC A π?θ?--+=的大小为求证：

A B C D

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

《中学数学信息网》系列资料 WWW.Z X S X .COM

高三数学复习(二轮)《立体几何》大专题

(教师巧拨专版)

一、专题热点透析

二、热点题型范例

题型一、平行与垂直的证明

例1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .

（1）证明P A //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD

解：（1）连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO .

∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点

在PAC ?中，EO 是中位线，∴P A // EO

而?EO 平面EDB 且?PA 平面EDB ，所以，P A // 平面EDB

（2）∵PD ⊥底面ABCD 且?DC 底面ABCD ，∴DC PD ⊥

∵PD =DC ，可知PDC ?是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，∴PC DE ⊥. ① 同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC .而?DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥. ②

由①和②推得⊥DE 平面PBC .而?PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥

又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD .

A C D

C A S O E

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

例2．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=?，2AB =

，BC =

SA SB ==

（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．

解：（1）作S O B C ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因

为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC = ∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，

由三垂线定理，得SA BC ⊥．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，故S A A D ⊥，

由AD BC ==

，SA =

SD ==

sin45AO AB == DE BC ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC ，连结SE ．ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成的角．

sin 11ED AO ESD SD SD =

===∠，所以直线SD 与平面SBC

所成的角为arcsin 11．变式：已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且

P A =AD =DC =21AB =1，M 是PB 的中点. （Ⅰ）证明：面P AD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.

解：（Ⅰ）∵P A ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD .因而，CD 与面P AD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直，∴CD ⊥面P AD .又CD ?面PCD ，∴面P AD ⊥面PCD .

（Ⅱ）过点B 作BE //CA ，且BE =CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC =CB =BE =AE =2，又AB =2，所以四边形ACBE 为正方形. 由P A ⊥面ABCD 得∠PEB =90° 在Rt △PEB 中BE =2，PB =5， .510cos ==∠∴PB BE PBE .5

10arccos 所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN . A D C B N M

E P

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

在Rt △P AB 中，AM =MB ，又AC =CB ，∴△AMC ≌△BMC ，∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角.∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ，在Rt △PCB 中，CM =MB ，所以CM =AM .

在等腰三角形AMC 中，AN ·MC =AC AC CM ?-22

)2(，5

=?=∴AN .

∴AB =2，322cos 222-=??-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).3

arccos(-

题型二、空间角与距离

例3．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，

ABC π

∠=

， OA ABCD ⊥底面， 2OA =，M 为OA 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

方法一：（1）CD ‖AB,MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）作,AP CD P ⊥于

连接MP ⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP

ADP π

∠=

∵∴DP =

MD ==∵ 1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π

∠=

=∠=∠=∴所以 AB 与MD 所成角的大小为3π

（２）AB 平面∵∴‖OCD,

点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP ，过点A 作AQ OP ⊥ 于点Q ，

,,,AP CD OA CD CD OAP ⊥⊥⊥平面∵∴ ,AQ OAP AQ CD ?⊥平面∵∴

又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴，线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

2OP ====∵

，2

AP DP == 2232OA AP AQ OP === ∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23 方法二：作

AP CD ⊥于点P ，如图，分别以AB

，AP ，AO 所在

直线为,,x y z 轴建立坐标系

2(0,0,0),(1,0,0),(0,((0,0,2),(0,0,1)2

A B P

D O M -， (1)设AB 与MD 所成的角为θ，(1,0,0),(,1)22

AB MD ==-- ∵ 1cos ,2

3AB MD AB MD πθθ===?

∴

∴ ， ∴AB 与

MD 所成角的大小为3π (2) (0,2),(2)222

OP OD =-=-- ∵ ∴设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z

=，则0,0n OP n

OD ==

即 2020y z

x y z -=?

?-=?? 取z =

，解得n =

设点B 到平面OCD 的距离为d ，则d 为OB 在向量n =上的投影的绝对值，

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

(1,0,2)OB =- ∵， 23

OB n

d n ?== ∴.所以点B 到平面OCD 的距离为23 例4. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2

（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；

（Ⅲ）求点E 到平面的距离.

解：(1)连结OC .

∵BO =DO ，AB =AD ， ∴AO ⊥BD .

∵BO =DO ，BC =CD ， ∴CO ⊥BD .

在△AOC 中，由已知可得AO =1，CO =3.

