全国大学生数学建模竞赛A题 - 刘玉岗

中国人口增长预测

摘要: 中国作为世界上人口最多的发展中国家，人口问题直接影响着我们国家的

发展。本文运用数学建模的方法，建立了中国人口增长的数学模型，并对未来中国的人口状况做出了预测。

中短期人口模型：我们以莱斯利（Leslie）模型作为理论基础，建立了一个全国人口模型。由于中国城镇化进程不断加快，所以把全国划分为城，镇，乡三个独立子系统建模方法是不可行的。通过对数据进行处理，在得到了全国人口的死亡率和生育率之后，再使用指数平滑的方法，就可以得到一个相对稳定的各个年龄段的死亡率和生育率。如果把中国看作一个独立的人口系统，就可以使用莱斯利模型顺利的建立起全国女性人口模型。建立了全国女性人口模型后，我们引入了两个重要的变量：男女比例矩阵p(t)和初生男女婴儿比例函数f(t)。通过这两个变量就可以由全国女性人口模型建立起全国人口的中短期模型。

通过中短期模型，可以分析出我国人口在未来几十年的变化趋势，得出以下结果。在2025年-2030年期间我国人口将达到峰值，然后人口数量就开始下降（参见图1）。而我国的老龄化进程会不断地加剧，在2040年左右将达到人口老龄化的最高峰，并在以后的十几年的时间里保持这种状态，形成一个人口老龄化的高峰平台（参见图2）。有意思的是，性别比例异常也对人口走势产生了影响。性别比例异常不会对人口增长产生特别明显的效果，但在人口衰退期，却对人口数目的减少起到了微妙的作用（参见图4）。

长期人口模型：在长期模型中，我们尝试着模拟未来中国100年的时间里人口总量的变化情况。

我们对莱斯利模型进行了改进，使这个模型能够适用于三个人口子系统（城，镇，乡）之间人口相互转移的情况，从而使长期人口模型在大的时间跨度能够更好的符合实际情况。

我们在模型中引入了迁移率（迁入人口与总人口的比）的概念，使这三个系统之间的迁入迁出关系得到量化。这样通过迁移率将三个相对独立的人口子系统联系起来，就能利用改进的莱斯利模型进行求解。

通过对长期人口模型的分析，我们可以得到未来100年的时间里中国人口总量的变化趋势 (见图5)。在经历了21世纪中叶的人口高峰后，我国人口可能会经历一个长达半个世纪的衰退期.

关键字：莱斯利（Leslie）模型， 城镇化，指数平滑，老龄化，迁移率

1问题重述

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

2 模型假设

1、假设在中国在未来会长期保持安定的局面

2、不考虑突发事件（如传染病暴发，战争等）和因不可抗力（地震，海啸等）对人口数量造成的影响。

3、将全中国作为一个独立的人口系统，不考虑迁入迁出，即忽略中国人向海外移民和外国人定居中国对中国人口分布状况和总数的影响. 4、假设在中短期内死亡率和生育率保持相对稳定， 5、假设相同年龄段的人口性别比基本稳定 6、假设计划生育等国家基本政策保持不变，

