专题复习--数列讲义（内含答案）

数列专题复习（1） 等差数列

―――――――――――――――课堂自主导入―――――――――――――――― 【诊断训练】

1、已知是1,4,t,?等差数列，则t 值和通项公式

an分别为（ D ）

2A．9, n B．7, 3n?1 C．7, 2n?1 D．7，3n?2

2、在数列中，若an?an?1?5(n?N?)且a1?2,an??58,则n?(B) A．12 B．13 C．14 D．15 【能力小测】

3、在1与99之间插入50个数，使之成为一个等差数列，则公差d?__所有项的和S?_2600___. 4、等差数列{an}中，若__(2,98__. 51a1??20且从第

11项开始

an?0，则公差d的范围是

20]_______ 9【要点梳理】

（1）等差数列的定义以及通项公式 an?1?an?常数 an?a1?(n?1)d

（2）等差数列的前n项和公式及其应用 n(n?1)an?a1?n?na1?d 22（3）等差数列的整体代换

Sn?（4）等差数列性质公式。若m,n,p,q?N?且m?n?p?q则am?an?ap?aq

――――――――――――――――课堂对半讲练――――――――――――――――― 【问题1】设等差数列的前n项和为Sn，若S2?30,S4?44, （1）求数列{an}的通项公式 （2）求数列?【思维精析】

【随堂记录】解：（1）由Sn?na1? ???Sn??的前n项和Tn。 ?n?n(n?1)d 2?2a1?d?30?4a1?6d?44?a1?17???d??4?an?17?(n?1)(?4)?21?4n

1

（2）由Sn?na1? 令bn?n(n?1)d??2n2?19n2?Sn??2n?19 nSn ?bn?1??2(n?1)?19?17?2n nbn?1?bn?2且b1?17

??bn?是首项为17，公差为2的等差数列。

?Tn?17n?

例2：【问题2】已知正项数列{an}满足an?1?an?4(an?1)(n?N?) （1）求证：数列{an}是等差数列 （2）若a6?1，求数列{【思维精析】

【随堂记录】解：（1）由an?1?an?4(an?1)化简可得：an?1?(an?2) 由

2222n(n?1)?2?n2?16n 222an}的前项和Tn

an?0?an?1?an?2即an?1?an?2(n?N?) 故数列{an}是等差数列

（2）设an?a1?2(n?1)由a6?1

?a1?10?1?a1??9 即an??9?2(n?1)?2n?11，则an?2n?11

讨论：（1）n?5 时，

an?2n?11?11?2n

?9?2n?112?Tn?a1?a2???an??(a1?a2???an)??（2）n?6时，

?n?10n?n2

an?2n?11?2n?11

?Tn?a1?a2???an??a1?a2??a5?a6?a7??an

?9?2n?11?(a1?a2??an)?2(a1?a2???a5)?sn?2s5???n?2?25?n2?10n?502综上：故sn2??10n?n(n?5)??2 ??n?10n?50(n?6)

[归纳]：1.证明等差数列的要点是什么？

2.分段数列的求和，需要注意什么问题？

例3：在等差数列{an}中，a1?20前n项和为Sn，且S10?S15，当n取何值时，Sn有最大值，求出最大值。

2

解：由S15?S10

?a11?a12???a15?0?5a13?0?a13?0又a1?20

?n?12或13时，Sn最大

又S12?S13?

例4：已知等差数列{an}的前12项的和为354，其中偶数项的和与奇数项和之比为32:27,求公差d. 解：由

a1?a1320?0?13??13?130 22a1?a3???a11?27xa2?a4???a12?32x?d?

作差得：6d?5x又27x?32x?3545x 6?x?6 代入 ?d?5

【本课小结】

应该记住的内容：

重点内容： 个人心得：

――――――――――――――――课后检测（A组）――――――――――――――― 一、选择题

1、在等差数列中，d??,a7?8,则a1?(A) A．10 B． 6 C．

2、在等差数列?an?中，已知a1?2,a2?a3?13,则a4?a5?a6等于（B ） （A）40 （B）42 （C）43 （D）45

二、填空题

3、在公差小于0的等差数列{an}中，若a4?a6?a5，则Sn取最大值时n取值为4或5_.

133117 D． 33 3

4．设数列{an}是递增的等差数列且前三项之和为9，前三项之积为15，则通项公式

an?_2n?1__.

