1.2.1任意角的三角函数示范教案

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1.2.1任意角的三角函数

教学目的：

1、 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角的余切、正割、余割的定义； 2、 掌握三角函数值的符号的确定方法；

3、 记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）；

4、利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值。 教学重点、难点

重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值 难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定 教学过程：

一、复习引入：

初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依

次为sinA?ac,cosA?bc,tanA?ab ．

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。 二、讲授新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r(r?（1）比值（2）比值（3）比值

yrxryx|x|?|y|?22x?y?0)，那么

yrxryx22叫做α的正弦，记作sin?，即sin??叫做α的余弦，记作cos?，即cos??叫做α的正切，记作tan?，即tan??； ； ；

说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α

的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点P(x,y)在α的终边上

的位置的改变而改变大小；

?③当???k?(k?Z)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于

20，所以tan??yx无意义；

2．三角函数的定义域、值域

函 数 y?sin? y?cos? 定 义 域 R R 值 域 [?1,1] [?1,1] R y?tan? {?|???2?k?,k?Z} 注意：

(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.

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(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.

(3)sin?是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余几个符号也是这样. 3．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值②余弦值③正切值

yrxryx对于第一、二象限为正（y?0,r?0），对于第三、四象限为负（y?0,r?0）； 对于第一、四象限为正（x?0,r?0），对于第二、三象限为负（x?0,r?0）； 对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（x,y异号）．

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

4．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。

即有：

sin(??2k?)?sin?，

cos(??2k?)?cos?，其中k?Z． tan(??2k?)?tan?，

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

5．当角的终边上一点P(x,y)的坐标满足x2?y2?1时，有三角函数正弦、余弦、正切

值的几何表示——三角函数线。

1．单位圆：圆心在圆点O，半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2．有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 3．三角函数线的定义：

设任意角?的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角?

P

A x M o

（Ⅱ） T

y T

M A

o x

P （Ⅲ）

由四个图看出： 当角?的终边不在坐标轴上时，有向线段OM?x,MP的终边或其反向延长线交与点T.

y y P T o M A x （Ⅰ） y o M A x

（Ⅳ）P T ?y，于是有

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sin??yr?y1?y?MP， cos??xxr?1?x?OM，

tan??yMPx?OM?ATOA?AT．

我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。

三、典型例题

例1．已知角α的终边经过点P(2,?3)，求α的三个函数制值。 解：因为x?2,y??3，所以r?22?(?3)2?13，于是 sin??y3??313；cos??xr?2?213r??；

13131313tan??yx??32；

例2．求下列各角的三个三角函数值：

（1）0； （2）?； （3）

3?2．

解：（1）因为当??0时，x?r，y?0，所以

sin0?0， cos0?1， tan0?，0 （2）因为当???时，x??r，y?0，所以 sin??0， cos???，1 tan??0，

（3）因为当??3?2时，x?0，y??r，所以

sin3?2??1， cos3?3?2?0， tan2不存在。 例3．已知角α的终边过点(a,2a)(a?0)，求α的三个三角函数值。

解：因为过点(a,2a)(a?0)，所以r?5|a|， x?a,y?2a

当a?0时，sin??y5r?2a5|a|?2a5a?25；

cos??x?a5ar?5a5；

tan??2；

当a?0时，sin??yr?2a；

5|a|?2a?5a??255 cos??x?a??5ar；．

?5a5tan??2

例4． 求函数y?cosxcosx?tanxtanx的值域

解： 定义域：cosx?0 ∴x的终边不在x轴上

又∵tanx?0 ∴x的终边不在y轴上

∴当x是第Ⅰ象限角时，x?0,y?0 cosx=|cosx| tanx=|tanx| 共4页 第3页

y=2

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????Ⅱ????,x?0,y?0|cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2

x ????Ⅲ、Ⅳ???, x?0,y?0?0,y?0 |cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0

例5．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

2?4?2?4?1? sin与sin 2? tan与tan

3535 S2 S1 B P2 P1 2?4?A sin?sino 35T2 tan

2?3 解： 如图可知：

? tan

4?5

T1 四、课堂练习：

课本第17页练习第1、2、3、5、6题 五、课堂小结

本节课学习了以下内容：

1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域、值域；

3．三角函数的符号及诱导公式；

4、三角函数线。 六、作业

课本第23页习题第7、9题

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