灰色理论建模（2008讲义）

2008年全国大学生数学建模竞赛集训 灰色理论建模专题 主讲：饶从军

灰色理论建模

1 灰色系统发展概况

1982年北荷兰出版公司期刊System & Control Letter发表了邓聚龙教授的论文“Control Problems of Grey Systems”，宣告了灰色系统理论的诞生。经过整整20多年的发展，目前这一理论已成为一门新兴的边缘学科，应用日益广泛。据1997年11月26日《中国科学报》在“中国有了自己的科学引文数据库”一文中报道：1989年至1996年，灰色系统理论被引用533次，居全国之先；2000年1月14日《科学时报》第四版，中国科学引文数据库CSCD在“全国论文与专著被引用频次在60次以上的著者”中报道，邓聚龙教授的论著以被引用143次，居全国榜首。2002年3月24-26日在美国匹兹堡召开的系统与控制世界组织(WOSC)12届年会和国际一般系统研究会(IIGSS)4届年会联合大会上，由于在灰色系统理论研究中取得的创造性成果，中国的刘思峰教授同波兰科学院院士巴布尼茨基（Zdzislaw Bubnicki）教授和国际一般系统研究会主席福雷斯特（Jeffrey Forrest ）教授共同获得系统与控制世界组织突出贡献奖。 1.1 灰理论的特点与作用

千百年来,人类为认识客观世界而不断地探索,但是,由于人的认识是一个无限的过程,因此对许多事物或系统的认识是不完全的,也是若明若暗的,这种系统信息的不完全性、不确定性即为灰性.灰理论把人的思维、思维的成果、人的经验、知识、智慧以及各种情报、资料和信息统统集成起来,从多方面的定量认识上升到定性认识,达到从整体上研究和解决问题的目的,是科学方法论上的重大进展,具有重要的科学意义和深远的学术影响。

灰理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰理论经过20多年的发展，已基本建立起一门新兴学科的结构体系。其主要内容包括以灰色朦胧集为基础的理论体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体

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系。其理论基础是灰朦胧集；方法基础是系统科学和数学；实践基础是系统工程应用；哲学基础是马克思主义认识论和实践论。灰色系统理论是研究不确定性问题的方法论上的创新，从方法论层次来看,其特点和对“少数据不确定性”系统研究的指导作用主要体现如下：

一、研究路线

灰色系统理论采取了从整体到部分再由部分到整体,把宏观和微观结合起来,从不同方位、不同角度来研究问题.也就是说,灰色系统理论的思维方式是多视角.对于少数据不确定性问题,由于是有限维问题,不可能象概率与数理统计那样重复再现,也不可能象模糊数学那样外延量化,只能从多角度、多方位来挖掘系统的内在规律。

灰模型的建立过程就是这样.经典的数学模型大都是用微分方程来表示的,它适合连续可微的对象.对于不确定性系统的行为特征—序列,首先是不连续的,更谈不上可微性.再者,微分方程属于无穷信息空间,而有限序列是有穷信息空间。因此,用序列作微分建模时,首先从序列的角度了解一个真正的微分方程模型应该满足哪些条件,然后分析现有序列是否满足这些条件,对那些可以近似地满足微分模型构成条件的序列,建立近似的微分方程模型。

二、技术路线

灰色系统理论的依据是信息覆盖,依靠信息覆盖去描述、分析、综合、处置信息不完全、不确定的灰对象.信息覆盖的内涵是指用一组信息去包容、覆盖给定的命题,也就是利用已知的、不同方面的一些定量描述,通过灰生成手段来研究系统的性质,最终给出定性分析,找出现实规律,从而达到从实验、理论、研究的回答.例如要研究一个人的健康状况,首先找出与健康有关的因素,如血压、心跳、体温等等,也就是说如果利用这些信息构成一个集合,那么这个集合就可以大体上描述这个人的身体情况.当然,集合的构成越多,描述的则越详细。从这种意义上来说,集合的信息覆盖了健康状况。因此,通过研究集合的因素形态,就可以达到认识一个人健康状况的目的。