三、解答题

5、设等差数列的前项n和为sn，若a4?15,a9?35,

（1）求数列{an}的通项公式。 （2）若sn?210,求n的值。 解：(1)an?4n?1 （2）由Sn?3?4n?1?n?2n2?n?210 ?n?10 226、在公差不为0的等差数列{an}中，求通项公式an。 a1,a2为方程x?a3x?a4?0的根，解：由??a1?a2?a3?a1a2?a4?a?2??1?d?2?an?2n

7*(选做) 在数列{an}中，若a1?2且an?1?an 2an?1（1）求证：数列{

1an}是等差数列 （2）求数列{an}的通项公式。

（1）证明：

112a?11??n??2 an?1ananan?1??数列??是公差为2的等差数列。

?an?（2）解：由（1）

114n?3 ??(n?1)?2?ana12?an?2 4n?3

―――――――――――――――课后检测（B组）――――――――――――――――― 一、选择题

1．在等差数列{an}中，若公差d?0且S3?S7 那么其n项和Sn最大的n是（ B ） A）4 B）5 C）6 D）7

2．（2006年全国卷I）设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则a11?a12?a13?（ B ）

A．120 B．105 C．90 D．75

4

3．等差数列{an}中，a1?a7则前10项的和S10等于 （ C ） ?42,a10?a3?21，

A、720 B、257 C、255 D、不确定

二、填空题（留解答空间）

4、．在等差数列{an}中，若Sn?10,S2n?20 则S3n?_30____. 5．已知方程(x?2x?m)(x?2x?n?0)的4个根组成一个首相为

221 的等差数列，则4m?n?_1___ 26．若数列{an}是等差数列，S10?0,S11?0，则使an?0的最小的n值是_______6_______

三、解答题（留解答空间）

7．一个等差数列共n项，若前3项和为60，最后3项和为240，所有项的和为1000，求项数n. 解：由

a1?a2?a3?60an?an?1?an?2?740

?3(a1?an)?300 ?a1?an?100 ?Sn?

a1?an?n?1000?n?20 28*（选做）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且

An7n?45，?Bnn?3（1）求

a3Aa的值 （2）n为何值时，n为整数？ （3）n为何值时，n为整数？ b3Bnbna1?a5?5a32a3a1?a5A802（1）解：由????5??10 b32b3b1?b5b1?b5?5B582（2）

An7n?457n?21?2424 ???7?Bnn?3n?3n?3由24?1?24?2?12?3?8?4?6

?n?1,3,5,9,21时取整数

（3）由

an2ana1?a2n?1A2n?17(2n?1)?4514n?387n?1912???????7? bn2bnb1?b2n?1B2n?1(2n?1)?32n?2n?1n?1a?n?1,2,3,5,11时，n是整数。

bn

5

数列专题复习（2）-----等比数列

―――――――――――――――课堂自主导入―――――――――――――――― 【诊断训练】

1、已知?an?是等比数列，a2?2，a5?（A）?1，则公比q=（ D ） 411 （B）?2 （C）2 （D）

222、设等比数列{an}的公比q?2，前n项和为Sn，则

S4?（ D ） a2

D.

A. 2 B. 4 C.

15 217 2【能力小测】

3、已知2，a，4成等比数列，则实数a?____?22_________

4、在公差不为零的等差数列{an}中，若a1,a3,a6 成等比数列，则公比q?__【要点梳理】（含考纲中相关内容）

（1）等比数列的概念并掌握其通项公式

3__. 2an?a1qn?1

（2）等比中项的定义 （3）掌握并能够应用等比数列的前 项和公式

?na1(q?1)?n ?Sn?a1(1?q)(q?1)??1?q（3）等比数列下角标和公式：在等比数列{an} 中 若m?n?p?q，则am?an?ap?aq （4）等比数列中，数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,也是等比数列 。 ――――――――――――――――课堂对半讲练――――――――――――――――― 例1：设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，a3?b5?21，

a5?b3?13 （Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn?2an?bn求数列?cn?的前n项和Sn． 【思维精析】 【随堂记录】

?a3?b5?21解（1）由??a5?b3?13

?1?2d?q4?21??2?1?4d?q?136

?2d?20?q4??2?4d?12?q?d?2 ???q?2?an?1?(n?1)?2?2n?1（2）cn?(4n?2)?2n?1

bn?1?2n?1?2n?1

2?4n?21(1?2n)?Sn??n??2n2?2n?1

21?2例2：在数列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，（n?N）

*（Ⅰ）证明数列?an?n?是等比数列； （Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn； （Ⅲ）证明不等式Sn?1≤4Sn，对任意n?N皆成立． 【思维精析】

【随堂记录】解：（1）由an?1?(n?1)?4an?3n?1?(n?1)?4(an?n) 又a1?1?1 ??an?n?是首项为1，公比为4的等比数列

*?an?n?1?4n?1（2）由an?n?4（3）略。 (选做)

n?1即an?n?4n?1

n(n?1)4n?1?Sn??

