北理工信号与系统2 - 图文

连续时间系统的时域分析

§2.1 引言

微分方程法古典法

本章解法时域解法

奇次通解特解

零输入响应零状态响应

奇异函数

用奇异函数表示任意时间信号冲激响应h(t)的求法卷积积分的定义式卷积积分的图解法卷积积分的数值法

卷积积分零状态响应2.2 LTI系统的微分方程描述1、微分方程的列写

1）什么是输入，什么是输出

2）要按基氏第一、第二定律列出电路3）一般要给出所求变量iL的初始条件：

?iL(0)和iL(0)C=1/4FL=2H

isR1?1?R2?5?1tdiL(t)(1)i(?)d??Ri(t)?Ri(t)?L?0c1c2L?c??dtic?is?iL(2)

(2)代入(1)得

dd1di(t)?3i(t)?2i(t)?i(t)?2i(t)LLLss2dtdt2dt2：

1、应当有初始条件

2、有时为了书写方便，把d/dt=P 或d/dt=D上面的微分方程可写成

(D?3D?2)iL(t)?(1/2D?2)is(t)23、把以上微分方程推广到一般的情况

dddy(t)?ay(t)?......?ay(t)?ay(t)?n?110nn?1dtdtdtmm?1dddx(t)bmmx(t)?bm?1m?1x(t)?......?b1?b0x(t)dtdtdtnn?1

m阶，输出为n阶

2、微分方程的解法

2d3d1?3t例：2y(t)?y(t)?y(t)?5eu(t)dt2dt2y(0)=1,y’(0)=0

y(t)?yh(t)?yp(t)1)求齐次解：特征方程为

(??3/2??1/2)?02两个特征根为

?1??1?2??1/2则

yn(t)?c1e?c2e2?t?1/2t2）求特解

对于方程(D?3/2D?1/2)y(t)?yp(t)?c3te?3t?te?t5e?3t取e(t)?5e它的根-3与方程的特征根（-1，-1/2）不相重

yp(t)?c3e?3t代入方程

c3?1?yp(t)?e?3t3）求完全解

y(t)?yn(t)?yp(t)?c1e?c2e?t?1/2t?e?3ty(0)?c1?c2?1?1y?(0)??c1?1/2c2?3?0c1??6c2??6解得

y(t)??6e?6e?t?1/2t?e?3t2.3 零输入、零状态响应的求法1、零输入相应的解法

零输入响应就是当激励x(t)仅由y(0)初始条件引起的响应例

d3d1y(t)?y(t)?y(t)?02dt2dt2y(0)?1y?(0)?02特征根为?1??1?y0(t)?c1e?c2e?t?2??1/2?1/2t

c1??1?y0?(t)?(?e?2e?t?1/2tc2?2)u(t)零状态响应

例

d3d1?3ty(t)?y(t)?y(t)?5eu(t)2dt2dt22y(0)?0y?(0)?0第一步

2求齐次通解

得两个实根-1，-1/2

??3/2??1/2?0?y齐(t)?c1e?c2e?t?1/2t第二步求特解

以yp(t)?cec?1?3t代入得

?3typ(t)?e?t第三步求零状态解代入初始条件得

?y0状(t)?（?5e?4e?1/2t?e?3t)u(t)3、完全响应

完全响应=零输入响应+零状态响应

?t?1/2t?3t??6e?6e?e从前面的结果y(t)??6e?6e自然响应受迫响应暂态响应稳态响应

?6e?6ee?3t?t?1/2t?t?1/2t?e?3t当t-> ?响应->0 则为暂态响应当t-> ?响应?0 则为稳态响应

§2.4 用冲击函数表示任意信号卷积积分1、用冲击函数表示任意信号

x(t)x(t)

?(t)xt

?(t)xtt

?(t)?xk????x(k?)???(t?k?)k???连续变量?，

?当???0???d??(t?k?)???(t??)k???x(k?)??x(?)?(t)??x(t)x???????????x(t)??x(?)?(t??)d?在时域中，把任意函数分解为无限多个冲激函数的叠加积分表示式

x(t)??x(?)?(t??)d????多点抽样一点抽样

x(t)??x(t)?(t?t0)dt???2、卷积积分

?(t)?x(t)?xk????x(k?)?(t?k?)??零状态响应

h(t)h(t?k?)x(k?)???h(t?k?)?k????x(k?)???(t?k?)?输入?(t)?(t?k?)x(k?)???(t?k?)k????x(k?)???h(t?k?)?y(t)?lim????0k????x(k?)???h(t?k?)?x(t)??x(?)?(t??)d?y(t)??x(?)h(t??)d??x(t)?h(t)?????讨论几个问题1、以上卷积公式

y(t)??x(?)h(t??)d????如果x(?)的信号是一个有始信号，从零开始

h(t??)中，当t???0即??t时，h(t??)?0当t???0即??t时，h(t??)?02、卷积意义的进一步说明

y(t)??x(?)h(t??)d?0t???激励函数作用于电路的时间t??反映了h(??)在?轴上移动的距离t????响应与输入的持续时间?是重设的自变量，t是参变量