三、实现信息、知识、智慧的不断深化

信息、知识、智慧是三个不同层次的问题。有了信息，未必有知识，有了信息、知识也未必有智慧，信息的综合可以获得知识,信息、知识的综合可以获得智慧.灰色系统理论为了研究“少数据不确定性”系统,首先挖掘系统的有用信息,用信息覆盖来描述系统,

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通过对信息的分类、加工及处理,找出系统的内部规律,使人们掌握研究事物的知识,获得开发系统的智慧。

在自然科学、数学科学等这些所谓“精密科学”中,是用严密的逻辑推理、精确的物理、化学和生物实验,来证明和验证经验性判断的正确与否,从而得出科学结论.但这种方法对一些系统问题,如社会系统中的问题既不是简单的逻辑推理能得出结论的,也不能直接进行社会实验.这就需要有新的方式来完成这个过程.灰色系统理论处理的过程是按照胚胎集→发育集→成熟集→实证集来完成的,也就是运用辨证思维的方式,从实验到理论再到研究的过程。

用模型和模型体系来描述系统是系统定量研究的有效方式。这种方式在自然科学、系统科学中被广泛使用.在系统科学中,对简单系统、大系统、简单巨系统的研究,几乎完全是基于数学模型.但需要指出的是,对系统建立模型,必须紧密结合系统实际,要基于对系统的真实了解,依据实际数据,提炼出系统内部的某些内在定量联系,将系统描述出来。为此,甚至借助于经验知识的帮助,而不是追求数学上的完美,这是一个经验与科学知识相结合的过程.因为数学上的完美性,并不一定代表系统的真实性。灰色模型是灰色系统理论的重要内容之一,不同于“白因白果率”的经典模型,它是少数据基于灰因白果率、差异信息原理、平射原理的建模,它既不是一般的函数模型,也不是完全的差分方程模型，或者完全的微分方程模型,而是具有部分差分、部分微分性质的模型。模型在关系上、性质上、内涵上具有不确定性。

在数据与信息体系、指标体系、模型体系的支持下，灰色系统理论依据信息认知原理、解的非唯一性原理、白化原理、灰性不灭原理、最少信息原理对少数据不确定性系统进行分析,使得信息、知识、智慧之间不断深化，从而达到认识、解决问题的目的。 2 灰色关联度理论

灰关联理论不仅是灰色系统理论的重要成果之一，而且是灰预测、灰建模、灰决策和灰控制的基石。下文将对数据变换的类型及性质进行讨论，建立点关联度理论，并对目前应用众多的关联度分析方法进行研究。 2.1 数据变换技术

为保证建模的质量与系统分析的正确结果，对收集来的原始数据必须进行数据变换和处理，使其消除量纲和具有可比性。

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定义1 设有序列

x?(x(1),x(2),?,x(n))

则称映射

f:x?y

f(x(k))?y(k), k?1,2,?,n为序列x到序列y的数据变换。

1）当

f(x(k))?x(k)?y(k), x(1)?0 x(1)称f是初值化变换；

2）当

x(k)1nf(x(k))??y(k), x??x(k)

xnk?1称f是均值化变换；

3）当

f(x(k))?x(k)?y(k)

maxx(k)k称f是百分比变换；

4）当

f(x(k))?称f是倍数变换；

5）当

x(k)?y(k), minx(k)?0

kminx(k)kf(x(k))?x(k)?y(k) x0其中x0为大于零的某个值，称f是归一化变换；

6）当

f(x(k))?x(k)?minx(k)kmaxx(k)k?y(k)

称f是极差最大值化变换；

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7）当

f(x(k))?x(k)?minx(k)kmaxx(k)?minx(k)kk?y(k)

称f是区间值化变换。

定义2 设有多指标序列

x1?(x1(1),x1(2),?,x1(n))x2?(x2(1),x2(2),?,x2(n))

??xm?(xm(1),xm(2),?,xm(n))则称映射

f:xi?yi

f(xi(k))?yi(k)为序列xi到序列yi的数据变换

多因素多指标的数据变换方法主要依赖于指标的属性类型，目前文献中见到的属性类型有效益型、成本型、固定型、区间型、偏离型和偏离区间型六种[162]。效益型属性是指指标值越大越好的属性，成本型属性是指指标值越小越好的属性，固定型属性是指指标值接近某固定值a (k)越好的属性，区间型属性是指指标值越接近某固定区间（包括落入该区间）越好的属性，偏离型属性是指指标值越偏离某固定值c (k) [b(k),b(k)]越好的属性，而偏离区间型属性是指指标值越偏离某区间[d(k),d(k)]越好的属性。

