量子理论若干基本问题研究的新进展

第21卷　第3期物　理　学　进　展Vol.21,No.3　2001年9月PRO GRESS IN PHYSICS Sept.,2001

文章编号:1000Ο0542(2001)03Ο0317Ο44

量子理论若干基本问题研究的新进展

孙昌璞

(中国科学院理论物理研究所,北京　100080)

摘　要:　本文结合最近的典型量子物理实验,如用冷原子Bragg散射实现的“whichΟway”

实验,量子退相干过程的微腔Q ED检验和C60分子的量子干涉等,比较系统地介绍了量子理

论基本问题若干研究的新进展,特别强调了处于其核心的量子测量问题及其相关的基本概念

和基本思想,如EPR佯谬和Bell不等式,量子退相干和量子纠缠。从理论和实验结合的角

度,本文阐述了被测系统和测量仪器的相互作用怎样导致量子测量的一般动力学过程。由此

还讨论了外部环境和内部运动怎样诱导量子退相干和量子耗散,对“薛定谔猫佯谬”和“宏观

物体空间局域化描述”给出了可能的物理解释。最后,通过具体例子,本文简单地讨论了量子

物理基本问题的研究结果对量子信息的应用。

关键词:　量子测量;量子退相干;量子耗散;量子纠缠;EPR佯谬和Bell不等式;薛定谔猫佯谬

中图分类号:　O437　　　　　　文献标识码:　A

0　引　言

以量子力学为核心的量子物理,不仅代表了人类对微观世界基本认识的革命性进步,而且带来了许多划时代的技术创新(如半导体和激光器的发明),直接推动了社会生产力的发展,从根本上改变了人类的物质生活。量子理论过去的成功并不意味着它是一个彻底完善的物理学理论。自量子力学诞生以来,关于量子力学的思想基础和基本问题的争论,从来就没有停止过。人们对于量子力学本身的完备性及其一些基本观念的理解,甚至持有截然不同的观点[1～3]。最近,由于这些量子力学基本问题所涉及的观念,在信息科学可能有着重要的应用,再加上实验方面的飞速进展,量子力学基本问题的研究得到了物理学界更加广泛的重视[4]。

在1927年Solvay物理学会议上,爱因斯坦和玻尔开始了关于量子力学基本问题的论战[5],引发了一系列关于量子物理的思想观念的深入讨论。如薛定谔的“死猫—活猫”

收稿日期:2001Ο02Ο16

基金项目:国家自然科学基金、霍英东教育基金、优秀中青年人材专项基金、国家杰出青年基金、攀登计划以及中科院重大交叉科学的基金资助。还得到香港中文大学和奥地利薛定谔国际数学物

理研究所(ESI)的部分资助。

佯谬(1935年)[6],爱因斯坦—波多斯基—罗森的EPR佯谬(1935年)[7],冯?诺意曼测量假说和波包塌缩(1932年)[8],玻姆的隐变量理论(1952年)[9],以及Bell不等式及其实验验证(1964年,1981年,1975年)[10～13]。对于这些问题进行稍微仔细的考察,就不难发现它们均密切联系于量子力学测量的基本问题[14～16]:对于微观粒子运动状态的有效测量,必将在可观测的意义上使粒子原来的运动产生不可逆的改变。

这种不可逆的改变起因于量子力学的互补性(complementarity)。依据标准的“哥本哈根解释”,物质运动具有粒子和波的双重属性,但在同一个实验中二者是相互排斥的[22]。例如,在双缝干涉实验中,测量粒子通过了哪一个缝,等于强调了波粒二象性的粒子特性,与粒子性互补的波动性便被排斥了,干涉条纹便不再存在了。这种由于测量或其它影响导致相干性消失的现象称之为量子退相干(Quantum decoherence)[17,18]。仅就量子测量而言,人们称之为波包塌缩(Wave packet collapse)。海森堡对于这种退相干现象的进一步解释是应用测不准关系:准确知道粒子通过路径A意味着在垂直于A的方向上完全确定粒子的位置精确到Δx,从而由测不准原理

ΔxΔp～ (1)

得知这个测量将对垂直于路径A方向上的动量产生Δp～

Δx的扰动,从而干扰到达屏S 上粒子的位置,造成干涉条纹的模糊。测不准关系的解释表明,通过具有“粒子特征”的测量(如同时测量动量和坐标),去描述具有“波粒二象性”的物质运动,会带来测量的不确定性。看上去,测不准关系是引起被测系统量子退相干的一个重要原因,但最近德国Rampe 小组的冷却原子布拉格散射实验[19]表明,测不准关系不是量子退相干的唯一起因,而形成测量仪器和被测系统的量子纠缠态(Entangled state)是问题的核心。量子纠缠态的观念起源于薛定谔关于“活猫Ο死猫”佯谬的讨论,其进一步的发展与描述量子定域性的EPR 问题紧密联系,本文将比较全面地介绍这些问题的理论和实验[19～25]。

事实上,对许多量子现象(如量子相干和退相干)本质的理解,人们并非得到了最后的答案。所有的讨论,目前都正在经历各种量子测量实验的检验。从更广泛的意义上讲,在量子力学的标准框架Ο哥本哈根解释中,经典仪器的引入是不可避免的。这是因为在描述量子测量过程时,通常并没有把仪器作为整个量子系统的一部分考虑进去。但是,人们希望量子力学成为描述整个宇宙的一个普遍理论,它不仅能够描述一个微观的物理系统,还应当描述观测着这个系统的宏观测量仪器。这就要求建立一个动力学的量子测量理论:通过仪器和系统的相互作用,把系统和仪器形成的闭合系统看成一个服从量子力学的整体。薛定谔方程或海森堡方程支配着整个系统的动力学演化。把它约化到被测系统部分,我们希望能够自然得到诸如干涉条纹消失之类的量子退相干或量子耗散等不可逆现象的正确描述[26～30]。这种描述量子退相干动力学理论最早是由冯?诺意曼和威格纳提出的。但由于他们的理论没有一开始就考虑仪器自身的经典或宏观属性(仪器的量子数很大或组成仪器的粒子数很大),要想自洽地实现波包塌缩,必须引入仪器链Ο“冯?诺意曼链,让链中的每一个仪器来测量前面的整个系统的状态,以产生所有体系的波包塌缩,这会导致哲学理解上的困难:要想实现系统量子退相干,必须引入量子世界以外的观察者。

1971年,Hepp通过与Coleman的通信讨论[31],提出了一个没有“主观”观察者量子测813物理学进展21卷

量模型(HC 模型)。他们假定仪器是一个由N 个自旋1/2粒子组成的阵列。考虑到仪器宏观属性意味着组成仪器的粒子数目很大;当N 趋近无穷大时,他们证明了与仪器相互作用的极端相对论粒子将自动产生波包塌缩。Bell 对此提出的批评[32]和Cini 提出的另一个类似的模型[33],进一步促进了这一类量子测量动力学理论的深入研究[34～41]。其中包括本文作者把HC 模型自旋阵列中的粒子自旋变为任意(半)整数j 的经典极限推广。特别是,我们发现了有效演化矩阵的因子化是各种量子测量动力学模型实现波包塌缩的本质[36～41]。本文将结合最近观察量子退相干动力学过程的各种精巧的实验[19～25],统一地介绍量子测量理论的基本思想和相应的基本概念,还将以量子耗散为基础,深入分析环境对其中量子系统的影响。最后,我们应用这些理论与概念,分析随机环境对其中量子信息载体Ο量子比特相干性的影响。