而是从0开始到t对输入函数的加权积分

2.5 卷积积分的运算和图解例1

x(t)?eu(t)h(t)?u(t)?u(t?t0)?atx(t)1进行

y(t)??h(?)x(t??)d?0tt

h(t)1卷积积分运算

t0t

x(?)变为x(??)第二步：按区域的特点移动x(??)1）在???t?0y(t)=0

x(??)h(?)t0h(?)?x(??tt0?

1 此系统表示输入x(t)与输出y(t)之间的模拟关系

x(t)Ty(t)??[x(?)?x(??T)]d?0t-?y(t)当x(?)??(?)时

y(t)=h(t)

?h(t)?u(t)?u(t?T)例2 已知RC积分电路的RC常数为1，求该电路的冲激响应h(t)

R++解：

x(t)Cy(t)

Ri(t)+y(t)=x(t)

--dyRC?y(t)?x(t)dtdy(t)?y(t)?x(t)方程为dt?RC?1dh(t)?h(t)??(t)dt(D?1)h(t)??(t)其零输入响应可以求得为ce?t我们将方程双方乘以et??t?et改写成

dh(t)tte?eh(t)?e?(t)双方从0->t积分

dteh(t)?h(0)??e?(?)d?0tt??h(t)??e0t?(t??)?(?)d??eu(t)?teu(t)?t即e的结果不是偶然的

?t二、把冲激响应的零状态响应转化为零输入相应的求解法

1、这方法是对这样的一般微分方程求解u(t)响应的问题

(D?an?1Dnn?1?...?a0)h(t)??(t)(n?1)h(0)?h?(0)?...h(0)?0的问题，它具有一般性

方法的中心思想就是奇异函数有这种本领，它能把输入激励?(t)函数，突然变成零输入响应，（亦就是变成系统的初态）

(D?an?1Dnn?1?...?a0)h(t)?0(n?2)h(0)?h?(0)?...h(0)?0?h(n?1)(0)?1第n项导数产生?(t)则必然使(n-1)次导数项，在t=0处，有个阶跃跳变

1/a

低阶导数项的初始条件为零

例3：求微分方程的冲激响应

dy(t)?y(t)?x(t)方程为dtdh(t)?h(t)??(t)dth(0?)?0解：把以上?函数编程系统的零始状态

(D+1)h(t)=0

h(0?)?1?D1??1h(t)?ceh(0)?c?1?t?h(t)?eu(t)?t2、当等式右端有?(t)的求导数项时nn?1mm?1(D?an?1D?...?a0)h(t)?(bmD?bm?1D?...?b0)?(t)第一步：设bm?bm?1?b1?0设右端仅有?(t)nn?1?(t)??(t)则(D?aD?...?a)hn?10?(t)求出h?(t)进行等式右端的运算h?h(t)?(bmD?bm?1D?...b0)h(t)2dy(t)dy(t)dx(t)例4：求方程?4?3y(t)??2x(t)2dtdtdth(t)=?

?解：第一步求h(t)mm?1方程为

?(t)dh?(t)dh??4?3h(t)??(t)2dtdt2?(0)?0h??(0)?0h?(t)dh?(t)dh?(t)?0?4?3h2dtdt2?(0)?0h2??(0)?1h特征方程(P?4P?3)?(P?1)(P?3)?0?P1??3P2??1?t?3t??h(t)?k1e?k2e得

k1?1/2k2??1/2??t?3t?h(t)?1/2(e?e)求h(t)=?

?t?3t?h(t)?(D?2)h(t)?1/2(e?e)u(t)§2.7 卷积积分的性质1。卷积运算满足交换律，即

x1(t)?x2(t)?x2(t)?x1(t)x(t)与h(t)的位置可以交换

2、结合律

x1(t)?[x2(t)?x3(t)]?[x1(t)?x2(t)]?x3(t)

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