记 M?{1,2,?,m}为因素集的下标集合 N?{1,2,?,n}为指标集的下标集合，

Nt (t?1,2,3,4,5,6)分别表示效益型、成本型、固定型、区间型、偏离型和偏离区间型指标的下标集合，则有 N??Nt

t?16关联分析中常用的一组数据变换可归纳为：

yi(k)?xi(k)?minxi(k)imaxxi(k)?minxi(k)ii i?M,k?N1

yi(k)?maxxi(k)?xi(k)imaxxi(k)?minxi(k)ii i?M,k?N2

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?11?(0,0.17,80.11,50.17)2 ?12?(0,0.33,0.479,0.637)

?13?(0,0.26,0.24,0.118)

?14?(0,0.41,70.43,30.81)2

?15?(0,0.26,20.06,90.49)2

?16?(0,0.191,0.563,1.021)

显然

?min?0 ?max?1.021

(3) 计算关联系数和关联度: 取

??0.5 ?1??2??3??4?1 4140?0.5?1.021r11???0.827

4k?1?11(k)?0.5?1.021140?0.5?1.021r12???0.626

4k?1?12(k)?0.5?1.021140?0.5?1.021r13???0.790

4k?1?13(k)?0.5?1.021140?0.5?1.021r14???0.620

4k?1?14(k)?0.5?1.021140?0.5?1.021r15???0.763

4k?1?15(k)?0.5?1.021140?0.5?1.021r16???0.635

4k?1?16(k)?0.5?1.021同理,可求出其它母序列对子序列的关联度, 将所有关联度排成关联度矩阵得

?0.827??0.738?0.921R???0.693?0.820??0.732?0.6260.7900.6200.7630.635??0.9180.7620.9270.7020.582?0.7140.8840.6980.8120.616??

0.8260.7090.8260.6620.568?0.7380.8360.7140.8590.586??0.8660.7570.8820.6970.585??（4）优势因素分析

1) 子因素对母因素影响优势分析。分析R发现，单项子因素对单项母因素得影响,

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以人口的变化对降尘量的影响最大, 其次是机动车辆的增长对氮氧化物的影响, 而工业总产值对总悬浮颗粒物的影响最小, 其次是这一子因素对降尘量、二氧化硫、大气含铅量的影响。

2）多因素综合分析。分析发现，除工业总产值的变化对大气质量影响的极弱外，其余因素均有明显影响，但以燃料的消耗量和车辆增长率的影响最突出。

3）城市发展对城市氮氧化物和降尘量的影响较明显，对硫酸盐化速率的影响最小，另外对总悬浮颗粒物的含量的影响也不明显。 3 灰色GM(1,1)预测建模 3.1 灰色GM(1,1)预测建模原理

灰色理论认为一切随机量都是在一定范围内、一定时间段上变化的灰色量及灰色过程.数据处理不去寻找其统计规律和概率分布，而是对原始数据作一定处理后，使其成为有规律的时间序列数据，在此基础上建立数学模型.这里采用基于累加生成数列的GM(1,1)模型，建模原理如下. 1) 对原始数据作一次累加

设原始灰色数据为 x(0)(1),x(0)(2),?,x(0)(n)，记为

x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),?,x(0)(n)) 对其作一次累加，得到

x(1)?(x(1)(1),x(1)(2),?,x(1)(n))， k?1,2,?,n 其中 x(k)??(x(0)(i)，

(1)i?1k累加数列克服了原始数列的波动性和随机性，转化为规律性较强的递增数列，为建立微分方程形式的预测模型作好准备.

2) 建立GM(1,1)模型

dx(1)?ax(1)?u (1) dt微分方程(1)就是灰色预测模型GM(1,1)，其中a,u为常数，可通过最小二乘法拟合得到：

?a?T?1T??u???(BB)BYn ??