1　量子退相干的单粒子描述和系综描述

量子力学的基本特征之一是运用波函数代表的几率幅描述微观物理体系状态。原则上,通过基于波函数进行的量子测量,人们可以得到关于微观系统运动规律的全部信息。设|n >是力学量A 的本征态,相应的本征值为a n 。量子力学的测量原理告诉我们,对处于|f >=∑n c n |n >态的量子体系测量力学量A ,得到的结果是不确定的:它可能是A 的

本征值{a n |n =0,1,2…}中的一个,相应的几率为|c n |2。在这个意义下,玻恩(M.Born )

把波函数|f >理解成几率波,即在坐标表象中f (x )=代表在x 点发现粒子的几率密度幅。由于这种空间几率波的描述,我们可以通过态的叠加原理来刻画量子干涉现象:由于描述微观粒子运动的基本方程—薛定谔方程是线性的,若|f 1>和|f 2>是体系的两个可能状态,则它们的叠加|f >=|f 1>+|f 2>,也是系统的可能状态,即|f >满足与|f 1>和|f 2>一样的薛定谔方程,在坐标表象中,依据量子态波函数的玻恩解释,上述态的叠加原理可表现为物质波的空间干涉行为。即I k =|f k (x )|2在座标空间中描述几率幅f k (x )=(k =1,2)对应的几率分布,但f (x )=并不对应几率分布I 1(x )和I 2(x )简单的相加。事实上

I (x )=f (x )2=I 1(x )+I 2(x )+f 1(x )f 32(x )+f 31(x )f 2(x ),(2)其中最后两项意味着态的量子相干性或量子干涉。

为了能重复进行量子测量,需要进一步考虑的是:测量之后的瞬间,体系波函数是什么?这个问题的回答依赖于测量的结果是什么。如果在单一的量子测量中得到结果a n ,在紧接着的第二次测量中,应当重复得到确定的结果a n 。这时可以断定体系的波函数|f >=∑c n |n >必将塌缩到它的一个分支|n >上,即

f >→n >

这种由于测量所导致的波函数瞬间鼓变是冯?诺意曼引入的[8],通常称之为冯?诺意曼投影或波包塌缩(Wave packet collapse )和波函数约化(Wave function reduction )。这种从相干叠加态投影到单个分枝上的变化是不可逆的,是瞬间完成,一般被解释为经典仪器作用的结果。这种波包塌缩的过程,可以用图形象地加以说明[14]:粒子波函数913　2期孙昌璞:量子理论若干基本问题研究的新进展

图1　观察导致波包变窄f (y )=描述了沿x 方向运动的粒子束沿

y 方向的分布。我们用一个筛形装置来探测粒子出

现在y 方向的何处。一旦单粒子实验在p 发观粒

子,则根据波包塌缩的描述,便可断言测量后波包

变窄,f (y )变成如图描述的狭窄波包f n (y )=

。

量子力学测量的特别之处还在于它描述的波

包塌缩是整体的。这种波包的整体(全空间)塌缩

与狭义相对论的基本原理表面看上去似乎有矛盾[42]。例如,如图2,一个粒子在t =0时刻处在一个局域的空间点A 上,在t =T ,测量其动量得到确定的动量p ,则波包塌缩为动量本征态|p >～e ipx ,其空间分布在T 以后时刻便是均匀的,似乎不再定域。测量引起的整体的波包塌也似乎破坏了定域性:虽然B 点在过A 点的光锥之外,(即A 和B 两点图2　四维时空中的整体波包塌缩是类空的,通常不存在因果关系)在t >T 的

时刻,我们有可能在B 点发现粒子。按照狭

义相对论,信号最多以光速的速度来传播,而

在瞬时的间隔发生的波包塌缩现象意味着存

在“概率意义”的超光速ΟT 时刻测量粒子动量

会导致体系以一定几率“超光速”地塌缩到不

同的动量本征态上。这个例子表明,引入波粒

二象性的观念或几率解释是各种佯谬出现的

本质。事实上,对于单一测量,我们并不能确

定地在B 点发现粒子。因此,“事件”A 和B

的联系只是概率性的。而对于微观粒子而言,

讨论经典意义下的因果关系和相关非定域性

问题,可能不是一个恰当的论题。近期我们看到过不少“概率意义”的超光速的报道[43],虽然这些实验的完成者大多了解“概率意义”的超光速不会破坏因果律,但也在非专业的范围内引起一些误解,其根源在于对量子测量本身的误解。

上述波包塌缩的描述及出现的问题是针对单个粒子测量而言的。其中已经假定了,在一次单一的测量中,必须读出结果,从而使得波函数约化到它的一个分枝上。这种结果被称为第一类波包塌缩。但是,波函数是通过统计解释与具体实验相联系的,即通过多次的单一测量,或对大量同一客体的复制品的集合———系综进行一次同时测量,得到宏观上可区分的结果。在这个意义下,需要引入第二类波包塌缩的概念。假定对体系的系综进行测量,而不是针对单个量子系统进行一次测量,不必读出一个确切的结果。这时,要引入密度矩阵的概念去描述测量后系统的状态。对处于|f >=∑n c n |n >的系统进行连续的两次测量:第一次测量A ,然后再测量与A 不对易的B 。若| m >是B 的本征函数,相应的本征值为b m ,则在给定|n >态上得到b m 的几率为|< m |n >|2。由于在|Ψ>上第一次测量得到a n 的几率为|c n |2,则两次连续测量得b m 的几率为023物理学进展21卷

P m =∑n c

n 2< m n >2=< m ρ m >=T r ( m >< m ρ)(3)

其中,我们引入的半正定算符

ρf =∑n c n 2n >

便是第一次测量后体系的密度矩阵算符,Tr 代表求迹运算,即Tr (ρf )=∑ m < m |ρ| m >。因此,波包塌缩代表的量子退相干过程,可表示为该密度矩阵非对角项的消失。对系综而言,测量的作用是把原来的纯态密度矩阵

ρ=f >

∑n ,m c n c 3m n >

变为一个完全混合态密度矩阵ρf 。

图3　波粒二象性与测量对量子干涉的破坏。图(a )没有对路径的测量,能

观察到干涉条纹;图(b )进行了对路径的测量,干涉条纹消失。(取自文献[3])上述讨论表明,对系综而言,波包塌缩可描述为从纯态密度矩阵到完全混合态密度矩阵的转变。从物理上讲,这种约化过程代表了测量导致的相干性的破坏—量子退相干。简要地考虑如图3所示的物质波干涉的双缝实验。不对粒子束作任何测量,从源S 产生的粒子束经双缝分束后在屏C 上发生干涉。上述的干涉效应代表了粒子的波动特征。双缝干涉实验强调了物质波粒二象性的波动性侧面。根据量子力学哥本哈根解释的“互补性原理”(或称并协原理)[1],这个实验排斥了粒子性。现在

