中考数学专项训练-圆(含解析)

中考数学专项训练-圆附参考答案

1．（2015?贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2． （1）求AC的长度；

（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）

2．（2015?丹东）如图，AB是⊙O的直径，的切线交AB的延长线于点C．

（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM．

=

，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O

3．（2015?青海）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D． （1）求证：AM=AC；

（2）若AC=3，求MC的长．

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4．（2015?庆阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F． （1）求证：FE⊥AB； （2）当EF=6，

=时，求DE的长．

5．（2015?呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）求证：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半径及线段PB的长．

6．（2015?天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证： （1）AC?PD=AP?BC； （2）PE=PD．

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7．（2015?贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM． （1）若AB=4

，求

的长；（结果保留π）

（2）求证：四边形ABMC是菱形．

8．（2015?柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE． （1）求证：AB=AC；

（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．

9．（2015?鞍山）⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE是⊙O的切线交DC的延长线于点E． （1）求证：BE⊥CE； （2）若BC=

，⊙O的半径为，求线段CD的长度．

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10．（2015?黔西南州）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． （1）求证：直线PB与⊙O相切；

（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．

11．（2015?鄂尔多斯）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B=2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC． （1）求证：CF是⊙O的切线．

（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长．

12．（2015?铁岭）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AD为直径作⊙O，连接BO并延长至E，使得OE=OB，连接AE．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若BD=AD=4，求阴影部分的面积．

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13．（2015?贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）．

14．（2015?抚顺）如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．

（1）求证：CF与⊙O相切；

（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．

15．（2015?赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB． （1）求证：PB是圆O的切线．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．

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1．

【解答】解：（1）∵OF⊥AB， ∴∠BOF=90°，

∵∠B=30°，FO=2， ∴OB=6，AB=2OB=12， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC=AB=6；

（2）∵由（1）可知，AB=12， ∴AO=6，即AC=AO，

在Rt△ACF和Rt△AOF中，

∴Rt△ACF≌Rt△AOF， ∴∠FAO=∠FAC=30°， ∴∠DOB=60°，

过点D作DG⊥AB于点G，

∵OD=6，∴DG=3

，

=9

，

∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3

即阴影部分的面积是9． 2．

【解答】（1）解：如图，连接OD， ∵CD是⊙O切线， ∴OD⊥CD，

∵OA=CD=2，OA=OD， ∴OD=CD=2，

∴△OCD为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=（2）证明：如图，连接AD， ∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=∠ADM=90°， 又∵

=

，

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﹣=4﹣π；

∴ED=BD，∠MAD=∠BAD， 在△AMD和△ABD中，

，

∴△AMD≌△ABD， ∴DM=BD， ∴DE=DM．

3．

【解答】（1）证明：连接OA，

∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°， ∴∠AOM=60°，∴∠M=30°， ∴∠OCA=∠M， ∴AM=AC；

（2）作AG⊥CM于G，

∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=， 由勾股定理的，CG=，

则MC=2CG=3

．

4．

【解答】（1）证明：连接AD、OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， 又∵AB=AC，

∴CD=DB，又CO=AO， ∴OD∥AB，

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∵FD是⊙O的切线， ∴OD⊥EF， ∴FE⊥AB； （2）∵∴

=，

=，

∵OD∥AB， ∴

=

=，又EF=6，

∴DE=9．

5．

【解答】证明：（1）如图1，连接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°， ∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB， ∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC；

（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，

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设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，

22222

则AB=OA﹣OB=5﹣r， 22222AC=PC﹣PA=（2）﹣（5﹣r）， 2222∴5﹣r=（2）﹣（5﹣r）， 解得：r=3， ∴AB=AC=4， ∵PD是直径，

∴∠PBD=90°=∠PAC， 又∵∠DPB=∠CPA， ∴△DPB∽△CPA， ∴∴

==，

， ．

．

解得：PB=

∴⊙O的半径为3，线段PB的长为

6．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线， ∴AB⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴DE∥BC，

∴△AEP∽△ABC， ∴

=

…①，

又∵AD∥OC， ∴∠DAE=∠COB， ∴△AED∽△OBC， ∴

=

=

=

…②，

由①②，可得ED=2EP， ∴PE=PD．

（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，

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∴AB⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴DE∥BC，

∴△AEP∽△ABC， ∴

，

∵PE=PD， ∴

，

∴AC?PD=AP?BC． 7．

【解答】（1）解：∵OA=OB，E为AB的中点， ∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB， ∵OE⊥AB，E为OD中点， ∴OE=OD=OA，

∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°， 设OA=x，则OE=x，AE=∵AB=4，

∴AB=2AE=x=4解得：x=4， 则

的长l=

x，

，

=；

（2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°， ∴∠BAM=∠BMA=30°， ∴AB=BM，

∵BM为圆O的切线， ∴OB⊥BM，

在△COM和△BOM中，

，

∴△COM≌△BOM（SAS），

∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°， ∴CM=AB，∠CMO=∠MAB， ∴CM∥AB，

