第十二章 级数修改

第十二章 无穷级数

§ 1 常数项级数的概念和性质

?11、 设级数?.，则其和为（ ）

n(n?1)n?1321 A B 1 C D

2232、 若liman?0，则级数?an（ ）

n???

n?1

A 收敛且和为0 B 收敛但和不一定为0

C 发散 D 可能收敛也可能发散 3 、若级数?un收敛于S，则级数?(un?un?1)（ ）

n?1n?1?? A 收敛于2S B收敛于2S+u1 C收敛于2S-u1 D发散

?114、若limbn???，bn?0,求 ?(?)的值

n??bn?1n?1bn解： Sn?((1111111111?)?(?)?(?)?......(?)?? b1b2b2b3b3b4bnbn?1b1bn?1 所以limSn?n???

1 b15、若级数?an收敛，问数列{an}是否有界

n?1

解：由于liman?0，故收敛数列必有界。

n??6、若liman?a，求级数?(an?an?1)的值

n???n?1 解：Sn?(a1?a2)?((a2?a3))?......(an?an?1)?a1?an?1 故?(an?an?1)?lim(a1?an?1)?a1?a 7、求?(2n?1a?2n?1a)的值

n?1n?1?n??? 解：Sn?(3a?a)??n?1(5a?3a)?......(2n?1a?2n?1a)?2n?1a?a

n??故?(2n?1a?2n?1a)=?lim(2n?1a?a)?1?a 8、求 ?11的和 ()

4n?1n(n?1)(n?2)?n?1n???9、对于级数?un,limun?0是它收敛的__________条件（必要） 根据定义判断下列级数的敛散性 （1）?(n?1?n), (发散)

n?1?1, （裂项相消 收敛）

n?1(2n?1)(2n?1)?n?（3）?sin,

6n?1

?（发散 先乘以2sin,再将一般项分解为两个余弦函数之差）

12?n?1（4）?ln （发散）

nn?1

§ 2 常数项级数的审敛法

一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性

（2）??1、判定级数 ?1的敛散性

n?1(3n?2)(3n?1)???1111 解：由于<2 ,而?2收敛，故?收敛

(3n?2)(3n?1)n(3n?2)(3n?1)nn?1n?12、判定敛散性 ?n?1?1nnn

n?(n?1).12n?1??2 nn??1111 故n>,而级数?发散，故?发散

n2nnn2nn?1n?1nn 解： nn= nn.1.1.....1?3、判定敛散性 ?1 (a?0) nn?11?a? a?1, 收敛; 0?a?1, 发散

?14、判定级数?的敛散性

n(n?1)n?1111?(n?1,2,?)故发散 ?2n?1n(n?1)(n?1)5、判定级数?sinn?1??2n的敛散性

?22n?12 二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性

由于sin?n??n,而??n收敛，故原级数收敛

3n.n!6、判定级数?n的敛散性

n?1n??an?133n.n! 解：lim?>1,所以?n发散

n??aen?1nn4n7、判定级数?n的敛散性 nn?15?3??an?144n 解：lim收敛 ??1，所以?nnn??a5n?15?3n 8、 ?n.tann?1??2nn?1 收敛

an 9、 ?() ，a?1 收敛

n?1n?1?n2 10、?n （收敛）

n?13

三、判别下列级数是否收敛。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

?11、?(?1)n?112、

n?1??n3n?1 （绝对收敛）

n?1??(?1)n?1(n?1?n) （条件收敛）

2nn?1213、?(?1) （发散）

n!n?1?114、?(?1)n?1 （条件收敛）

ln(n?1)n?1?sinn?15、? （绝对收敛） 4nn?12?nn16、?(?1) （绝对收敛） nen?1n?3nsin?3是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛 四、判定?2nn?1

