2010届高三一轮复习数学精品资料：2.5 二次函数

§2.5 二次函数

基础自测

1.方程a2x2+ax-2=0 (|x|≤1)有解，则 （ ）

A.|a|≥1 B.|a|＞2 C.|a|≤1 D.a∈R 答案A

2.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间［-2，+∞）上是增函数，则f(1)的范围是 （ ）

A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)＞25 答案A

3.若函数f(x)=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么 （ ） A.f(2）＞f(3) B.f(3)＞f(2)

C.f(3)=f(2) D.f(3)与f(2)的大小关系不能确定 答案C

4.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的表达式为 （ ）

22

A.f(x)=-x-x-1 B.f(x)=-x+x-1 C.f(x)=x2-x-1 D.f(x)=x2-x+1 答案D

5.（2008·湖北理，13）已知函数f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x2-6x+2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f（ax+b）=0的解集为 . 答案 ?

22

例1 已知f(x)=-4x+4ax-4a-a在区间［0，1］内有最大值-5，求a的值及函数表达式f(x).

解 ≧f（x）=-4(x?aa2)2-4a，此抛物线顶点为(a2,?4a).

当≥1，即a≥2时，f(x)取最大值-4-a2.令-4-a2=-5,得a2=1,a=±1＜2(舍去).

2当0＜＜1,即0＜a＜2时，x=时，f(x)取最大值为-4a.令-4a=-5,得a=∈(0,2).

22aa54当≤0,即a≤0时，f(x)在［0，1］内递减，?x=0时，f(x)取最大值为-4a-a2,

2a令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0,解得a=-5,或a=1，其中-5∈（-≦，0］. 综上所述，a=或a=-5时,f(x)在［0，1］内有最大值-5.

45?f(x)=-4x2+5x-

10516或f(x)=-4x2-20x-5.

例2 设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0＜x1＜x2＜1.

（1）求实数a的取值范围； （2）试比较f(0)f(1)-f(0)与

116的大小，并说明理由.

2

解 方法一 （1）令g(x)=f(x)-x=x+(a-1)x+a,

???0,?1?a??1,?0?则由题意可得,??2?g(1)?0,???g(0)?0?a?0,??0?a?3?22. ??1?a?1,??a?3?22,或a?3?22故所求实数a的取值范围是（0，3-22）.

22

（2）f(0)·f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2a,令h(a)=2a.

≧当a＞0时，h(a)单调递增，?当0＜a＜3-22时，0＜h(a)＜h(3-22(3-2

22)

)2=2(17-12

2)=2·

117?122?116,即f(0)·f（1）-f（0）＜

116.

a-1＜12

-17

方法二 （1）同方法一.

（2）≧f（0）f（1）-f（0）=f（0）g（1）=2a2，则由(1)知0＜a＜3-2＜0.

又4

22,?4

22a+1＞0,于是2a-1162

116=

116(32a-1)=

2

116 (4

2a-1)(4

1162a+1)＜0,

即2a2-＜0,即2a2＜

116,故f(0)f(1)-f(0)=2a2＜

2

.

方法三 (1）方程f(x)-x=0?x+(a-1)x+a=0

???0,??a?0,x?x2?0,?1????x1x2?0,??a?1,?(1?x)?(1?x)?0,?12?a?3?22,或a?3?22.???(1?x1)(1?x2)?0由韦达定理，得x1+x2=1-a,x1x2=a,于是0＜x1＜x2＜1

故所求实数a的取值范围是（0,3-22）.

（2）依题意可设g(x)=(x-x1)(x-x2)，则由0＜x1＜x2＜1,得

f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=g(0)g(1)=x1x2(1-x1)(1-x2)=［x1(1-x1)］［x2(1-x2)］ ＜(x1?1?x12)·(2x2?1?x22)?2116,故f(0)f(1)-f(0)＜

116.