而AC =2，∴AO 2+CO 2=AC 2，

∴∠AOC =90°，即AO ⊥OC . ,0=OC BD ∴AB ⊥平面BCD .

（Ⅱ）取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ，OE ∥DC . ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角.

在△OME 中，,12

1,2221====DC OE AB EM OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴,12

1==AC OM ∴,42cos =∠OEA ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.42arccos （Ⅲ）解：设点E 到平面ACD 的距离为h .

CDE A ACD A V V --- ，∴h 31·S △ACD =3

1·AO ·S △CDE . 在△ACD 中，CA =CD =2，AD =2， ∴S △ACD =,2722222132=???

? ??-??而AO =1， S △CDE =,23243212=?? ∴h =

,72127

231=?=???ACD CDE S S AO ∴点E 到平面ACD 的距离为721.

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

《中学数学信息网》系列资料 WWW.Z X S X .COM

变式：

如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是

EF 的中点，过EF 的平面与侧棱OA 、OB

、OC 或其延长

线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知13

OA =．

（1）求证：11B C ⊥面OAH ；（2）求二面角111O A B C --的大小．

解法一：（1）依题设，EF 是ABC ?的中位线，所以

EF ∥BC ，则EF ∥平面OBC ，所以EF ∥11B C 。

又H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，则AH ⊥11B C 。因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，所以OA ⊥面OBC ，则OA ⊥11B C ，因此11B C ⊥面OAH 。

（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N 。

因为1OC ⊥平面11OA B ，根据三垂线定理知，

1C N ⊥11A B ， 1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角。

作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则1EM OM ==。设1OB x =，由

111OB OA MB EM =得，3

x x =-，解得3x =，在11Rt OA B ?中，11A B ==1

111OA OB ON A B ?== 所以1

1tan OC ONC ON

∠=

=111O A B C --为解法二：（1）以直线OA OC OB 、、分别为x y 、、z 轴，建立空间直角坐标系，O xyz -则

(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,,)22

A B C E F H 1

C 1

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

所以1111(1,,),(1,,),(0,2,2)2222AH OH BC =-==- 所以0,0AH BC OH BC ?=?= 所以BC ⊥平面OAH

由EF ∥BC 得11B C ∥BC ，故：11B C ⊥平面OAH

(2)由已知13(,0,0),2A 设1(0,0,)B z 则111(,0,1),(1,0,1)2A E EB z =-=-- 由1A E 与1EB 共线得:存在R λ∈有11A E EB λ= 得

11321(1)

(0,0,3)

z z B λλ?-=-??=??=-?∴ 同理:1(0,3,0)C

111133(,0,3),(,3,0)22

A B AC ∴=-=- 设1111(,,)n x y z = 是平面111A B C 的一个法向量，则33023302

x z x y ?-+=????-+=??令2x =得1y x == 1(2,1,1).

n ∴= 又2(0,1,0)n = 是平面11OA B

的一个法量12cos ,6n n ∴<>==

所以二面角的大小为题型三、探索性问题例5.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．

（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，直线⊥EF 平面PCD ？

解：（1）取CD 中点G ，连结EG 、FG ，∵E 、F 分别是AB 、PC

∴EG//AD ，FG//PD ，∴平面EFG//平面PAD ，∴ EF//平面PAD ．

（2）当平面PCD 与平面ABCD 成45?角时，直线EF ⊥平面PCD.

证明：∵G 为CD 中点，则EG ⊥CD ，∵PA ⊥底面ABCD ∴AD 是PD

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

平面ABCD 内的射影。 ∵CD ?平面ABCD ，且CD ⊥AD ，故CD ⊥PD ．又∵FG ∥PD ∴FG ⊥CD ，故∠EGF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，即∠EGF=45?，从而得∠ADP=45?， AD=AP .由Rt ?PAE ?Rt ?CBE ，得PE=CE.又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC.

由CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，得CD ⊥平面EFG ，∴CD ⊥EF ，即EF ⊥CD ，故EF ⊥平面PCD ．变式：

如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD

BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形。

(1)求证：AD ⊥BC

(2)求二面角B －AC －D 的大小

(3)在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30?角？若存在，确定E

的位置；若不存在，说明理由.

解： (1)作AH ⊥面BCD 于H ，连.DH ,AB BD HB BD ⊥?