如果试图去观测粒子是通过哪一条缝隙到达屏C 的,则相应设计的实验强调了物质的粒子性(因为波是一个弥漫于整个空间的整体,点粒子却可以局域到缝A 或缝B ),干涉条纹便瞬间消逝了,发生了量子退相干。

直观地看,测量使得密度矩阵的非对角元消失了。需要指出的是,密度矩阵非对角元消失只是一种表观现象,选择不同的基矢,有非对角元的矩阵有可能对角化为没有非对角元的矩阵;而对角矩阵也可以变换为有非对角元的矩阵。因此,要内在地判定一个系统是否是纯态,只须看其秩(rank )是否为1。矩阵的秩是矩阵对角化后非零对角元的个数。如果它大于1,则是混合态,反之代表一个纯态。这个判据在矩阵的相似变换下是不变的,不依赖于基矢的选择,对于任意给定的密度矩阵,这个判据也可以表达为检验

ρ2=ρ

(6)是否成立。显然,等式(6)在相似变换下是不变的,即当ρ→ρ′=U ρU

-1,(6)式仍然成立。由(6)式知道,若|λ>是ρ的本征函数,λλ>=ρλ>=ρ2λ>=λ2λ>(7)

从而λ=1或-1。这就证明了(6)式保证ρ的秩只能是1。2　EPR 佯谬与Bell 不等式

由于物质具有上述的波粒二象性,许多不同寻常的量子特性会在微观世界凸现出来。1

23　2期孙昌璞:量子理论若干基本问题研究的新进展

223物理学进展21卷

爱因斯坦、波多尔斯基和罗森提出的EPR佯谬就是最典型一个,它涉及到量子力学是否完备(是否存在着隐参数),是否遵循定域性准则(是否破坏微观因果律)等根本问题。爱因斯坦和玻尔介入并领导的许多量子力学基本问题的争论,都是缘于EPR佯谬才变得极为尖锐。

关于量子力学的哥本哈根解释,爱因斯坦等人不相信,对第2个粒子的测量结果,取决于对位于类空点的第1个粒测量了什么。他们坚信,如果两个粒子分开足够远—是类空的,对第一个粒子的测量不会影响第二个粒子(现在我们认为,即使影响,也只能是几率方式的)。EPR佯谬正是基于这种定域论的观点提出来的。爱因斯坦等人进一步分析了量子测量中的定域性问题明确指出:1)或者量子力学的描述不完备;2)或者量子力学不满足“定域性”的准则。爱因斯坦是倾向于物理现象必须满足“定域性”准则,也就是不能有超光速的物理量的传递。爱因斯坦等人的分析,引起了许多人来探求关于量子力学的“隐参数”的理论。他们对量子力学的“非议”引起了很大的震动,以致于玻尔不得不亲自出面回答这一疑难。1935年,玻尔在《物理评论》上写了一篇文章指出[1],如果两个局部体系1和2形成一个总体系,那末这一总体系将由两个局部体系1和2所形成的整体的波函数ΟEPR态所描述。因而就没有理由说,我们考察的局部体系1和2是某种互不相关的独立的实在。即使这两个局部体系定义在特定类空时空点上,也不能认为它们是两个互不相关的局部的实在。因此,从量子力学解释的哥本哈根观点来看,对于系统1的测量将会影响到粒子2。实际上,玻尔并没有真正反对爱因斯坦等人所提出的“佯谬”,而只是说,量子力学不一定满足通常定域性的原则,但它的描述是完备的。

回答玻尔和爱因斯坦谁的意见更正确,只好由实验加以检验。1964年,贝尔(J.Bell)进一步发展了爱因斯坦等人的思想。他认为,EPR佯谬预示的双粒子系统的关联性,可以用“隐参数”来加以说明。为此,贝尔提出了一个来自于“定域”的隐变量理论的不等式,它对于对粒子体系关联的预言和量子力学预言的结果不同,从而可以从实验上来判断那一种理论更为正确。到1964年J.S.Bell提出了著明Bell不等式以前,人们对这种定域和非定域问题争论还仅局限于纯理论和理想实验层面。Bell不等式才第一次给出了用实验去判断爱因斯坦定域性要求和量子力学基本预言的差别的准则,以断定究竟什么是正确的。从1972到现在,先后有许多人进行了不同类型的实验,结果大多数实验和量子力学相一致,只有个别实验倾向支持贝尔不等式。这样一来,问题变得更加尖锐。

以下先扼要地介绍一下EPR佯谬的基本思想[2]。考虑一个由两个粒子组成的复合系统。如果这一双粒子系统的始态中总动量p=0,那末在两个粒子分开后,按照动量守恒定律,第一个粒子的动量p1必定与第二个粒子动量p2有关联,即p1=-p2,作反向飞行。但在未测量前,人们并不十分清楚p1或p2的方向和它们的绝对值的大小。当探测器测到了粒子1,得到p1=q以后,粒子2必将处在p2=-q态上。问题是,在量子系统的测量过程中,有一个“整体的”波包塌缩的现象:探测器将从某个描述粒子1的波包中“选择”动量为p1=q的平面波。按照量子力学的哥本哈根解释,这一“选择”对应仪器和波包间某种“不可控制的相互作用”的结果。在这种“不可控制相互作用”影响下,可能有p1=q,也可能p1=s,……等等。但令人奇怪的是:只要探测器量出p1=q,那末不论是否对粒子2的波包进行测量与否,就必然有p2=-q,描述粒子2的波包也将自动发生塌

缩现象。粒子1和粒子2的波包一起塌缩,我们也称之为整体波包塌缩。

从数学上讲,上述的EPR 态是“距离差算子”x 1-x 2和“动量和算子”p 1+p 2的共同本征函数,是一种特殊的量子纠缠态。我们可以把它表达为[44]

EPR >=x ,p >=e ip 1x 2x > p >

(8)这里|x >和|p >分别是坐标x 和动量p 的本征函数。如果对粒子1测量,得到了一个确切的结果p 1,测量后发生波包塌缩。塌缩体系后由密度矩阵为

ρI ?