3例3 （14分）已知二次函数y=f(x)的图象与x轴交于A，B两点，且|AB|=2，它在y轴上

的截距为4,又对任意的x都有f(x+1)=f(1-x).（1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图象都在直线l:y=x+c的下方，求c的取值范围. 解 （1）方法一 ≧f（x+1）=f（1-x），?y=f（x）的对称轴为x=1，又f(x)为二次函数，

可设f(x)=a(x-1)2+k (a≠0),又当x=0时，y=4,?a+k=4,得f(x)=a(x-1)2-a+4,

2

令f(x)=0,得a(x-1)=a-4. ?x=1±?|AB|=2

a?4a,

. 6

分

a?4a

≧|AB|=2

3,?a=-2.

2

2

即f(x)=-2(x-1)+6=-2x+4x+4. 8分 方法二 令二次函数y=f(x)的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），（x2＞x1）, ≧f（x+1）=f（1-x），|AB|=2?x1+x2=2，x2-x1=2

33.

3，得x1=1-3,x2=1+

3. 3分 )］.

设二次函数f(x)=a［x-(1-)］［x-(1+

3又f(0)=4,则a=-2.

22

即f(x)=-2(x-1)+6=-2x+4x+4. 8分 (2)由条件知-2x2+4x+4＜x+c在x∈R上恒成立. 即2x2-3x-4+c＞0对x∈R恒成立.

 Δ=9+8（4-c）＜0，得c＞41, 12分

8?c的取值范围是（41，+≦）. 14分

8

1.已知二次函数f（x）同时满足条件： （1）f（1+x）=f（1-x）； （2）f（x）的最大值为15；

（3）f（x）=0的两根的立方和等于17，求f（x）的解析式. 解 ≧f（1+x）=f（1-x），

?函数f（x）关于直线x=1对称，

2

又f（x）的最大值为15，故可设f（x）=a（x-1）+15（a＜0). ?f（x）=ax2-2ax+a+15， ?x1+x2=2，x1x2=1+

15a，

?x13+x3=（x1+x2）3-3x1x2（x1+x2） 2=23-3×2（1+

15a）=2-

90a=17.

?a=-6.故所求函数的解析式为f（x）=-6x2+12x+9.

2

2.已知函数f(x)=|x-2ax+b| (x∈R).给出四个命题：①f(x)必是偶函数；②若f(0)=f(2),则f(x)

的图象必关于直线x=1对称； 22

③a-b≤0，则f(x)在［a，+∞）上是增函数；④f(x)有最小值|a-b|. 其中正确命题的序号是 . 答案 ③

3.（2009·武汉武昌区模拟）已知a、b、c、d是不全为零的实数，函数

f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d,方程f(x)=0有实数根，且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0

的根，反之，g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根. （1）求d的值；

（2）若a=0，求c的取值范围. 解 （1）设r为f(x)=0的一个根，即f(r)=0,则由题意得g(f(r))=0，于是,g(0)=g(f(r))=0,

即g(0)=d=0.所以，d=0.

（2）由题意及(1)知f(x)=bx2+cx,g(x)=ax3+bx2+cx.

由a=0得b,c是不全为零的实数，且g(x)=bx2+cx=x(bx+c), 则g(f(x))=x(bx+c)［bx(bx+c)+c］=x(bx+c)(b2x2+bcx+c). 方程f(x)=0就是x(bx+c)=0. ①

22

方程g(f(x))=0就是x(bx+c)(bx+bcx+c)=0. ② (ⅰ)当c=0，b≠0时，方程①②的根都是x=0符合题意. (ⅱ)当c≠0,b=0时，方程①②的根都是x=0符合题意. (ⅲ)当c≠0,b≠0时，方程①的根为x1=0,x2=-c.

b也都是②的根，但不是方程b2x2+bcx+c=0的实数根.由题意方程b2x2+bcx+c=0无实数根，

22

?Δ=(bc)-4bc＜0,得0＜c＜4.综上所述：c的取值范围为［0，4）.