∴四边形ABMC为菱形．

8．

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【解答】证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A， ∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC， ∴∠DAC=∠ABC， ∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC；

（2）作AF⊥CD于F，

∵四边形ABCE是圆内接四边形，

∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF， 在△AEH和△AEF中，

，

∴△AEH≌△AEF， ∴EH=EF， ∴CE+EH=CF，

在△ABH和△ACF中，

，

∴△ABH≌△ACF， ∴BH=CF=CE+EH．

9．

【解答】（1）证明：连接OB，OD， 在△BOD和△BOA中

，

∴△BOD≌△BOA（SSS）， ∴∠DBO=∠ABO，

又∵∠CDB=∠A，∠OBA=∠A， ∴∠DBO=∠CDB， ∴OB∥DE，

∴∠E+∠EBO=180°， ∵BE为⊙O的切线，

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∴OB⊥BE， ∴∠EBO=90°， ∴∠E=90°， ∴BE⊥CE；

（2）解：在Rt△ABC中， ∵AC=2OA=5，BC=， ∴AB=

=2

，

∴BD=BA=2，

∵∠ABC=∠E=90°，∠BAC=∠BDE， ∴△ABC∽△DEB， ∴

=

=

，

∴DE=4，BE=2， 在Rt△BCE中， CE=

=1，

∴CD=DE﹣CE=3．

10． 【解答】（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点． ∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA．

∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB， ∴OD=OC．

∴直线PB与⊙O相切；

（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF． ∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8． ∵⊙O与PA相切于点C， ∴∠PCF=∠E．

又∵∠CPF=∠EPC， ∴△PCF∽△PEC，

∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2． ∵EF是直径， ∴∠ECF=90°．

设CF=x，则EC=2x．

222则x+（2x）=6，

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解得x=则EC=2x=

．

．

11． 【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上， ∴AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵∠B=2∠A，

∴∠B=60°，∠A=30°， ∵EM⊥AB， ∴∠EMB=90°，

在Rt△EMB中，∠B=60°， ∴∠E=30°， 又∵EF=FC，

∴∠ECF=∠E=30°， 又∵∠ECA=90°， ∴∠FCA=60°， ∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°， ∴OC⊥CF，

∴FC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4， ∴BC=AB=2，AC=

BC=2

，

∵AC=CE， ∴CE=2，

∴BE=BC+CE=2+2，

在Rt△BEM中，∠BME=90°，∠E=30° ∴BM=BE=1+

，

=3﹣

．

∴AM=AB﹣BM=4﹣1﹣

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12．

【解答】解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ODB=90°，

在△BOD和△EOA中，

，

∴△BOD≌△EOA， ∴∠OAE=∠ODB=90°， ∴AE是⊙O的切线；

（2）∵∠ODB=90°，BD=OD， ∴∠BOD=45°，∴∠AOE=45°， 则阴影部分的面积=×4×4﹣13． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC=∠OAC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴AD∥OC，

∴∠ADC=∠OCF， ∵AD⊥DC， ∴∠ADC=90°， ∴∠OCF=90°， ∴OC⊥CD， ∵OC为半径，

∴CD是⊙O的切线．

（2）∵OE⊥AC， ∴AE=AC=

cm，

=

=4cm，

=8﹣2π．

在Rt△AOE中，AO=

由（1）得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°， ∴△AOE∽△ACD，

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∴即∴DC=

，

， cm．

14． 【解答】（1）证明：如图所示：连接OF、OC， ∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°， ∵E为BC边中点，AO=DO， ∴AO=AD，EC=BC，

∴AO=EC，AO∥EC，

∴四边形OAEC是平行四边形， ∴AE∥OC，

∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA， ∵OA=OF，

∴∠OAF=∠OFA， ∴∠DOC=∠FOC， ∵在△ODC和△OFC中

，

∴△ODC≌△OFC（SAS）， ∴∠OFC=∠ODC=90°， ∴OF⊥CF，

∴CF与⊙O相切；

（2）解：如图所示：连接DE， ∵AO=DO，AF=EF，AD=2， ∴DE=20F=2，

∵E是BC的中点， ∴EC=1，

在Rt△DCE中，由勾股定理得： DC=∴AB=CD=

．

=

=

，

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15． 【解答】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB， ∴∠OBP=∠E=90°， ∵OB为圆的半径， ∴PB为圆O的切线；

（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8， 根据勾股定理得：PD=

=10，

∵PD与PB都为圆的切线， ∴PC=PB=6，

∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，

在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，

222

根据勾股定理得：（8﹣r）=r+4， 解得：r=3，

则圆的半径为3．

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15． 【解答】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB， ∴∠OBP=∠E=90°， ∵OB为圆的半径， ∴PB为圆O的切线；

（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8， 根据勾股定理得：PD=

=10，

∵PD与PB都为圆的切线， ∴PC=PB=6，

∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，

在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，

222

根据勾股定理得：（8﹣r）=r+4， 解得：r=3，

则圆的半径为3．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6r6.html