高考中有关函数问题的研究.资料
更新时间:2023-03-08 05:05:17 阅读量: 高中教育 文档下载
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高考数学中有关函数问题的研究
摘要:函数作为高中数学的开篇,它贯穿了高中数学的主线,就像是高中数学的心脏。本文首先以函数的发展史展开,引入要研究的问题:函数问题;其次,通过对2014年 全国各省市高考数学真题的研究,归纳总结函数在高考数学中的考察分布情况;然后,通过高考数学真题对高考数学考查有关函数内容进行分析;最后,通过以上内容总结对教学的启示。通过本篇论文强调函数这部分内容在高中数学中的重要性,以及在高考数学中的地位。
关键字:高考数学
研究 函数问题1 引言
基于高考对学生及其家长乃至整个社会的重要影响,对高考试卷的研究与分析可以减少甚至避免学生复习过程中的波折和坎坷,提高学习效率;同时可以为高中教师提供教学中的策略和手段,减少老师们面对高考的压力。
高考数学不仅是高中课程的重要组成部分,更是高考的重要科目。而函数部分作为整个高中数学的核心部分,在影响着其他章节的同时也为后续学习高等数学的作好铺垫。更重要的是,函数部分在高考数学中扮演很重要的角色,第一:函数的题量是最大的,无论客观题还是主观题;第二:函数穿插于其他的考查内容中,例如三角函数、数列部分都有与之相关的函数内容的考查;第三:解答函数题目时所用到的解题方法和策略,例如:数形结合与分类讨论的思想都是学好数学必须要掌握的基本思想。
纵观历史长河,现在的函数是历史发展的结果,它经历了十七世纪几何观念下的函数。十八世纪代数观念下的函数,十九世纪对应关系下的函数,直到现代集合论下的函数。而现在高考数学中主要研究函数的性质、图像、最值、导数等及其在实际中的应用问题。函数的发展作为数学发展中的重要组成部分,因此,函数的发展是数学发展的重要体现。早在上个世纪之初,世界著名的数学家克莱茵就针对当时中学数学教学存在的不足之处提出了“函数应当成为中学数学教学的核心内容”的倡议。而且,函数问题一直是数学高考中的热点和重点问题,而高考命题遵循考试大纲和教学大纲,体现“基础知识全面考,主干知识重点考,热点知识反复考,冷点知识有时考”的原则,因此,函数问题一直是备受关注的课题。
由于函数本身具有较强的抽象性,再加之刚刚升入高中的不适应,很多学生没有能力对函数部分的学习进行深入理解,以至于很多学生出现了恐“函”症。看到函数就怕,更不敢面对函数难题,从而导致了函数部分的考试得分较低。所以在高考总复习的过程中,指导学生复习函数部分掌握有效的要领和方法还是 比较困难的一件事。为了更清楚的研究函数部分在高考数学中的地位,以此通过对高考数学函数问题的剖析,加强对函数这一内容的认识、理解、掌握并加以应用。
2 高考数学中有关函数问题分布
函数一直是近几年高考数学考察的热点问题之一,下面仅以2014年全国各省市高考数学为例阐述一下函数问题的分布情况: 考查内容 考查题型 考查形式 出现次数 所占分值 1.给定函数,判断是否普具有某些性质 函数的性选择题 2.函数性质的应用(如根据函数11 5—10分 质 填空题 性质判断函数的图像的大致趋势) 幂函数 选择题 函数的图像和性质 2 5分 选择题 1.指数间运算和比较大小 指数函数 3 5分 填空题 2.函数的图像和性质 选择题 1.对数间运算和比较大小 对数函数 6 5分 填空题 2.函数的图像和性质 1.已知函数解析式分析函数的选择题 性质 三角函数 填空题 2.由函数图像来求函数的解析23 5—19分 解答题 式 3.三角函数综合应用性问题 1.给出函数解析式判断函数图函数图像 选择题 像 5 5分 2.函数图像的应用 1.有抽象函数为载体,考查函数函数值域值域 选择题 2 5分 与最值 2.以构造函数为手段,考查函数思想的应用 1.利用导数研究不含参数的函数的性质 选择题 2.利用导数研究含参数的函数导数 填空题 18 5—19分 的性质 解答题 3.利用导数研究实际应用中的函数问题 选择题 1.构造函数,对不等式进行证明 函数的综填空题 2.应用函数性质或导数等知识9 5—19分 合应用 解答题 解决相关的求值问题 由此可见,函数在近几年的高考数学中。占有足够大的比重,而且它还是全国各省市高考数学中都要考查的重点内容。因此,函数内容的学习成为高中生的必修课。