一、选择题

2

1.不等式f(x)=ax-x-c＞0的解集为{x|-2＜x＜1}，则函数y=f(-x)的图象为

（ ）

答案C

2

2.若函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间（-∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是

（ ）

A.a≥3 B.a≤-3 C.a＜5 D.a≥-3 答案B 3.设函数f(x)=

?x?bx?c,??2,2(x?0),(x?0),若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个

数为 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4 答案C

4.对于任意k∈［-1，1］,函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是（ ）



A.x＜0 B.x＞4 C.x＜1或x＞3 D.x＜1 答案C

5.已知二次函数f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m+1）的值为（ ） A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a有 答案A

6.（2008·江西理，12）已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f（x）与

g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 （ ）

A.（0，2） B.（0，8） C.（2，8） D.（-∞，0） 答案B 二、填空题

7.（2008·浙江理，15）已知t为常数，函数y=|x2-2x-t|在区间［0，3］上的最大值为2，

则t= . 答案 1

8.设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述命题：

①f(x)有最小值；

②当a=0时，f(x)的值域为R；

③当a＞0时，f(x)在区间［2，+∞）上有反函数；

④若f(x)在区间［2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4. 则其中正确的命题的序号是 . 答案 ②③ 三、解答题

9.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x）的最大值是8，试确定此二次函数的 解析式.

2

解 方法一 利用二次函数一般式.设f(x)=ax+bx+c (a≠0),

??4a?2b?c??1,?a??4,???由题意得?a?b?c??1,解之得?b?4,?所求二次函数为y=-4x2+4x+7.

??c?7.24ac?b???8.?4a?方法二 利用二次函数顶点式.

设f（x）=a（x-m）2+n，≧f（2）=f（-1），?抛物线对称轴为x=

 又根据题意函数有最大值为n=8,?y=f（x）=a(x-12

2

2?(?1)2?1212，即

2

m=

12.

12)+8.≧f（2）=-1，?a（2-

2

）+8=-1.

解之，得a=-4,?y=f（x）=-4(x-)+8=-4x+4x+7.

2方法三 由f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),

即f(x)=ax2-ax-2a-1.

又由函数有最大值ymax=8,?

24a(?2a?1)?a4a2?8.解之，得a=-4.?所求函数解析式为

f (x)=a(x?1)2+8=-4x222222+4x+7.

210.已知f（x）=x2+ax+3-a，若x∈［-2，2］时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围. 解 令f（x）的最小值为g（a），则 （1）当-a＜-2,即a＞4时，g（a）=f（-2）=7-3a≥0，得a≤

273，

又a＞4，故此时a不存在； （2）当-a2∈［-2，2］，即-4≤a≤4时，g（a）=3-a-

a24≥0，得-6≤a≤2，

又-4≤a≤4，故-4≤a≤2；

（3）当-a＞2，即a＜-4时，g（a）=f（2）=7+a≥0，得a≥-7，又a＜-4，

2故-7≤a＜-4.

综上，得-7≤a≤2.

11.f(x)=-x2+ax+1-a在区间［0，1］上的最大值为2，求a的值.

24解 f(x)=-(x?a)2a2?12?a4?a24,

①当∈［0，1］，即0≤a≤2时，

2f(x)max=

a12?a4?a24=2,则a=3或a=-2，不合题意.

103②当＞1，即a＞2时，f(x)max=f(1)=2?a=

2a2.

③当＜0，即a＜0时，f(x)max=f(0)=2?a=-6, ?f（x）在区间［0，1］上的最大值为2时，a=

103或a=-6.

12.设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1,x2. （1）求(1+x1)(1+x2)的值； （2）求证：x1＜-1且x2＜-1;

（3）若

?1???,10?x2?10?x1,试求a的最大值.

1a1a（1）解 ≧x1、x2为方程ax2+x+1=0的两个实根,?x1+x2=-，x1x2= ?（1+x1）（1+x2）=1+（x1+x2）+x1x2=1-+=1.

aa11（2）证明 令f(x)=ax2+x+1,Δ=1-4a≥0得0＜2a≤,

21?抛物线对称轴x=

1?2a≤-2＜-1.又f(-1)=a＞0.

?f(x)图象与x轴交点均在（-1，0）的左侧，?x1＜-1且x2＜-1. （3）解 由（1）得x1=?-?-?110???,?x2?1111?111?x2?1??x21?x2,?

1x1x2???1???,10?1?x2?10?21

,?a=

1x1x2??1?x2x22?11?1??()????(?)???.x2x22?4?x212

1?1,，即x2=-2时，a的最大值为1.

x22

4

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