7、假设人口生育率不受传统观念和个人主观因素的影响，如属相问题等

3 符号说明

?T： 年龄区间

m?T：妇女能够生存的最大年龄

xi(j)：第i个年龄组在时刻j?T的人数

x(j)： 年龄密度分布

bi： 各年龄组生育率 si： 存活率，

２

G： 莱斯利矩阵 di： 死亡率

A城女：抽样调查到的城市女性总数

A镇女：抽样调查到的城镇女性总数， A乡女：抽样调查到的乡村女性总数

a城女：城市女性占总女性人数的比例

a镇女：城镇女性占总女性人数的比例

a乡女：乡村女性占总女性人数的比例

d女i： 女性第i年龄组死亡率 d城女i 城市女性第i年龄组死亡率

d镇女i：城镇女性第i年龄组死亡率 d乡女i：乡村女性第i年龄组死亡率

b女，：女婴出生率 b城女，：城市女婴出生率 b镇，女，：城镇女婴出生率 b乡，女：乡村女婴出生率

x女i(0)：在起始时刻女性第ｉ年龄组的人口密度 xj,乡女i：第j数据组年龄为i的乡村女性人数 xj,城女i：第j数据组年龄为i的城市女性人数

xj,镇女i：第j数据组年龄为i的城镇女性人数

dj,i：第j数据组年龄为i的人口死亡率

bj,i：第j数据组年龄为i的人口生育率

c：指数平滑常数

s女i：第i年龄组女性存活率

x女i(0)：全国第ｉ年龄组女性分布率

x女(t)：第ｔ年女性人数密度分布 F女(t)：第ｔ年女性人数总数

x女i(t)：第ｉ年龄组第ｔ年全国女性人口率

p(t)：男女比例矩阵

pi(t)：第i年龄组的男女比例函数，是p(t)的对角线元素 pj,i ：第j数据组第i年龄组的男女性别比

p(j1,i)：指数平滑处理过的pj,i

f(t)：初生男女婴儿比例函数

３

F(t)：第t年全国总人口数

H(t)：第t年全国年龄大于65岁的人口数

Q(t)：全国老龄化程度

x城(t)：第t年城市人口年龄分布

x城男(t)：第t年城市男性人口年龄分布 x城女(t)：第t年城市女性人口年龄分布

p城(t)：城市男女性别比例矩阵

x镇(t)：第t年城镇人口年龄分布

G城女：城市女性人口的莱斯利矩阵

x镇男(t)：第t年城镇男性人口年龄分布

x镇女(t)：第t年城镇女性人口年龄分布

p乡(t)：乡村男女性别比例矩阵

x乡男(t)：第t年乡村男性人口年龄分布 x乡女(t)：第t年乡村女性人口年龄分布

p乡(t)：乡村男女性别比例矩阵 G乡女：乡村女性人口的莱斯利矩阵

w城： 乡村向城市迁移的人数占城市总人数的比例（城市迁移率）

w镇： 乡村向城镇迁移的人数占城镇总人数的比例（城镇迁移率） w乡： 乡村人口外迁人数占总人数的比例（乡村迁移率）

V：转移到城市的人口占转移到城镇和城市总人口的比例 z城(t)：城市人口占总人口数的比例

z城(t)：城镇人口占总人口数的比例 z城(t) ：乡村人口占总人口数的比例 F城(t) ：第ｔ年城市总人口数

F镇(t)：第ｔ年城镇总人口数 F乡(t)：第ｔ年乡村总人口数

F(t)：第t年中国总人口数

4 问题分析

我们针对中国人口增长的问题，建立了中国人口增长的模型，由此对中国人口增 长的中短期和长期趋势做出了预测。我们认为，附录中的数据均是离散化（以一年为单位）的给出，所以这个问题适合用离散模型来解决。

４

有中国城镇化水平不断提高，城镇化进程不断加快（每年的城镇化水平增加1个百分点，见题目附录1），城，镇，乡之间人口的迁入迁出十分频繁，人口流动量大，故我们认为不能够将城，镇，乡作为三个独立的人口系统来考虑，而应当把整个中国作为一个独立的人口系统。通过附录中给出的城，镇，乡的数据，可以计算出中国作为一个系统所需要的数据。

而且根据题目要求，应当考虑进中国的实际情况和人口增长的一些特点（老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等）。我们考虑可以使用经典的离散化人口模型莱斯利（Leslie）模型来做为描述中国未来人口变化趋势的理论模型。但结合中国人口增长的特点，需要在这个模型的基础上进行改进。考虑到中国老龄化进程加速，应当利用这个模型对中国未来的老龄化进程做出预测。出生人口性别比例持续偏高不可避免的会影响中国未来人口的增长状况。因此在建立模型的过程中，应当考虑性别比例因素，并应该预测出性别比例失调对中国未来人口可能产生的影响。乡村人口城镇化过程在中国是一个不可逆转的趋势，我们建立的模型中还尝试着预测未来中国长期得变化趋势。

5 模型的建立与求解

5.1中短期人口模型

将中国作为一个独立的人口系统，不考虑迁入迁出，在建立中短期人口模型时，将城，镇，乡的各项数据分类进行了处理，忽略了城镇化进程对人口死亡率和生育率的影响，且认为在短期内相同年龄段的人口性别比基本稳定。 5.1.1莱斯利（Leslie）模型 [1]

将女性按相同的年龄区间?T划分为m?1组，各组中女性的年龄在[i?T,(i?1)?T] 之内，i?0,1,2,?,m,其中m?T为妇女能够生存的最大年龄.设每个年龄组组中的妇女有相同的生育率和死亡率。我们考察时间t?j?T时各年龄组中的人数.设xi(j)表示第i个年龄组在时刻j?T的人数,称其为年龄密度分布，并令x(j)?(x0(j),x1(j),?,xm(j))T.又设bi为第i组妇女平均每人在?T时间内生育并成活的婴儿数,si为第i组女性生存到

(i?1)?T、进入i?1组的人数比例，于是(j?1)?T与j?T各组人数之间的关系为

m??x0(j?1)??bixi(j), 1.1） ?i?0?x(j?1)?sx(j),i?1,2,?,m.i?1i?1?i 令

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