3 高考数学中函数的考查内容
3.1函数的性质
函数的性质是高中数学函数部分的重点内容,而且更是此部分的难点内容,而且更是高考数学重点考察的内容。其中包括函数的周期性、奇偶性、单调性等。而函数性质这部分内容的重点是对其单调性和奇偶性定义的深入理解和灵活应用,这里要注意的是函数的单调性及奇偶性只能在函数的定义域内来讨论。
3.1.1 周期性
函数的周期性是函数性质的重要组成部分,尽管高考数学中对它的考查不是很多,但并不是不考查,因此函数的周期性一定不可忽略。下面通过高考数学真题对函数的周期性进行简单的分析。
例1.(2014四川)设f?x?是定义在R上的周期为2的函数,当x??-1,1?时,
??4x2?2,?1?x?0,?3?f?x???则f??? . 0?x?1,?2??x,解:f?x?是定义在R上的周期为2的函数,
??4x2?2,?1?x?0, 且f?x???
0?x?1,?x,?3? ?f????2??1??1?f?????4?????2?-1?2?1 ?2??2?2例2.(2014安徽)若函数f?x??x?R?是周期为4的奇函数,且在?0,2?上的
?x?1?x?,0?x?1,?29??41?解析式为f?x???则f???f??? . 1?x?2,?4??6??sin?x,?29?f????4?解:依题意得
?41?f????6??3?f?8????4??7?f?8????6?313?3??3?f?????f???????,4416?4??4?
7??1?7??7?f?????f????sin?sin?,662?6??6?315?29??41? 因此,f???f??????
4616216????由此可见,解决有关周期函数的关键是找函数的最小正周期,最小正周期找
到后,就转化成了学生熟悉的规律性的知识了,所以,在函数周期性的教学过程中,一定要让学生理解T的深刻内涵。
3.1.2单调性
函数y?f?x?的单调性在给定区间上的性质,但不一定是在整个定义域上的性质,也就是说函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到给定区间的限制。下面通过高考数学真题对函数的单调性进行简要的分析。
例1.(2014北京)下列函数中,定义域是R且为增函数的是( )
A.y?e?x B.y?x3 C.y?lnx D.y?x 解:y?e?x在R上为增函数;y?x3是定义域为R的增函数; y?lnx的定义域为?0,???;y?x在R上不单调,故选B。
3.1.3奇偶性
对函数奇偶性定义的理解,不要仅停留在f?x???f??x?和f?x??f??x?这两个等式上,要明确这两个等式的实质是:首先,奇函数和偶函数的定义域一定要关于原点对称;其次,奇函数的图像关于原点对称而偶函数的图像关于y轴对称。
下面通过高考数学真题对函数的奇偶性进行简要的分析。
例1.(2014课标Ⅰ)设函数f?x?,g?x?的定义域都为R,且f?x?是奇函数,
g?x?是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f?x?g?x?是偶函数 B.f?x?g?x?是奇函数 C.f?x?g?x?是奇函数 D.f?x?g?x?是奇函数
解:依题意得对任意x?R,都有f??x???f?x?,g??x??g?x?,
因此,f??x?g??x???f?x?g?x????f?x??g?x??,f?x?g?x?是奇函数,A错;
f??x?g??x???f?x??g?x??f?x?g?x?,f?x?g?x?是偶函数,B错;
f??x??g??x???f?x?g?x????f?x?g?x??,f?x?g?x?是奇函数,C正确;f??x??g??x???f?x?g?x??f?x?g?x?,f?x?g?x?是偶函数,D错。故选C。
例2.(2014广东)下列函数为奇函数的是( )
1 A.y?2x?x B.y?x3sinx C.2cosx?1 D.y?x2?2x
2例3.(2014新课标Ⅱ)偶函数y?f?x?的图像关于直线x?2对称,f?3??3, 则f?1?? .