23例3: 在数1和100之间插入n个实数，使得这n?2个数构成递增的等比数列，将这n?2个数的乘积记作Tn，再令an?lgTn,n?1. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?tanan?tanan?1，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：（1）由Tn?1?a1?a2???an?100 又Tn?100?an?an?1???a1?1

?Tn?100?100???100?100n?2

2???)?（2）由tan(tan??tan?tan??tan??tan???1 ?tan1?tan?tan?tan?(??)?bn?tan(n?2)tan(n?3)?tan(n?3)?tan(n?2)?1

tan1tan(n?3)?tan3?Sn?b1?b2???bn??n

tan1

7

【课后练习A】

1．数列a,a,a,?,a,?(a?R)必为 （ D ）

A、等差非等比数列 B、等比非等差数列 C、既等差且等比数列 D、以上都不正确

2．若?ABC的三边a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则该三角形是__等边___三角形。 3．若等比数列的前n项和Sn?3?t，则t的值为（ D ） A）3 B）1 C）0 D）—1 4．若1,a,b,c,9成等比数列，则b?__3__.

5．在等比数列{an}中，若S3?7,S6?63，则公比q?__2__.

6．在互不相等的正项等比数列{an}中，若a2,a3,a5成等差数列，则公比q?__2__. 三、解答题（留解答空间）

7．已知?an?是各项为正数的等比数列。试比较

nan?an?2与an?1的大小，证明你的结论. 2an?an?2an?an?2?2an?1an(q2?2q?1)an(q?1)2?an?1????0 解：

2222

【课后练习B】

1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（ A ） A．2 B．3 C．4 D．8

2．（2007湖南文）在等比数列{an}（n?N*）中，若a1?1，a4?项和为（ B ） A．2?1，则该数列的前10811112?2?2? B． C． D． 41011922223．已知{an}是等比数列且

an?0，若a2a4?2a3a5?a4a6?25，则a3?a5?_A__.

A）5 B）10 C）15 D）20

4．在等比数列{an}中，若a2?4,a5?32则a1?a2?a3?___1___..

2a2?a3?a45．在等比数列{an}中，若a2?2,a4?4，则a12?a22??an2?2n?1?2.

6．等比数列中，若S5?10,S10?30,则S?__70___.

15*{a}(n?N)是等差数列，则有数列b?a1?a2?a3?......?an,(n?N*)也是n7．若数列nn 8

*{c}(n?N)是等比数列，且cn?0，则有数

等比数列。类比上述性质，相应地：若数列nc1c2?cn_____,(n?N*)也是等比数列。

8．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a?3b?c?10，则a=（ D ）

列dn?___ A.4 B.2 C.-2 D.-4

9．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x?8x?3?0的两根，则

2na2006?a2007?__18___.

数列专题复习（3）----数列的综合问题

一、课前小测

1．凸多边形各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n等于 ( B )

A.16 B.9 C.16或9 D.12

2．若A、B、C成等差数列，则直线Ax+By+C=0，必过点 （1，-2）

二、本课知识要点

1．等差数列与等比数列的综合运用

2．数列知识与其他内容的综合问题 3．数列的探索性问题

三、典型问题

【问题1】已知数列

?an?中，a1?1,且点P?an,an?1??n?N??在直线x?y?1?0上.（1）求

1111?n?N,且n?2?,?????n?a1n?a2n?a3n?an数列?an?的通项公式；（2）若函f(n)?求函数f(n)的最小值； 解：（1）由an?an?1?1?0?an?1?an?1

??an?是公差为1的等差数列 ?an?1?(n?1)?n

111???? n?1n?22n111?f(n?1)?????n?2n?32n?2

11111?f(n?1)?f(n)??????02n?22n?1n?12n?12n?2

1??f(n)?是递增的。 ?f(n)min?f(1)?

2（2）f(n)?