(9)这恰是一个纯态

ρI =

p -p 1>

EPR 态的一种直观的描述是由Bohm 提出的[45]。他考虑了处在自旋单态上的双电子体系,其波函数是

EPR >=12(+z ,-z >--z ,+z >)(11)

图4　EPR 关联的量子特性其中z 代表自旋的轴,±代表设z 轴的方向。如果

测量第一个电子的z 方向自旋,我们可以50%几率

得到沿+z 方向的电子和50%沿-z 方向的电子。

当第一个电子被发现沿+z 方向,整个波函数被塌

缩到态|+z ,-z >上。这时再测量第二个电子,必

得到确定的结果,自旋沿z 轴向下。即使是两个粒

子分开得很远,这种关联仍然是存在的。可见,量子

关联或量子纠缠是波包塌缩蕴含的一个直接的结

果。与经典情况类比,这种情况看上去并不很特殊。

假设一个黑盒子里放了一只白球和一只黑球。你伸手到盒子里随便摸一只,得到黑和白球的几率各为1/2。但是一旦你拿到了一只黑球,然后把盒子拿开,不管多远,你仍然可以断定盒子里一定是白球。这种经典关联是人们事先制备好的,不足为奇。然而,量子情况并非如此简单,上述EPR 态除了描述二电子系统沿z 方向自旋的关联,它同样可以描述沿X 方向自旋的关联,或沿任意方向n 自旋的关联(如图4所示)。这种可以用一个态,描述不同方向自旋关联的奇妙特性,是量子纠缠的典型特征。这是因为,通过S x 的本征态

±x >=12

(+z >±-z >)(12)可以把上述EPR 态表达为

EPR >=12

(-x ,+x >-+x ,-x >)(13)因此,如观察者测量S x ,必定会得到两个不同粒子的X 方向自旋值的关联。

从上述讨论可以看出,对第二个粒子进行测量,得到结果依赖于事先对第一个粒子的什么力学量进行测量,如对第一个粒子测量S z ,得到结果+1/2,则对第二个粒子测量S z 323　2期孙昌璞:量子理论若干基本问题研究的新进展

得到确定的-1/2,而测量S x 得到结果是不确定的,得到±12

的几率各为50%。一般说来,对任意方向n ,我们仍然有

|EPR >=12

(-n ,+n >-+n ,-n >)(14)这种量子关联本质上还是起源于量子相干性和量子测量的波包塌缩。因此,在经典意义下,这种关联是很不确定的,究竟在一次测量中唯一的态|EPR >代表什么样的自旋关联,取决于事先对其中一个粒子做什么样测量。需要指出的是,EPR 态描述的两个电子自旋间关联,是具有相干性的,它既可以描述测量S z 时关联,又可以描述S x 之间的关联,但描述黑白球的经典关联的混合系综:

ρ=12+z ,-z ><+z ,-z +12

-z ,+z ><-z ,+z (15)意味着单纯的经典几率事件。基矢变换会导致非对角元的产生,它不再描写其它方向自旋的关联。例如,但由ρ在|±x >基下只能表达为以下的形式

ρ=12+x ,-x ><+x ,-x +12

-x ,+x ><-x ,+x +non Οdiagonalterms (16)

单纯的x Οspin 关联是不存在。因此,上面关于“盒子里黑白球”讨论与EPR 量子态描述。

图5　Bell 定域隐变量描述通过量子纠缠和经典纠缠物理上差别的讨论,

我们对EPR 关联精神实质已有了较好的了解。在

此基础上,完全可以按着Bell 的原来的讨论,证明

Bell 不等式。Bell 的证明是基于下列两个假定:一

个是存在人们尚未知晓的隐变量l (下面假定l 连

续变化);另一个就是要求理论是定域性的。设在

“空间点”A 测量粒子1的自旋沿空间方向a 投影

σ。a (σ是Pauli 矩阵)所得结果记为A (a ,l ),仅依赖于方向a 和隐变量l ,而A (a ,l )=±1,隐变量l 的取值决定了测量的结果。设另一个粒子2的自旋沿b 方向的投影σ。b

的取值记为B (b ,l ),依赖于方向b 和λ,B (b ,λ)=±1。理论的定域性意味着A (a ,l )不

依赖于b ,B (b ,l )不依赖a ;关联性要求,对于a =b ,A (a ,l )=-B (b ,l )。两个粒子的自旋沿不同方向a 和b 的投影的关联用A (a ,l )B (b ,l )刻画(图5)。由于图中隐变量l

尚未被揭示出来,要假设隐变量l 有一个分布ρ(l ),∫

ρ(l )d l =1。在实验中观测到的关联是对隐变量进行了平均后的结果,即

∫ρ(l )A (a ,l )B (b ,l )d l =(17)

它相当于量子力学中的期望值.

下面考虑粒子1自旋沿a (或a ′

)方向的投影与粒子2自旋沿b (或b ′)方向的投影的联系p =

=423物理学进展21卷

-(18)

考虑到A (a )B (b )≤1,A (a )B (b ′)≤1(19)

不难得到p ≤<1±A (a ′

)B (b ′)>+<1±A (a ′)B (b )>(20)于是,我们有广义的Bell 不等式

-A (a )B (b ′)>≤2±(

)B (b ′)>+)(21)

先讨论两个粒子处于自旋单态的情况。取a ′=b ′=c (两个电子沿同一方向投影)。对于自旋单态,我们有=-1而=。式(21)化为

≤1+(22)

这是Bell 不等式的标准形式,适用于自旋为1/2的二粒子体系处于自旋单态的情况。

可以证明,上列Bell 不等式与量子力学理论是矛盾的。例如,假设a ,b ,c 三个方向依次相差60°,按量子力学,在自旋单态下,我们可以计算σ?a σ?b 在EPR 态上的平均值(它代表了对第一个粒子和第二个粒子测量不同方向的自旋时的关联)。由于直接计算可以证明:

(σ 1+1 σ)EPR >=0

(σ?a )(σ?b )=a ?b +i σ?(a ×b )(23)

因此

=-

σ?b EPR >=-a ?b -i

=-a ?b =-cos θab (24)

其中θab 是a 和b 的夹角。当θab =π/3,θbc =π/3,θca =2π

/3时,利用上述的一般表达式,我们作以下的具体计算。

=-1/2,=-1/2,

利用纠缠光子对实验,Aspect 等检验了Bell 不等式的等价形式[11]。测量结果基本与量子力学预期值相符,而与这个等价的不等式明显偏离达5个标准偏差。后来,一些更精确的实验进一步肯定了Aspect 小组的结果。但是,Aspect 小组以及更早一些时候进行的检验Bell 不等式的实验,采用的多是原子级联衰变产生的双光子源。由于原子本身的反冲运动,辐射的一对光子并不严格处于相反方向上。如果光子1在确定的方向上被测量,光子2可能处在一个很大的空间立体角范围,这就是所谓的收集效率漏洞。采用自发参量下转换SPDC (Spontaneus Parametric Down Conversion )产生的双光子来作检验Bell 不等式的实验,Shih (史砚华)、Alley 、Kwiat 和Strekalov 等人便克服了上述问题,进一步检验了Bell 不等式[13]。523　2期孙昌璞:量子理论若干基本问题研究的新进展

3　路径选择测量与量子纠缠(Entanglement )

以上介绍了一种特殊量子纠缠态ΟEPR 态的奇妙特性。其实,一般的量子纠缠态是量子测量问题的关键。测量所导致干涉条纹消失的现象,来源于波粒二象性的互补原理。按着海森堡坐标一动量测不准关系,这个问题可以描述为测量对粒子动量不可控制的扰动。然而,目前理论和实验的研究都表明,不可控制的扰动不是解释干涉条纹消失的唯一

机制,还存在别外的机制Ο量子关联或量子纠缠,来解释路径(“which Οway ”