例4.(2014湖南)若f?x??lne3x?1?ax是偶函数,则a? .
由此可见,综合运用函数的单调性和奇偶性这两个性质是函数性质这部分内容的难点,而且在高考中函数性质的考查内容灵活多样,在对函数的单调性、奇偶性这两性质应用的考查中表现更为突出,因此无论是在教学过程中还是学生的学习过程中,都应该帮助考生理解函数的各个性质的定义,正确认识函数各个性质的深刻内涵,当然,最重要的还是要帮助考生学会运用函数的性质解体的基本方法,其中,对函数性质的教学和复习,可以从“数”和“形”这两个方面帮助学生理解函数的奇偶性和单调性的定义,正确并善于运用数形结合的数学思想方法帮助学生解题。
3.2函数的值域和最值
函数的值域是依托于函数自变量x的取值范围即函数的定义域而存在的,有人把函数的定义域比作函数的“心脏”,所以,要研究函数的值域,必须明确函数的定义域。尽管考试大纲对函数的值域这部分的内容的要求有所降低,但是,近几年的高考数学试题中函数的值域问题仍然以不同的形式存在着。下面通过高考数学真题对函数的值域进行简要的分析。
??
例1.(2014安徽)若函数f?x??x?1?2x?a的最小值为3,则实数a的值为( )
A.5或8 B.-1或5 C.-1或-4 D.-4或8
??3x?a?1,x??1,?aa?解:当a?2时,???1,f?x???x?a?1,??x??1,
22?a??3x?a?1,x??.?2?其图像如图所示:
aaa?a?由图象知f?x?的最小值为f??????a?1??1,依题意得?1?3,
222?2?解得a?8,符合题意,
当a?2时,f?x??3x?1,其最小值为0,不符合题意。
??3x?a?1,?a?当a?2时,???1,f?x????x?a?1,2???3x?a?1,??ax??,2a?1?x??,
2x??1,a?a?得f?x?的最小值为f???,因此??1?3,解得a??4,符合题意。
2?2?故选D。
由此可见,函数值域(和最值)的求法灵活多样,如配方法(主要适用于二次函数或可化为二次型的函数,转化为二次函数时一定要特别注意自变量的范围)、换元法(主要有三角代换、二元代换、整体代换等)、不等式法(利用重要不等式求最值)、单调性法、数形结合法、有界性法、导数法等都是求函数值域的有效方法,这就要求考生根据考题函数的形式选择合适的方法。当然,这也是最难的地方,因此在教学过程中和复习时一定要帮助学生学会熟练并灵活的掌握求值域的方法,进而会运用函数的值域的相关知识解决实际应用中的问题。
3.3基本初等函数
基本初等函数作为高考中考查数学相关内容的载体,在想解决高考题之前,首先我们要对基本初等函数的相关知识做到熟练的掌握,包括基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、图像等知识,其次根据考题中给出的函数问题,具体问题具体分析。
3.3.1幂函数
幂函数以初中二次函数做基础,在高中数学中是通过结合具体实例来理解幂函数的概念,采用对比的学习方法,掌握好幂函数的图像及其性质,在近几年的高考数学中也是随处可见有关幂函数问题的 幂函数以初中二次函数做基础,在高中数学中数学中是通过结合具体事例来理解幂函数的概念,采用对比的学习方法,掌握好幂函数的图像及其性质,在近几年的高考数学中也是随处可见有关幂函数问题的“身影”。下面通过高考数学真题对幂函数进行简要的分析。
例1(2014北京)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”。在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p?at2?bt?c(a,b,c是常数),下图记录了三次试验的数据。根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )
A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟
?9a?3b?c?0.7,?a??0.2,??解:由已知得?16a?4b?c?0.8,解得?b?1.5,
?25a?5b?c?0.5,?c??2,??1?15?13?p??0.2t?1.5t?2???t???,