9

【问题2】设⊙C1,⊙C2,??,⊙Cn是圆心在抛物线y?x2上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为a1,a2,??,an。已知a1?1，a1?a2???an?0。若⊙Ck 4(k=1,2,3, ??,n)都与x轴相切，且顺次两圆外切。 （1）求证：{1}是等差数列 （2）求an的表达式； an222（3）求证：a1?a2??an?（1）解：由On(an,an)21 42On?1(an?1,an?1)

?OnOn?1?R1?R2?(an?an?1)2?(an?an?1)2?an?an?1化简：an?an?1?2anan?1

2222

?11??2an?1an又1?4 a1?1? ???是首项为4，公差为2的等差数列。?an??1?4?2(n?1)?2n?2an?an?1

2n?2 【问题3】．在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2)?,Pn(xn,yn)?，对一切正

整数n，点Pn位于函数y?3x?差的等差数列?xn?。

⑴求点Pn的坐标；

135的图象上，且Pn的横坐标构成以?为首项，?1为公42⑵设抛物线列c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn，且过点Dn(0,n2?1)，记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：

111????。 k1k2k2k3kn?1kn

53?(n?1)?(?1)??n? 2213535?yn?3?xn???3n?,?Pn(?n?,?3n?)

4424（2）?cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn.?设cn的方程为：

2n?3212n?5y?a(x?)?,

24解：（1）xn??

10

把Dn(0,n2?1)代入上式，得a?1，?cn的方程为：y?x2?(2n?3)x?n2?1。

1111?(?)

kn?1kn(2n?1)(2n?3)22n?12n?31111111111?[(?)?(?)???(?)] ?????792n?12n?3k1k2k2k3kn?1kn25711111)??=(?

252n?3104n?6

课后练习：

kn?y'|x?0?2n?3，?1?1．已知数列{an}满足a1?0,an?1?an?33an?1(n?N*)，则a20=（ B ）

3 2

A．0 B．?3 C．3 D．

22．在各项均不为零的等差数列?an?中，若an?1?an则S2n?1?4n?（ A ） ?an?1?0(n≥2)，

Ａ．?2 Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2

3．设数列

?an?是等差数列，且a2??6,a8?6，Sn是数列?an?的前n项和，则（ B ）

A．S4?S5 B.S4?S5 C．S6?S5 D．S6?S5

4．在等差数列

{an}中S9??36 ， S13??104 ，等比数列{bn}中，

b5?a5 ， b7?a7，则 b6? ?42 5．已知数列{an}，如果a1,a2-a1，a3-a2，?，an-an-1，?是首项为1，公比为

1的等比数列，3则an等于(n∈N) ( A ) 31312121) B.(1?n?1) C.(1?n?1) D.(1?n?1) A.(1?22333333n6．已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn(n∈N)，若a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q的值是 4 7．下列各命题中，真命题是( D )

A．若｛an｝成等差数列，则｛|an|｝也成等差数列 B．若｛|an|｝成等差数列，则｛an｝也成等差数列

C．若存在自然数n,使得2an+1=an+an+2，则｛an｝一定是等差数列 D．若｛an｝是等差数列，对任何自然数n都有2an+1=an+an+2

(a1?a2)28．已知x、y为正实数，且x，a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取

b1b2值范围是____[4,??)_____

11

?????9．已知向量m//n,其中m?(?1,?1)，n?(?1,y)(x,y,c?R)，把其中x,y所满

x3?c?1足的关系式记为y?f(x)，若函数f(x)为奇函数. （Ⅰ）求函数f(x)的表达式； f(x)?x3

（Ⅱ）已知数列?an?的各项都是正数，Sn为数列?an?的前n项和，且对于任意n?N，

*都有“数列?f(an)?的前n和”等于Sn2，求数列?an?的首项a1和通项式an；an?n

10.如图，在xOy平面上有一系列点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)?，Pn(xn,yn)?对每个自然数

2点P以点P且⊙Pn，n位于函数y?x(x?0)的图像上，n为圆心的⊙Pn与x轴都相切，n与

⊙Pn?1又彼此外切.若x1?1,且xn?1?xn(n?N). （1）求证：数列?*y?1??是等差数列； ?xn?PnPn+1（答案见P7问题（2）） （2*）设⊙Pn的面积为Sn，Tn?S1?S2???Sn，

3?求证：Tn?.

2（2）解：由（1）

ox11??(n?1)?2?2n?1xnx11(2n?1)4?Sn????xn?1

(2n?1)21 2n?1?Sn??xn???4111?S1?S2???Sn??(2?2???)?213(2n?1)

111113?（1?????）??(1??)??2?33?4（2n?2）(2n?1)22n?12

12

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