)实验中的干涉条纹消逝现象[34～37]。

事实上,产生量子纠缠是量子测量过程的必然要求。量子测量的操作只不过是从仪器的状态“读出”被测系统的状态。要用量子力学描述这种“读出”的过程,就必须有被测系统和测量仪器之间的关联。若|ψ>=∑n C n |n >是被测系统的待测状态,则量子关联或量子纠缠可以由系统加仪器形成的总系统的波函数

Ψ>=∑n C n n > e n >(26)

描述,其中{|e n >}是仪器的一组波函数。这种关联是一种相干叠加。一旦我们知道仪器是处于|e n >态上,整个波函数便塌缩到|n > |e n >上,从而断定系统的状态是|n >。要指出的是,EPR 态之所以是一种特殊的量子纠缠态,是因为直积|n > |e n >的两个部分|n >和|e n >是对称的:描述同一种粒子,|n >和|e n >各自正交,并张成的维数相同的Hilbert 空间。对一般的量子纠缠态,无须要求这种对称性。

图6　冷原子两次Bragg 散射示

意图(取自文献[3])从物理本质上讲,显示自旋存在的Stern ΟG erlach (SG )

实验就反映了这样一种量子关联,即从原子的空间分布读

出内部状态自旋的存在[3]。SG 实验很直观地说明了量子

关联的确是导致量子退相干的原因,但由于在实验中磁场

的作用改变了原子的动量,故很难看出“不可控制的动量扰

动”是否间接地起了作用。为了突出问题的实质,我们稍加

详细地介绍德国Rampe 研究小组利用冷原子Bragg 散射进

行的“which Οway ”实验[19]。在这个冷原子Bragg 散射实验

中(如图6),让原子束A 以特定的夹角入射到驻波场中。

由于原子的跃迁频率ωα与驻波场的频率ω是大失谐的,即

|ωα-ω|与相互作用强度相比很大,原子在驻波场中的运动将不易发生内部能级间的跃迁,从而使原子的质心运动

经历一个周期场,体系的有效哈密顿可以写为:

H =p 22m - 2g 24Δcos 2kx (27)623物理学进展21卷

其中Δ=ω-ωa 。哈密顿的推导和相应的Bragg 散射的讨论详见文献[3]。与电子在周期晶格上的Bragg 散射相类比,我们会看到,对于适当的入射角,原子束会对称地分为两束B 和C 。再经过一次Bragg 散射,B 和C 将分别分为D 束和G 束及E 束和F 束;D 束和E 束、F 束和G 束将分别发生干涉,形成如图7所示的干涉条纹。实验中采用的原子是85Rb ,其激发态52P 3/2记为|e >,其基态52S 1/2相对于总角动量F =2和F =3分裂为两个超精细态|2>和|3>

。

图7　干涉条纹(取自于文献[19])

我们取驻波场的频率ω正好在|2>和|3>中间。这使得失谐量相对于|2>是小于零的,而相对于|3>是大于零的,即

Δ2=ω-ωg (2)<0,Δ3=ω-ωg (3)>0

(28)

图8　Bragg 散射与Rabi 转动结合产生内部—空间关联(取自文献[3])根据[17]的结论,如果方程(27)的Δ改变符号,则在Bragg 散射

的过程中,内部状态不变,但空间状态改变符号。因此,开始制

备在状态|3>上的原子,经Bragg 散射后,空间状态不变号,而

开始制备在状态|2>上的原子,经过Bragg 散射后变号。

在Rampe 小组的实验中,为了实现空间态和内部态的关

联,他们先在|2>态上加一个～3GHz 的π/2微波,产生Rabi

转动,使得原子处于叠加态1/2(|3>+|2>)上,然后经过

Bragg 散射,分为内态为1/2(|3>-|2>)的B 束和内态为

1/2(|3>+|2>)的C 束;再施加相同的π/2微波产生第二次Rabi 转动,使得B 束内态为|2>,C 束内态为|3>。通过上

述Rabi 转动(如图8),我们用内态对空间状态进行了标记,产

生了一个量子纠缠态

ψ>～ψB > 2>+ψC > 3>,(29)

从而,实验中显示的干涉条纹消失了(如图9)。实验结果进一步显示,整个干涉条纹包络的宽度是不变的。这个事实表明,由此展现的量子退相干不能解释为测量对原子质心动量的力学扰动。事实上,要抹掉干涉条纹,力学效应必须引起横向动量的弥散,其大小相723　2期孙昌璞:量子理论若干基本问题研究的新进展

图9　“which Οway ”观察导致干涉条纹消失(取自

于文献[19])当于条纹的空间周期,从而使得整个条纹的

包络加宽。然而,在实验中,这个包络宽度不

变,说明动量扰动不是本实验中干涉条纹消

失的原因。详细讨论请见,Rampe 小组的文

章[19]。

另外一个“which Οway ”实验是利用介观

环完成的[22]。在一个电子平均自由程可以

与其空间尺度相比拟的介观环中(如图10),从A 点注入的电子。平均地看来,还没来得

及与晶格碰撞便在B 点相干地会聚在一起。来自不同路径的电子会保持原来的相位记忆,产生Aharonov ΟBohm (AB )效应,即在B 点测得的电流是穿过介观环磁通<的振荡函数。需要指出的是,这里的磁场被限制在垂直于环面的罗旋管内,并无电子与磁场间的“直接相互作用”。然而,为了探知是否有电子通过一支臂D ,实验人员在介观环的D 臂附近放置一个所谓的量子点接器(QPC ),通过库仑阻塞效应(Coulomb blockade ),监测D 臂中电子的运动。在这个探测中,D 臂中电子并没有与QPC 中电子的直接相互作用,不图10　用量子点接触和介观环实现

的which Οway 观测示意图

产生可观的力学动量扰动。然而,实验发现QPC 的探

测能力越强,B 处电流的相干效应越小,甚至使得相干

性完全消失。这个结果仍可以解释为量子纠缠效应,

即可以把电子的状态写为

ψ>= ξc >+ ξd >,(30)

其中|ξc >和|ξd >分别代表与C 和D 臂电子分波

|ψc >及|ψd >相耦合的QPC 状态,它们的重叠积分代

表上述介观环AB 效应的分辩率。要指出的是,对光

子系统和中子系统,人们也证实了相同的结论[20,21]。4　量子测量的因子化动力学理论

从以上讨论可以看出,量子纠缠是量子测量理论乃至量子力学最重要的观念之一。由此我们可以给出量子测量的一般动力学描述。在冷原子Which Οway 实验的分析中,已经蕴涵了量子测量动力学理论的基本思想。通过相互作用描述量子力学测量过程的思想,最早可以追朔到1935冯?诺意曼的开拓性研究。由于微观粒子的运动服从量子力学的基本定律,而仪器是由这样多个微观粒子组成的,仪器也应当用量子力学加以描述。因此,只要适当地引入被测系统和仪器间的相互作用,从系统+仪器的总系统的薛定谔方程,人们期望可以推导出波包塌缩。