⊥1AD BD ==

AB BC AC BD DC ∴===∴⊥

又BD CD =，则BHCD 是正方形.则..DH BC AD BC ⊥∴⊥

(2)作BM AC ⊥于M ，作MN AC ⊥交AD 于N ，则BMN ∠就是二面角B AC D --的平面角

AB AC BC === M 是AC 的中点，且MN ∥CD

则1

,22222BM MN CD BN AD =====

由余弦定理得222cos arccos 233

BM MN BN BMN BMN BM MN +-∠==∴∠=? (3)设E 为所求的点，作EF CH ⊥于F ，连FD .则EF ∥AH

∴,EF BCD EDF ⊥∠面就是ED 与面BCD 所成的角，则30EDF ∠=?.

设EF x =

，易得1,,AH HC CF x FD ====则

tan EF EDF FD ∴∠===

解得 1.x CE ===则故线段AC 上存在E 点，且1CE =时，ED 与面BCD 成30?角

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

《中学数学信息网》系列资料 WWW.Z X S X .COM

例6．已知正方形ABCD E 、F 分别是

AB 、CD 的中点，将ADE 沿DE 折起，

如图所示，记二面角A DE C --的大小为

(0)θθπ<<.

(1)证明//BF 平面ADE ；

(2)若ACD 为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值.

解析: (1)证明:EF 分别为正方形ABCD 得边AB 、CD 的中点，∴EB//FD ，且EB=FD ， ∴四边形EBFD 为平行四边形. ∴BF//ED.,EF AED BF AED ?? 平面而平面，∴//BF 平面ADE .

(2)如右图，点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，过点A 作AG 垂直于平面BCDE ，垂足为G ，连结GC ，GD ?ACD 为正三角形，∴AC=AD.∴CG=GD.

G 在CD 的垂直平分线上， ∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，过G 作GH 垂直于ED 于H ，连结AH ，则AH DE ⊥，所以G AH θ∠=.设原正方体的边长为2a ，连结AF ，在折后图的?AEF 中，AF=，EF=2AE=2a ，即?AEF 为直角三角形， AG EF AE AF ?=?.AG ∴= 在Rt ?ADE 中， AH DE AE AD ?=?AH ∴=

.GH ∴=，1cos 4GH AH θ== 变式：如图，在直角梯形P 1DCB 中，P 1D ∥CB ，CD ⊥P 1D ，P 1D ＝6，BC ＝3，DC ＝6，A 是P 1D 的中点，E 是线段AB 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面P AB 的位置，使二面角P －CD －B 成45°角．

（Ⅰ）求证：P A ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求平面PEC 和平面P AD 所成的锐二面角的大小．

解：(Ⅰ).,,PAD AB AD AB PA AB 平面⊥∴⊥⊥

AB ∥DC ，∴DC ⊥平面P AD ．

D C E

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

∴DC ⊥PD DC ⊥AD ，

∠∴PDA 为二面角P －CD －B 的平面角．

故∠PDA ＝45° P A ＝AD ＝3，

∴∠APD ＝45°． ∴P A ⊥AD ．又P A ⊥AB ，∴P A ⊥平面ABCD ．

（Ⅱ）证：延长DA ，CE 交于点N ，连结PN ，由折叠知,NE PE =又CE NE E =∴为中点，．

.,PC PN CE NE PE ⊥∴==∴，又由（１）知PD PN ⊥，

CPD ∠∴为二面角D PN C --的平面角。在直角三角形PDC 中， 3

236tan ===

∠PD CD CPD ，?=∠∴30CPD ．即平面PEC 和平面P AD 所成锐二面角为30°．题型五、多面体的组合问题

例7．P ABCD -是正四棱锥，1111ABCD A B C D -

是正方体，其中2,AB PA ==

（Ⅰ）求证：11PA B D ⊥；

（Ⅱ）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小；（Ⅲ）求1B 到平面PAD 的距离．

解：(Ⅰ) 连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，则PO ⊥面ABCD ，

又∵AC BD ⊥ ， ∴PA BD ⊥， ∵11//BD B D ， ∴11PA B D ⊥ ．（Ⅱ） ∵AO ⊥BD ， AO ⊥PO ， ∴AO ⊥面PBD ，过点O 作OM ⊥PD

于点M ，连结AM ， AM ⊥PD ， ∴∠AMO 就是二面角A-PD-O 的平面角，

∵2,AB PA ==

AO=2，PO=226=-

PO OD OM PD ?=

== ，

∴tan 22AO AMO OM ∠===

，即二面角的大小

为. (Ⅲ)11B PAD A B PD V V --=111

x PAD B PD h S AO S ?= ，即有

1111112()3232

x BDB PBD PBB h S S S ???=+-

解得x h =，即1B 到平面PAD 的距

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

变式：

如图4，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2，AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ;

(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角;

(Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.

