专题三：数与式内容分析与教学(一)

数与式内容分析与教学（一）

胡：老师们，大家好！数与式是整个初中代数内容的基础。今 天起，我们谈一谈数与式内容的教学。我们将数与式的内容分为两课时介绍。本课时，先介绍有关数的内容与教学分析。

本学段主要研究的数是有理数和实数。确切地说，是负数和无理数。那么，这两类数的学习重点分别是什么呢？请马老师给我们简单介绍一下。

马：我们知道，任何数的学习，主要包括表示和运算。首先谈 谈负数。引入负数，首先是解决实际问题的需要，有了负数就可以方 便地表示现实世界中具有相反意义的量：

字幕：加速、减速；上升、下降；进口、出口；收入、支出； 赢球、输球；向东行驶、向西行驶。

等等。相比较学生以往学习的正数，增加了负数，或者说形成了有理 数以后，数的确定需要两个因素——大小、方向。从表示法上就出现 了相反数、绝对值，甚至数轴上的点。至于有理数的运算，仍然采用 与小学运算相同的意义：

字幕：加法就是“合并”、减法就是“移除”。乘法与加法的关 系、除法与减法的关系也是类似。

所以，运算法则与运算律是不变的。所以，从学习运算的角度上看， 有理数与先前的非负数的学习是相近的。

程：事实上，这一点也可以从请《标准》对有理数内容的要求中看到。

字幕：

1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。

2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）。

3.理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。

4.理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。

5.能运用有理数的运算解决简单的问题。

胡：下面我们谈谈无理数吧。

马：从历史上看，无理数的出现首先是数学上的一种“觉悟”： 比如，单位正方形的对角线长总是一定的，究竟是多少呢？在有理数 集里找不到答案。所以引入了新数：无理数。再将它与有理数做类比，可以得到相同的表示法，以及四则运算法则、运算律。这些与有理数的出现很接近。当然，由于无理数的引入，数的运算就多了一个种类——开方。

程：《标准》对实数学习的要求是：

字幕：

1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。

2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。

3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。

4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。

5.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。

6.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根

号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单 四则运算。

胡：我想很多老师关心的是数的教学应当抓住哪些重点。

程：我想，从前面的分析，不难发现，数的学习关键是“表示 法”和“运算”。其中，表示法比较新——相对小学而言，多了方向的要素，学生可能开始不习惯，这里，借助数轴可以对教学有所帮助：在数轴上看3与-3的异同点、看2与-3之间的距离，等等；其次，运算则更多地体现为相似——从运算法则到运算律。所以可以采用类比以往运算的方式，让学生从实例中归纳出运算律。这样不仅可以加深学生对知识的理解，还可以发展他们的归纳与类比能力。

字幕：

数的表示：借助数轴可以对教学有所帮助：让学生在数轴上看3与-3的异同点、看2与-3之间的距离；

数的运算：类比以往的运算，通过实例归纳出运算律。

需要注意的是，最简二次根式的引入主要是明确相关运算的要求——算到哪一步为准。而不希望引入复杂的根式运算，特别地，《标准》明确指出，

字幕：根号下仅限于数，不要求进行根号下含字母的二次根式

48：计算：（1

，等。为此，《标准》专门提供了案例（2

其实，如何教学有理数运算，广大一些教师作了许多探索，大 家不妨看看以下文章《立足学生原有认知结构 重构有理数加减运 算》。——出处？

讨论问题？

阅读材料 有理数的小知识 有理数的含义。有理数是指一切形如m(m,n z,n 0)的分数。一切n

分数都可以化为有限小数或无限循环小数，因此，我们可以基于小数来定义有理数：“有理数是有限小数或者无限循环小数（无理数是无限非循环小数）”1。

有理数的扩充过程，一般经历了自然数（零与正整数）集合（N）中添加负数形成整数集（Z），在整数集体中添加分数形成有理数集（Q）。

有理数，英文的单词：rational number，意思是“理性的数”，翻译成中文就成了“有理数”。事实上，“rational”来源于古希腊，词根“ratio”是比率的意思，因此，“有理数”的原意就是“整数的比”，这与我们把分数看作“部分与整体之间的关系”是一致的。

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