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1(1)??(1)?(x(1)?x(2))1??2??1(1)(1)1?， Y?(x(0)(2),x(0)(3),?,x(0)(n)) 其中B???2(x(2)?x(3))n????????1(x(1)(n?1)?x(1)(n))1????2?微分方程(1)的解（称为时间响应函数）为

uux(k?1)?(x(0)(1)?)e?ak? (2)

aa?(1)(2)式就是数列的预测公式，由于(2)式是对一次累加生成数列的预测值，可通过(3)式求得原始数列的还原预测值

x(k)?x(1)(k)?x(1)(k?1) (3)

3.2 灰预测步骤

Step 1: 级比检验、建模可行性分析

对于给定序列x(0)，能否建立精度较高的GM（1，1）预测模型，一般可用x(0)的级比?(0)(k)的大小与所属区间，即其覆盖来判断。

命题1(事前检验准则)

设x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),?,x(0)(n))，x(0)(k),x(0)(k?1)?x(0)，且级比?(0)(k)为

?(0)?则当 ?(0)(0)x(0)(k?1) (k)?(0)x(k)2??n2?(k)??e?1,en?1?

??时，序列x(0)可作GM（1，1）建模。

2??n2??1n?1实际上上述级比的覆盖?e,e?称为序列x(0)的可容覆盖，当n?4,5,6,?时，x(0)??的可容覆盖分别为：

n?4,?(0)(k)??0.670320046,1.491824698? n?5,?(0)(k)??0.716531310,1.395612425? n?6,?(0)(k)??0.751477292,1.330712198?

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n?7,?(0)(k)??0.778800783,1.284025417? n?8,?(0)(k)??0.800737402,1.248848869?

n?9,?(0)(k)??0.818730753,1.221402758? n?10,?(0)(k)??0.833752918,1.199396102? n?11,?(0)(k)??0.846481724,1.181360413? n?12,?(0)(k)??0.857403919,1.166311440?

……………

Step 2 : 数据变换处理

数据变换处理的原则是经过处理后的序列级比落在可容覆盖中，从而对于级比不合格的序列，可保证经过选择数据变换处理后能够进行GM（1，1）建模。通常的数据变换有：平移变换、对数变换、方根变换。

Step 3 : GM（1，1）建模

建模过程参见2中的灰色GM(1,1)预测建模原理. Step 4 : 模型检验 （1）事中检验

检验GM（1，1）模型的精度，通常采用残差检验、后验差检验、级比偏差（指数律差异值）检验。

设原始序列x(0)的k点（或时刻）的实际值为x(0)(k)，由x(0)所得灰色模型的计算值

(0)(0)(0)??为x(k)，则称q(k)?x(k)?x(k)为k点（或时刻）的残差。

1）残差检验

这是一种逐点检验方法，定义相对误差?(k)、平均相对误差?(avg)与精度p0如下：

?(0)(k)q(k)x(0)(k)?x?(k)?(0)?100%??100% (0)x(k)x(k)1n?(avg)=??(k)

n?1k?2p0?(1??(avg))?100%

对于?(k)，一般要求?(k)?20%，最好?(k)?10%；对于p0，一般要求p0?80%，

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最好p0?90%。 2）后验差检验

(0)?设x为原始序列，x为模型序列，q(0)为残差序列，则x(0)的均值与方差分别为：

(0)1n(0)x??x(k)

nk?11n(0)S??(x(k)?x)2

nk?121q(0)的均值与方差分别为：

1n?q??q(k) n??n

nk?11n?S2??(q(k)?q)2

n?k?12后验差比值C与P小误差频率P 分别为：

C?S2 S1P?P{q(k)?q?0.6745S1}

3）级比偏差（指数律差异值）检验

?(0)(k)分别 ?(0)，序列级比?(0)(k)与模型级比?对于给定的序列x(0)及其模型序列x???则级比偏差（指数律差异值）为

(0)(0)x(0)(k?1) (k)?(0)x(k)?(0)(k?1)1?0.5ax (k)?(0)??(k)1?0.5ax?(k)?(0)(0)???(k)??(k?1)(0)??(k)?100%

1?0.5ax(0)(k?1)?(k)?1?()?100%

1?0.5ax(0)(k)命题2 若?为指定实数，当

?(k)??

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6ryf.html