实际上,量子测量动力学理论是假定了仪器和系统之间的某种特殊的相互作用。设{|n >|n =1,2,…,}是被测系统希尔伯特空间V s 的完备正交基矢,|e n >是仪器希子伯823物理学进展21卷

特空间一组矢量,恰好对应于|n >。量子测量或预量子测量(pre Οquantum measurement )过程可表达为由因子化初态

ψ(0)>=(

∑c n n >) e >(31)到量子纠缠态

ψ(t )>=(∑n c n (t )n > e n >(32)

的时间演化,其中|e >是仪器的初态;|e n >是通过相互作用产生的与系统态相关联的未态。

在量子测量的这种描述中,量子退相干的出现是量子纠缠的必然结果。考察对应于量子态(32)的约化密度矩阵

ρs (t )=∑c n 2n >

∑m ≠n c n c 3m n >(33)

如果能够“很好地区分”仪器状态(这是理想测量所要求的),仪器态的重叠积分

=∫

ψ3m (q )ψn (q )d q (34)要趋近于零,其中q 笼统代表仪器座标ψn ,(q )=,(下图11直观地描述了其物理图象)。这时

,约化密度矩阵变成了一个混合态:ρs (t )=∑c n 2n >

图11　仪器态重叠积分

然而,对于量子测量应用而言,什么样的相互作用会产生这样的量子纠缠呢?一般地说来,要求演化矩阵具有“半因子化”的形式

U (t )=∑n e -i E n t n >

其中U n (t )是作用在外部空间上的有效演化矩阵,它把|e >演化成|e n >。待测的可观察量A ,在演化的过程中是不变的,即是一个守恒量。可以断定,量子系统加上仪器的总哈密顿的形式必为

H =H s +H I +H e =H 0 I +∑n n

>

其中

H 0=∑E n n >

H I=∑V n(x)n>

[H0,H I]=0,[H e,H I]≠0(40)上述(40)第一式代表产生量子纠缠的相互作用并不影响系统的状态,而第二式代表系统的存在却能有效地影响仪器(或环境)的状态。这样一类量子非破坏测量实验恰好说明,量子测量导致量子退相干的讨论无须引入“不可控制扰动”的主观参与的观念。如果把量子退相干或波包塌缩直接理解为相干条纹的消失,则应用系综的观念就足以解释现有实验的一切问题。事实上,过份地强调单粒子测量的随机塌缩,也许并不是真实物理实验的要求。

剩下的问题是,需要讨论在什么情况下能“很好地区分”仪器状态,使得称之为退相干因子的重叠积分会变为零,从而实现一个理想的量子测量。我们将论证仪器或环境的宏观性的确会满足上述要求。这方面的研究的一个开拓性工作是由Hepp作出的。由于Hepp这个工作主要是在与Coleman通信中受到关键性的启发,人们通常把Hepp建立的量子测量的动力学模型称为HeppΟColeman模型(HC模型)。虽然J.Bell曾对这个模型的一些结论提出了批评[32],但并不影响其主要思想的正确性。以下介绍主要依据Bell的表述进行,并对Hepp的讨论加以适当的修正。

在HC模型中(图12),被测系统是一个动能项为cP,自旋为1/2的极端相对论粒子。用σ1(0),σ2(0)和σ3(0)表示它的自旋算子;测量仪器是由N个固定于格点上的自旋1/2的粒子组成的阵列,当极端相对论粒子通过这个自旋阵列时,由于自旋耦合阵列中的自旋

将按某方式反转。从阵列反转的形式可以确定被测粒子的自旋状态。现在写下HC

模型

图12　极端相对论的自旋粒子与自旋阵列相互作用(取自于文献[3])的哈密顿量

H=cP x+1

2

(1+σ3(0))∑

N

j=1

V(x-j)σ2(j),(41)

其中V(x)是依赖于位置x的耦合常数,σi(j)(i=1,2,3;j=1,2,3,…,N)代表阵列中第j个自旋的Pauli矩阵。由于相互作用项中出现1/2(1+σ

3

(0)),在不同自旋态上的极端相对论粒子将对仪器产生很不相同的相互作用。设

↑>=1

,↓>=

1

,

设初始时刻仪器中的每个自旋均处于自旋向下的状态,即

e>=↓> ↓> … ↓>

代表仪器的初态。由

033物理学进展21卷

Ψ(x ,0)>==ψ(x )[(α↑>+β↓>)] e >

代表大系统(仪器加被测系统)的初态。这里ψ(x )=代表极端相对论粒子的空间波函数,而其自旋处于相干叠加态|x (0)>=α|↑>+β|↓>上。

为了计算系统的时间演化,先写出相互作用表象中的模型哈密顿量

H I =∑N j =112

V (x -j +ct )[1+σ3(0)]σ2(j ),

(42)

和相应的演化矩阵

U I (t )=

∏N j =1e -i F (x -j +ct )σ2(j )12[1+σ3(0)](43)

其中

F (x -j +ct )=∫t

-∞V (x -j +ct ′)d t ′=1c ∫x -j +ct -∞V (y )d y

通过计算可以直接求出t 时刻的波函数

Ψ(x ,t )>=U (t )Ψ(x ,-∞)>

=Ψ(x -ct )(α↑>

∏N

j =1 U j (t )↓>+β↓> e >)(44)

其中

U j (t )=e -i F (x -j )σ2(j )=cos F (x -j )-i σ2sin F (x -j )

是被测粒子自旋向上状态作用在自旋阵列中的第j 个自旋上的有效演化矩阵。

如果选择V (x )在整个空间上积分是有限的且归一化为∫∞-∞V (x )d x =π

/2,则当t →∞时F (x -j +ct )→π/2,有

U (t )↑(0)> ↓> … ↓>～↑(0)〉↑〉 … ↑>,

U (t )↓(0)> ↓> … ↓>～↓(0)〉↓〉 … ↓>

(45)上式表明,如果被测粒子处于自旋向上状态,它通过自旋阵列后,阵列中的N 个自旋全部反转,而当被测粒子处于自旋向下状态时,阵列中自旋不变。当N 很大时,总自旋改变的效应是十分明显的,从而实现了一个理想的量子测量。在宏观极限下,有限时间演化仍然能够很好地描述量子测量过程。这时,阵列在z 方向自旋平均值的改变为

ΔS z =12∑N j =1<Ψ(t )σ3(j )Ψ(t )>+12N =α2∑N j =1

sin 2F (x -j )(46)在弱耦合极限下,∫t -∞V (y )d t 是一个小量,即sin 2F (x -j )?F 2(x -j )。假设V (x )是一个常数,则有ΔS z =2N V 2t 2。通常我们取van Hov 极限:在N →∞和V →0时V N →有限值。这时自旋的改变是有限大的宏观量。写下约化密度矩阵

ρ=T r d (Ψ(t )><Ψ(t ))

=ψ(x -ct )2(α

2↑><↑+β2↓><↓

+α

β3↑><↓F (N ,t )+h.c.)(47)

