奥本海姆信号与系统中文版课后习题答案

1．对一个LTI系统，我们已知如下信息：输入信号x(t)?4e2tu(?t)；输出响应

y(t)?e2tu(?t)?e?2tu(t)

(a) 确定系统的系统函数H(s)及收敛域。 (b) 求系统的单位冲激响应h(t)

(c) 如果输入信号x(t)为x(t)?e?t,???t??? 求输出y(t)。 解：(a) X(s)??4?11?4,Re{s}?2,Y(s)???,??2Re{s}?2 s?2s?2s?2(s?2)(s?2)1,Re{s}??2 s?2H(s)?(b) h(t)?e?2tu(t) (c) y(t)?

2. 已知因果全通系统的系统函数H(s)? (a) 求产生此输出的输入信号x(t). (b) 若已知

?????e?(t??)e?2?u(?)d??e?t; y(t)?H(?1)e?t?e?t.

s?1?2t，输出信号y(t)?eu(t) s?1?+?－?|x(t)|dt??，求输出信号x(t).

?2t (c) 已知一稳定系统当输入为eu(t)时，输出为上述x(t)中的一个，确定是哪个？求出系统的单位冲激响应h(t).

解：(a) Y(s)?1Y(s)s?1?。Re{s}??2，X(s)?

s?2H(s)(s?1)(s?2) 由于H(s)的ROC为Re{s}??1，?X(s)的ROC为?2?Re{s}?1或Re{s}?1 若 ROC1为-21，x2(t)? (b) 若

1?2t2eu(t)?etu(?t) 331?2t(e?2et)u(t) 3?+?－?|x(t)|dt??，则只能是x(t)?x1(t)

1?2t2eu(t)?etu(?t) 331?2t2s?1eu(t)?etu(?t); Y(s)?,?2?Re{s}?1 33(s?1)(s?2) 即：x(t)?(c) y(t)?x(t)??H(s)?Y(s)s?1, 这就是(a)中系统的逆系统。 ?X(s)s?1 由于系统稳定?ROC为uc(t)Re{s}?1

h(t)??(t)?2etu(?t)

?Y(s)的ROC为Re{s}??2,?X(s)的ROC为?2?Re{s}?1

x(t)?1?2tteut(?)e2u?t( )3y(t)*h(t)?e?2tu(t)?2e?2tu(t)*etu(?t)

1?2t??2(t??)eed??eu(t) ???3t1?2tt??2(t??)d??e?2tu(?t) 当t<0时，eu(t)*eu(?t)??ee??312?y(t)*h(t)?e?2tu(t)?etu(?t)?x(t)

33当t>0时，eu(t)*eu(?t)??2tt0从而证明该系统当输入为y(t)，输出为x(t)

3. 对差分方程 y(n)?511y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1) 662 所确述的LTI稳定系统，确定

（a）系统函数； （b）单位脉冲响应； （c）若系统输入x(n)?u(n)，求系统的响应y(n)；

（d）如果系统输出y(n)?[2(?)?3(?)]u(n)，求系统输入信号x(n)。

13n12n1?1z1Y(z)12解：（a）H(z)?, ROC: z? ??3X(z)1?5z?1?1z?21?1z?16631n （b）h(n)?(?)u(n)

3111313), ROC: z?1 （c）Y(z)???(??1?111?z1?1z?141?z1?z?133311n y(n)?u(n)?(?)u(n)

4431?Y(z)? （d）

23?111?z?11?z?1132z?, ROC: ?122z?1?11(1?z?1)(1?z?1)321(1?z?1)(2z?1?1)Y(z)3 X(z)?, ?11H(z)(1?z?1)(1?z?1)32

4. 某离散时间LTI因果系统在z平面上的零极点如图P7.17所示。已知系统的单位脉冲响应

h(n)的初值h(0)?1。

（a） 确定系统函数；

（b） 求系统的单位脉冲响应； （c） 写出系统的差分方程；

（d） 若系统的响应y(n)?(?)u(n)，求系统激励x(n)； （e） 求出一个满足该系统差分方程的稳定系统的单位脉冲响应。 解：（a）H(z)? k?1.由h(0)?1得

1?1(1?z)(1?2z?1)2114（b）H(z)?(?) ?1141?z?11?3z211nn h(n)?(?)u(n)?2u(n)

423（c）y(n)?y(n?1)?y(n?2)?x(n)

212nk111?z?1Y(z)2（d）X(z)???1?2z?1

1H(z)1(1?z?1)(1?2z?1)2

5. 考查图P8.2所示的离散时间LTI稳定系统；

x(n) 1? 3D y(n) ?1 42 9图P8.2 D （a） 确定该系统的系统函数及收敛域；

（b） 求出系统的频率响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应； （c） 如果系统的输入x1(t)?(?1)n，求系统响应y1(t)； （d） 若系统输入x2(t)?(?1)nu(n)，求系统响应y2(t)；

（e） 当系统响应y(n)?[()?(?)]u(n)，求系统的输入信号x(n)。

13n23n1475z4解：（a）H(z)??12?12 收敛域z?3 12121?z?1?z?21?z?11?z?1393371n52()u(n)?(?)nu(n) （b）单位脉冲响应h(t)?12312327n(?1)n （c）y1(t)?H(?1)z?1611?z?114 （d）Y2(z)?H(z)X2(z)? ?1?12?21?z?11?z?z391?71n7525()u(n)?(?1)nu(n)?(?)nu(n)?(?1)nu(n) 1631643412?z?1113 （e）Y(z)? ??1?12?11?12?11?z1?z(1?z)(1?z)333311212?z?11?z?1?z?22?z?1Y(z)393 X(z)? ??3?1211H(z)(1?z?1)(1?z?1)1?z?11?z?133441n11n?1 x(n)?2?(?)u(n)?(?)u(n?1)

434 y2(t)?

6．序列x?n?是某一LTI系统当输入为s?n?时的输出，该系统由下列差分方 程描述

x?n??s?n??e?8as?n?8?

其中0?a?1。

(a) 求系统函数

H1?z??X?z? S?z?Y?z? ??Xz并在z平面上画出它的极点和零点。

(b) 我们要用一个LTI系统从x?n?恢复s?n?，求系统函数

H2?z??使得y?n??s?n?。对H2?z?，指出所有可能的使其因果稳定的收敛域。 （c）求出使其因果稳定的单位脉冲响应h2?n?。 解：（a）方程两边做z变换 X(z)?S(z)?e ?H1(z)??8a?8zS(z)

X(z)?1?e?8az?8 S(z)?ajk?4其极点为z?0，且为8阶重极点；零点为 zk?ee（b） H2?z??

??1H1?z?1?e?111?ez?1?8a?8z,

其因果稳定系统的收敛域为 z?e

（c） 考虑P?z???8a, H2(z)?P(z8)，

?p(n)?e

?8?n?h(n/8)?e??n,n?0,?8,? u(n)，?h2(n)??otherwise?0

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