n?n?3nsin33??nn3绝对收敛 3?解：||，用比值判别法知,所以收敛??n2n2n2nn?1n?12 §3 幂级数

n3sin1、设幂级数?anxn在x=3处收敛，则该级数在x=-1点处（ ）

n?0?A 绝对收敛 B 条件收敛 C发散 D 可能收敛也可能发散

?(?1)n?12、级数?n?1(x?2)n的收敛域 （0，4]

nn?12?(?1)nn13、 求幂级数?[nx?3nxn]的收敛半径 （）

32n?14、若级数?an(x?2)n在x=-2处收敛，则此级数在x=5处是否收敛，若收敛，是

n?1?否绝对收敛 （绝对收敛 ）

?(x?5)2n?15、求幂级数?的收敛域 n2n?4n?1解：首先判断其收敛区间为（-7，-3），当x=-7、-3时，级数发散，所以级数的收

敛域为（-7，-3）

2n?1?nx6、求?(?1)的收敛域 [-1,1] 2n?1n?1?2n?17、求?nx2n?2的收敛域 （-2,2)

2n?1?(?x)n8、求幂级数?n?1的收敛域

nn?13解：首先求得收敛区间为（-3，3），而级数在x=-3处发散，在x=3处收敛，所以 收敛域为（-3，3]

x4n?111?x19、求幂级数?的和函数 （ ln?arctanx?x -1

41?x2n?14n?1?10、求幂级数?n(n?2)xn的和函数

n?1?d2?n?1d?n解：?n(n?2)x??n(n?1)x??nx?x2(?x)?x(?x)

dxn?1dxn?1n?1n?1n?1x(3?x) = （-1

11、将函数f(x)=2展开成x的幂级数

x?3x?211?解：f(x)= (1?x)(2?x)?111和的幂级数展开式可得f(x)= ?(1-n?1)xn x?(?1,1) 由

(1?x)(2?x)2n?1?n?n?n2、将函数f(x)=ln(x?1?x2)展开成x的幂级数

11.3411x?..... x?[?1,1] 解：f'(x)? 而=1?x2?2222.41?x1?x?(2n-1)!!22n?1两边积分得ln(x?1?x)?x??(-1)n x?(?1,1) xnn!2(2n?1)n?113、将函数f(x)?展开成(x?3)的幂级数

xn11?n(x?3)解：??(?1)x?(0,6) nx3n?031展开成(x?4)的幂级数 4、将f(x)?2x?3x?2?111解：2??(n?1?n?1)(x?4)nx?(?6,?2)

x?3x?2n?02315、将函数f(x)=展开成x的幂级数 248(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)1?x?(1?x)(1?x16)(1?x32)?.....?1?x?x16?x17?x32?x33?...... 解：f(x)=161?x?(?1)n?1x2n?16、将级数?n?1? 的和函数展开成(x?1)的幂级数．(2n?1)!n?12??xx?1?1(?1)n?1x2n?1(?1)n?1x2n?1?2sin解：?n?1?=?2sin ?2?()(2n?1)!222n?12n?1(2n?1)!1x?11x?1?2sincos?2cossin

22221?(?1)n1?(?1)n2n2n?1?2sin(x?1)?cos(x?1)??nn x?R 2n?02?(2n)!2n?02(2n?1)! §5函数幂级数展开式的应用

1、计算ln2的进似值（要求误差不超过0.0001）

111?1)n?1?.... 解：在lnx的幂级数展开式中令x=2 ln2=1-???.......(234 考虑误差范围可求得ln2?0.6931

122?x22、计算定积分?edx的进似值（要求误差不超过0.0001）

?012nx 解：e=?(?1)n!n?0?x2?n2??120e?x2dx?2??120[?(?1)nn?0?11112n(1?2?4?......) x]dx=

2.32.5.2!n!?120再考虑误差范围可求得3、计算积分?12??e?xdx?0.5205

2sinxdx的进似值，（要求误差不超过0.0001） 0x1sinx111sinxx3x4dx?1????..... ?1???.... ?0x3.3!5.5!7.7!x3!5!1sinxdx?0.9461 再考虑误差范围可求得?0x §7 傅里叶级数

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