5?4?162215?3.75时p最大,及最佳加工时间为3.75分钟。故选B。 4由此可见,幂函数因幂指数的不同性质和图像都存在着很大的差异,而在此部分一定要理解并掌握常见的幂函数,如
?当t?f?x??x,f?x??x,f?x??x,f?x??x,f?x??x?1的图像和性质,而且在此部分的
2312学习时,要注意数形结合的数学思想方法的应用,以帮助对幂函数这部分内容的学习。
3.3.2指数函数
指数函数作为基本初等函数的重要组成部分,在近几年的高考数学真题中屡见不鲜,而且出现形式多样,下面通过高考数学真题对指数函数进行简要的分析。
例1.(2014山东)已知实数x,y满足ax?ay(0?a?1),则下列关系式恒成立的是 ( )
A.x3?y3 B.sinx?siny C.lnx2?1?lny2?1 D.
????11? x2?1y2?1解:?ax?ay且0?a?1,?x?y,?x3?y3。故选A。
由此可见,随着指数函数底数的不同,它的性质和图像都存在着很大的差异,这就要求学生要分清不同底数的指数函数的性质及其图像,不要混淆,以免发生
错误,而且学生在学习过程中,一定要注意数形结合的数学思想方法的应用,以辅助学生对指数函数这部分内容的理解和掌握。
3.3.3对数函数
对数函数是一类重要的函数模型,在近几年的高考数学中一直不乏有关对数函数问题的考查,下面通过高考数学真题对对数函数进行简要的分析。
例1.(2014天津)设a?log2?,b?log1?,c???2,则( )
2A.a?b?c B.b?a?c C.a?c?b D.c?b?a 解:???3,?a?log2??1,b?log1??0,0?c???2?21?2?1,故a?c?b,
故选C。
由此可见,对数函数这部分内容中,对它的图像要求很高,因此在对数函数这部分内容的教学过程中,一定要让学生理解、掌握对数函数图像的特征,并达到灵活运用的境界,以帮助学生熟练并灵活解决这部分的问题。
3.3.4三角函数
三角函数作为基本初等函数的重要组成部分,它是在函数的基础上进行深入研究的,研究它的特殊性,着重体现在它的性质和函数图像的种种变换等,因此,想要学好三角函数,必须建立在函数的基础上,下面通过高考数学真题对三角函数进行简要的分析。
???例1.(2014课标Ⅰ)在函数①y?cos2x,②y?c③y?cos?2x??,osx,
6?????④y?tan?2x??中,最小正周期为?的所有函数为( )
4??A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 解:①y?cos2x?cos2x,最小正周期为?; ②由图象知y?cosx的最小正周期为?;
2??????; ③y?cos?2x??的最小正周期为T?26?????? ④y?tan?2x??的最小正周期为T?。因此选A。
24??由此可见,在三角函数的教学中一定要充分渗透数形结合的教学思想和方
法,把图像与性质结合起来,这样一方面可以利用图像的直观性得出函数的性质,另一方面可以利用函数的性质来描绘函数的图像。而且在三角函数这部分内容的复习中一定要求每一位学生能够熟练用“五点法”画出
y?Asin(?x??)(A?0,??0)在某区间的图像,并进而研究函数
y?Asin(?x??)(A?0,??0)的性质。而对y?Asin(?x??)(A?0,??0)的性质,
可以用以下方法研究:
(1)、令?x???t,转化为y?Asint进而研究(这也就是数学中转化和化归的重要思想方法);
(2)、利用图像的变换如:平移、伸缩、对称变换进行研究。
3.4函数图像
函数图像不仅是研究函数问题的一个重要手段,也是我们研究函数问题的一个有力工具,而且这些年的高考也加大对函数图像问题的重视,通过描述的函数性质能画出函数的大致图形走向,或给定函数的解析式,通过函数解析式研究函数的性质,在进行图像的描述,应该作为学生考生必备能力,下面通过高考数学真题对函数图像问题进行简要的分析。
例
1.(2014
辽宁)已知f?x?为偶函数,当x?0时,
?s,?co?x?f?x????2x?1,???1?x??0,?,1?2?则不等式f?x?1??的解集为( )
2?1x??,???,?2?12??47??31??12?A.?,???,? B.?-,-???,? ?43??34??43??43??13??47??31??13?C.?,???,? D.?-,-???,?