解：（Ⅰ）取AD 的中点，连结PM ，QM . 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM . 又?PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD . 同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD .

（Ⅱ）连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面. 因为OA ＝OC ，OP ＝OQ ，所以P AQC 为平行四边形，AQ ∥PC . 从而∠BPC （或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角. 因

为

22)22(2222=+=+==OP OC PC PB ，所以

1323221612122cos 222=??-+=?-∠PC PB BC PC PB BPC ＋＝.

从而异面直线AQ 与PB 所成的角是3

arccos . (Ⅲ)连结OM ，则PQ AB OM 2

221===

.所以∠PMQ ＝90°，即PM ⊥MQ . 由（Ⅰ）知AD ⊥PM ，所以PM ⊥平面QAD . 从而PM 的长是点P 到平面QAD 的距离. 在直角△PMO 中，22222222=+=+=OM PO PM .即点P 到平面QAD 的距离是

22. 题型六、表面积与体积问题

例8．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==

D O

图4

P D

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．

解：（Ⅰ）在ABD △中，由于4AD =，8BD =

，AB = 所以222AD BD AB +=．故AD BD ⊥．

又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，

BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，又BD ?平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ．（Ⅱ）过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．因此PO 为四棱锥P ABCD -的高，又PAD △是边长为4的等边三角形．

因此42

PO =

=ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB

此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD

的面积为24S ==．

故1

243

P ABCD V -=??= 变式：

正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．

解：(Ⅰ)连结BD ，则BD //11B D ， ∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵CE ⊥面ABCD ，∴

CE BD ⊥．又C = A C C E ，∴BD ⊥面ACE ．∵AE ?面ACE ，∴B D A E

⊥，∴11B D AE ⊥．

（Ⅱ）作1BB 的中点F ，连结AF CF EF 、、． ∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴

1B F ，

∴四边形1B FCE 是平行四边形，∴ 1CF// B E ．

D 1

A E C

欢迎光临《中学数学信息网》 z x s x 127@38de16a6f524ccbff12184c3

∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ，

又//BC AD ，∴//EF AD ．∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ， ∵AF CF C = ，1B E ED E = ，∴平面//ACF 面1B DE . 又AC ?平面ACF ，∴//AC 面1B DE ．（3）122ABD S AB AD ?=?=． 112333

A BDE E ABD ABD ABD V V S CE S CE --??==?=?= 反馈练习：

1．如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（ B ） A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

2．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，

AD=3， 11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是( B ) A ．

42π B ．2

2π C ．π2 D ．2π2 3 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上

任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( D )

A ．

π B

π C

π D.

π 4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面

A 1

B 1

C 1

D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为（ B ）

A 、2

B 、42

C 、22

D 、23

5．△ABC 的顶点B 在平面a 内，A 、C 在a 的同一侧，AB 、BC 与a 所成的角分别是30°和45°，若AB=3，BC=24 ，AC=5，则AC 与a 所成的角为（ C ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．15°

6．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ C ）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6s2e.html

相关文章：

正在阅读：

2010年江西省芦溪中学高三数学复习(二轮)《立体几何》大专题05-08

XX管理咨询行业公司创业项目商业计划书05-31

MCGS嵌入版说明书05-31

标书组织供应、运输、售后服务方案11-10

弥陀镇中心小学2016年度发展性工作目标实施方案07-03

牡丹江市中考满分作文-沈阳新世界会展中心项目深化设计会议纪要07-02

淬火成钢观后感04-02

光合作用练习含答案02-02

2015年周黑鸭杯湖北省大学生营销策划挑战赛方案04-23

人教版五年级下册《将相和》教学案例分析03-14

上一篇：雅思听力高分策略介绍-智课教育出国考试下一篇：Englishpod 1-330 完美打印版