这里约化密度矩阵的非对角元伴随着一个因子化的退相干因子F (N ,t )=

∏N j =1<↓u j >=∏N j =1cos F (x -j )(48)1

33　2期孙昌璞:量子理论若干基本问题研究的新进展

显然,|cos F (x -j )|≤1,若F (x -j )≠n

π,(n =0,1,2,…)。N →∞,F (N ,t )→0。组成仪器的粒子数N →∞,意味着仪器是宏观的,故N →∞极限称为宏观极限。以后将进一步证明F (N ,t )的因子化结构是实现量子退相干的关键。

上述讨论表明,作为一个典型例子,HC 模型显示了在量子力学框架下实现波包塌缩

的可能性。但由于HC 模型没有包含仪器自由能量项∑N j =1ωj σ3(j ),和被测粒子的自由能

量项ωσ3(0),故不能描述测量过程中能量变换等问题。1992年Namik ,Nakazato 和Pascazio 首先推广了HC 模型,使之包含了这些自由能量项,正确地描述了相关的物理问题。而后,我们通过分析和推广这些模型发现,上述的退相干因子的因子化结构对实现量子退相干起着重要作用。基于因子化结构的各种物理实现,可以把HC 模型推广到更一般的情况。根据我们发展的因子化理论[35～41],如果把仪器想象成一个由N 个无相互作用粒子组成的宏观物体,其状态必为N 重直积,即

e >=

∏N j =1e (j )

>,e n >=∏N

j =1en (j )

>,(49)于是F m n (t )=

∏N j =1F m (j ,t )≡∏N

j =1,(50)

由于|F m n (j ,t )|=|

F m n (t )→N →∞

这个结果表明,因子化结构是量子测量动力学模型的普遍要求。5　量子退相干过程的Q ED 检验

基于量子测量的动力学因子化理论,上节的讨论主要强调,量子测量导致量子系统相干性的损失—量子退相干可以是一个逐渐出现的物理过程,而不一定是瞬间塌缩。Haroche 小组1996年完成的腔Q ED 退相干过程观测实验[23]恰好证实这一点。

在他们实验中,通过测量的方法,量子微腔预先制备在相干态|a >上;而经典微波场产生Rabi 转动,把原子制备在一个叠加态

ψ(0)>=1/2(e >+g >) α>(51)

其中二能级原子的能级是|g >和|e >。如果微腔的本征频率对于原子跃迁频率来说是大失谐的(与腔场—原子耦合强度相比是很大的),在原子穿过腔场的过程中,原子不发生内态的跃迁,但腔场会经受不同的演化,最后形成纠缠态

ψ(t )>=1/2[e > αe i <>+g > αe -

i <>](52)

其中<=t Ω2/Δ,Δ=ωα-ω(详细推导见附录I )。在实际实验中(如图13)|g >和|e >是铷原子的两个Rydberg 能级,主量子数为51和50,相应的跃迁频率为51.099GHz 。它们的寿命较长,约30ms.C 是高Q 超导Fabry ΟPerol 腔,Q 值为5.1×107,这相当于光子的寿命为160μs 。铷原子的这两个能级与光场233物理学进展21卷

图13　

实验装置示意图(取自于文献[23])有很强的作用,Ω/2π=24kHz 。给腔C 注入光

子,平均C 中有0到10个光子不等。而R 1和

R 2是两个被S ′连续驱动的低Q 腔,以用来产

生e 和g 间的Rabi 转动,S ′的频率是可调的。

实验最后用场电离探测器D e 和D g 来观察原子

处在激发态和基态的数目,它们可在10分钟内

记录5000个事件,效率为40%左右。由此可以

很准确测得原子在基态上的率P g 。通过R 1和

R 2的频率扫描(中心值与原子跃迁共振)可以给出作为频率γ的函数的几率P g ,即测得系统的Ramsey 干涉条纹。应当指出e Οg 的跃迁在腔R 1和R 2中均可能发生,但由于实验不能区分跃迁是在它们处发生的,这种作用没有记录“Which ΟWay ”信息,从而保持很好的相干性。

原子经过腔R 1后,被叠加到态|L >=1/2(|e >-|g >)上。经过腔C 后,腔一原子耦合系统便处在一个量子纠缠态

ψ(0)>=1/2(e > αe i <>-g > αe -i <>)(53)

上,其中<=Ω2T Δ这里T 代表原子穿过腔的时间,以后总系统将以|ψ(0)>为初态进行演

化。在低Q 腔R 2中,原子会再经历一次Rabi 转动。描述这个过程的有效哈密顿量是

H R =ωαe >

(54)由此我们可以得到原子经过R 2腔Rabi 转动后的波函数(详细推导见附录I )ψ(t )>=1/2(e -

i ω′αT e (t )> αe i[<-ω(T +t )]>-g (t )> αe -i[<(T +t )]>)(55)其中ω′α=ωα+Ω2Δ且

e (t )>=e

-i γt α(t )e >+β(t )g >g (t )>=e -i γt

β(t )e >+α(t )g >(56)这里θ由coth θ=2Ωωα-

γ决定由此,α(t )=cos Et -i cos θsin Et

β(t )=-i sin θsin Et

(57)它给出原子最后跃迁到基态上的几率

P g (t )=12-Re (α′β(e -i ω′αT sin θsin Et [i cos Et -cos θsin Et ]<α+|α->)

(58)

对完全相干的情况<α+|α->=1,如微腔C 最初被制备在真空态上,<α+|α->=1。这时,我们得到333　2期孙昌璞:量子理论若干基本问题研究的新进展

P g (t )≡P (γ)=12

+[(cos ω′αT cos θsin Et -sin ω′αT sin θcos Et )sin Et ](59)特别对于大失谐情况|ωα-γ|>>Ω,sin 2θ?2Ω|Δ|

,我们得到一个理想的Ramsey 干涉条纹

P (γ)=12(1+ΩΔ0cos ω′αT )-12cos [(ωα-γ)t -ω′αT ](60)

这显然就是Haroche 小组实验中的图14A 所示的完全相干的Ramsey 振荡。这种干涉强度必为腔场的量子纠缠所破坏。对于不同的退相干因子对于不同的退相干因子

<α+α->=e -D 2(

61)

图14　Haroch 小组1996实验结果:累计的光子数越多,Ramsey 干涉条纹越模糊(取自于文

献[23])

(其中n =|α|2代表腔C 中的光子数),D =2n sin <表征了两个相干态分开的程度;当微腔中累计的光子数越来越多,腔场变得越来越宏观,则作为重叠积分的退相干因子会变

得越来越接近于零。当n =∞时(腔C 的场完全“宏观”

),原子完全退相干,P =1/2,Ramsey 干涉条纹完全消失。

以上描述的Haroch 小组的实验也以十分确凿的证据揭示我们,量子力学中的互补性433物理学进展21卷

图15　实验装置示意图(取自于文献[23])原则主要体现在量子纠缠上。还需要指出的

是,对于这类问题的讨论,Rampe 小组的which Ο

way 实验主要强调空间相干被破坏,而Haroch

小组的实验主要强调时间的相干性(Ramsey 条

纹)被破坏。

需要指出的是,上述讨论测量仪器只是具

有一个分量(模式)的腔,与我们因子化理论中

的多个分量乘积结构是有差别的。为了考察组

成仪器多个分量(或粒子)的影响,Haroch 小组在1997年提出了如图(15)所示的多腔耦合方

案。在它们的实验方案中,腔C 0与C 1具有线性耦合。若用α+0,α+1和α0,α1分别代表

它们的产生、消灭算符,则耦合方式为

H c =Ωc (α+0α1+α+1α0)(62)