43??34?3434?????解:作出y?f?x?与y?11的图像,如图,由图易知f?x??的解集为221?31??13??12??47????fx?1?,的解集为-,-?,??,?,故选A。 ?43??34??4,?2?????3??34?由此可见,在函数图像这部分内容中,高考数学重点考查的是数形结合的数
学思想方法及利用函数图像研究函数性质、函数零点等问题。因此,一定要学生熟练掌握画函数图像的方法,如描点法(在描点过程中,切记不要盲目,要先了解函数图像的存在范围,大致特征和变化趋势等)、图像变换法(平移、伸缩、对称变换)等,而且还要熟悉特殊函数图像所过的定点问题,另外,还要学生能够灵活运用图像解决有关函数的其他问题。
3.5导数
导数,不仅是近几年高中教材新增的内容,而且作为函数、分析与解析几何等知识的交汇点,同时也成为了新高考重点考查的基础知识之一。导数知识的引入为我们分析和解决问题打开了新的视野,提供了新的方法和手段,相对于以前解决有关问题的传统的方法,导数方法更显优势。倒数所涉及的问题分别有:求
函数的极值、求函数的单调区间、证明函数的增减性、解决相关的应用问题等,下面通过高考数学真题对导数进行简要的分析。
x?1例1.(2014山东)设函数f?x??alnx?,其中a为常数。
x?1 (1)若a?0,求曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线方程; (2)讨论函数f?x?的单调性。 解:(1)由题意知a?0时,f?x??可得f??1??1,又f?1??0, 2x?12,x??0,???,此时f??x??. 2x?1?x?1?所以曲线y?f?x?在?1,f?1??处的切线方程为x?2y?1?0.
a2ax2??2a?2?x?a(2)函数f?x?的定义域为?0,. ???.f??x????22x?x?1?x?x?1?当a?0时,f??x??0,函数f?x?在?0,???上单调递增,
当a?0时,令g?x??ax2??2a?2?x?a,???2a?2??4a2?4?2a?1?.
212?x?1?1?0,函数f?x?在?0,①当a??时,??0,f??x??2???上单调递减. 22x?x?1??1②当a??时,??0,g?x??0,f??x??0,函数f?x?在?0,???上单调递减.
21③当??a?0时,??0,设x1,x2?x1?x2?是函数g?x?的两个零点,
2 则x1???a?1??2a?1??a?1??2a?1,x2?.
aaa?1?2a?1a2?2a?1?2a?1 由于x1???0,
?a?a 所以x??0,x1?时,g?x??0,f??x??0,函数f?x?单调递减, x??x1,x2?时,g?x??0,f??x??0,函数f?x?单调递增, x??x2,???时,g?x??0,f??x??0,函数f?x?单调递减。
???上单调递增; 综上可得:当a?0时,函数f?x?在?0,
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