简单计算可以证明,当t =0时,腔C 0处于相干态|α0>,但C 1处于真空态时,t 时刻它们将分别处于相干态|α(t )>和|β(t )>

α(t )=α0cos (

Ωc t 2)β(t )=α0sin (Ωc t 2)(63)

如果有一个原子通过腔C 0时,原子与两个腔形成的复合体系将处于纠缠态

Ψ>=1/2(αe -i <>βe -i <>g >+αe i <>βe i <>e >)(64)

如果在腔R 1中,通过Rabi 转动改变原子的状态|g >→1/2(|g >+|e >),|e >→1/2(|g >-|e >),最后一旦探测到原子在态|g >或|e >上,两腔场将处在

Ψc >=1/2(αe -i <>βe -i <>±αe i <>βe i <>)(65)

如果让两个原子相继通过腔C 0,实验中可以测量条件计数几率:若第一个原子在态|s >上,第二个原子在态|k >上,则条件计数率为P sk (s ,k =e ,g )。实验中的关联信号通常记η=P ee -P ge 。不难证明

η=1/2Re[<α,βe -i <α,βe i <>]=1/2e -2n sin 2(Ωc t 2)sin 2

如果考虑无穷多个腔C 0,C 1,C 2,…,C j …的耦合其中∑|βj |

2=代表腔中平均光子数。关联信号最后可以写为

η=1/2∏Re <βj e -i <>βj e i <=1/2Re (e -∑|βj |2(1-exp [-2i <])(67)

如果腔场是衰变的=n (1-e -vt ),v 是衰变率,关联信号将不再振荡,而是变成一个衰变函数(如图16),从而出现量子退相干。这个实验方案由于技术原因尚未最后完成。533　2期孙昌璞:量子理论若干基本问题研究的新进展

图16　多腔耦合的量子退相干:左图是两腔耦合情况的两原子关联信号,n =5;右图是多腔

耦合情况的两原子关联信号(取自于文献[23])

6　薛定谔猫佯谬,宏观物体的空间定域化与C 60分子干涉实验

,对薛定谔猫和宏观物体的空间定域化问题给出可能的物理解答。定性地说,一方面,组成宏观物体的微观粒子的个体无规运动,以及宏观物体所处的环境的内部随机运动,会与宏观物体的集体自由度耦合起来。随着环境的自由度或组成宏观物体的粒子数增多,与之相互作用的量子系统会出现量子退相干,使得量子相干叠加名存实亡。由此看来,“薛定谔猫佯谬”和宏观物体的空间定域化问题有可能起因于对问题的不恰当地表述。最近,C 60分子干涉实验有可能对这些基本问题的理解给出进一步的实验检验[24]

。

图17　薛定谔猫佯谬:(取自Phys.Today ,23,9)

与爱因斯坦一样,作为量子力学创始人之一,薛定谔对量子力学的“哥本哈根解释”也是心存怀疑的。他认为,如果“哥本哈根解释”关于量子力学测量的讨论是正确的,则对由满足量子力学的微观粒子组成的宏观物体也应是有效的。由此推论,如果一只“宏观的猫”处在死态和活态的相干叠加上,猫的死活不再是一种独立于观察者主体的客观存在,633物理学进展21卷

而是依赖于观察者测量。显然,这是有背常理的,从而量子力学的合理性和普适性均受到了严重的责难和挑战。薛定谔假想了一个理想实验(图17):把一只猫和一个具有两个状态|0>和|1>的放射性粒子封闭在一个盒子里。当粒子处于激发态|1>上,便会发出一种射线触动特定装置,把猫杀死;而粒子处在基态|0>时便不辐射,猫则安然无恙。|D >和|L >分别代表猫的死态和活态,|D ,1>=|D > |1>,|L ,0>=|L > |0>。如果猫处在如下的相干叠加态

cat >12(D ,1)+L ,0>)(68)

上,猫就会处在一种非死非活、又死又活的悬而未绝的状态。“死”和“活”的客观性在“哥本哈根解释”中是不存在;打开盒子后的测量和观察(主观参与)决定猫的命运。这个推论通常是不合理的,薛定谔由此怀疑量子力学可能有内在的不自恰性。

与薛定谔猫佯谬相联系是宏观物体空间局域化问题。它的讨论起源于1950年前后爱因斯坦和玻恩的通信[45]。他们发现一个质量为M 的宏观物体质心运动由自由哈密顿量H =p 2/2M 描述,其能量本征态是一个平面波。这是一个没有空间局域化特征的扩展态,与实际观察相矛盾:宏观物体是定域在空间特定区域内。因此,宏观物体波函数应是一个时间相关的波包,而不是一个平面波。然而,这个理解会导致一个新的矛盾,即波包会扩散,初始波包宽度为α的波包在t 时刻波包宽度为

α(t )=α1+t 24M 2α2(69)

当t →∞时,空间局域化将被破坏。玻恩对这个问题的回答是:宏观物体的质量M 很大,从而α(t )是一个变化很慢的函数,故宏观物体仍然可以在量子力学的框架下,通过一个很窄的扩展很慢的波包来描写。爱因斯坦进一步反驳了玻恩的观点:宏观物体的“波函数很窄”的要求,与量子力学基本原理—态叠加原理是有矛盾的。设|ψ>1和|ψ>2是薛定谔方程的两个解,则|ψ>=|ψ>1+|ψ>2也是薛定谔方程式的一个解,虽然|ψ>1和|ψ>2相对宏观坐标都很窄,但它们的叠加却不一定很窄。

从环境粒子与宏观物体散射导致量子测量的角度,Wigner [46]及Joos 和Zeh [47]讨论了解决上述问题的可能性。设|x >是宏观物体的位置本征态,|ξ>是所有散射粒子的入射初态。由于宏观物体散射的反冲可以忽略,散射过程会导致被散射粒子与宏观物体位置的纠缠:

x >ξ>→t

x > ξx >=x > S x ξ>(70)

其中S x 是相应于位置x 的散射矩阵。因此,对任意波函数ψ(x )有∫d x ψ(x )x >ξ>→∫d x

ψ(x )x >S x ξ>(71)这时宏观物体约化密度矩阵从初态ρ(x ,x ′)=ψ(x )ψ(x ′)改变为ρ(x ,x ′)→t ψ(x )ψ3(x ′)<ξS +x ′S x ξ>(72)

进而,通过散射平移不变性的分析,他们计算得到

T (x ,x ′)=<ξS +x ′S x ξ>～e -Λt (x -x ′)2(73)733　2期孙昌璞:量子理论若干基本问题研究的新进展