AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析

BOX-JENKINS预测法

1 适用于平稳时序的三种基本模型

（1）AR(p)模型（Auto regression Model）——自回归模型

p阶自回归模型：

????=??+?1?????1+?2?????2+?+??????????+????

式中，????为时间序列第??时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；?????1，?????2，?，???????为时序????的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；????是随机误差项；??，?1，?2，?，???为待估的自回归参数。 （2）MA(q)模型（Moving Average Model）——移动平均模型

q阶移动平均模型：

yt???et??1et?1??2et?2????qet?q

式中，?为时间序列的平均数，但当{yt}序列在0上下变动时，显然?=0，可删除此项；et，et?1，et?2，?，et?q为模型在第t期，第t?1期，?，第t?q期的误差；?1，?2，?，?q为待估的移动平均参数。

（3）ARMA(p,q)模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model）

模型的形式为：

yt?c??1yt?1??2yt?2????pyt?p?et??1et?1??2et?2????qet?q

显然，ARMA(p,q)模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。当q=0,时，退化为纯自回归模型AR(p)；当p=0时，退化为移动平均模型MA(q)。

2 改进的ARMA模型

（1）ARIMA(p,d,q)模型

这里的d是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d的取值一般为0,1,2。

对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立ARMA(p,q)模型。这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。

（2）ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型

对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。这里的D即为进行季节差分的阶数；

P,Q分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S为季节周期的长度，如

时序为月度数据，则S=12，时序为季度数据，则S=4。

在SPSS19.0中的操作如下

? 必须要先打开一个数据源，才可以定义日期

? 数据?定义日期?选择日期的起始点，此时变量栏中会出现日期变量。

（3）ARIMAX模型

在ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，再加入除自身滞后时序变量以外的解释变量X。

3 模型的识别

模型的识别的本质是确定ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s中的p,d,q以及P,D,Q与

S的取值。借助于自相关函数（Auto correlation Function, ACF）以及自相关分析

图和偏自相关函数（Partial Correlation Function, PACF）以及偏自相关分析图来识别时序特性，并进一步确定p、q、P、Q。

3.1 自相关函数

自相关是时间序列Y1,Y2,?Yt诸项之间的简单相关。它的含义与相关分析中变量之间的简单相关一样，只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。自相关程度的大小，用自相关系数rk度量。

rk??(yt?1n?kt?y)(yt?k?y)?(yt?1n

t?y)2式中，n为样本数据的个数；k为滞后期；y为样本数据平均值。 自相关系数rk，可看作自变量k的函数，即自相关函数。它表示时间序列滞后k个时间段的两项之间相关的程度。如r1表示每相邻两项间的相关程度；r2表示每隔一项的两个观察值得相关程度。

随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以0为均值，1n为标准差的正态n。如果一个分布。自相关系数的95%置信区间为(?1.96?,1.96?)，此处??1时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则认为该序列是纯随机序列。

将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间（通常采用?2倍标准差作为置信区间的两个端点），被称作自相关分析图。 SPSS19.0中的操作

1. 输入变量数据；定义时间序列日期（数据?定义日期）

2. 分析?预测?自相关（如下）；将要分析的变量从左侧移入右侧变量框中

3. 勾选自相关、偏自相关，转换暂时不选（如果为非平稳序列，可勾选差分/自然对数转换，其中差分的阶数需要根据自相关图形来确定，通常为0,1,2）

未进行差分处理，由图可知几乎一半的自相

关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，此时需要进行差分处理，即在重复

第2步时，差分选项选择1或2。

3.2 偏自相关函数

偏自相关函数是时间序列Yt，在给定了Yt?1,Yt?2,?Yt?k?1的条件下，Yt与Yt?k之间的条件相关。由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。偏自相关系数?kk计算公式如下。

?r1 k?1?k?1??r??k?1,j?rk?j ?kk??k?j?1 k?2,3,?k?1??1???k?1,j?rk?j?j?1?偏自相关系数?kk，可看作自变量k的函数，即偏自相关函数，?1??kk?1。它用以测量当剔除其他滞后期（t?1,2,3,?,k?1）的干扰的条件下，Yt与Yt?k之间相关的程度。与自相关系数类似，同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行识别。

3.3 ARIMA模型的参数确定

Step1：判断时序是否平稳，若不平稳，经过若干次逐期差分或季节差分使其平稳，则可确定d和D。对于社会经济现状，一般d和D的数值取0,1或2。

若自相关系数ACF随着滞后期（一般设为16）增大，而迅速趋于0，则认为该时序是平稳的。

若自相关系数ACF随着滞后期增大，自相关系数ACF不趋于0，则认为该时序是非平稳的。更具体地说，若随着时滞k的增大，自相关系数ACF缓慢减小，说明随着序列两项间隔的提前，相关程度变弱，则序列具有趋势性；若对于季度数据或月度数据，当滞后期为4（或12），8（24）等时，自相关系数ACF显著地部位0，即在随机区间之外，则意味着该时序具有季节性。如果时序具有趋势性，那么需要进行逐期差分，由逐期差分的次数决定d的取值；如果序列具有季节性，那么要进行季节差分，由季节差分次数决定D的值。

左侧图形为未经过差分处理的某城市农村居民收入的ACF图，可以看出自相关系数并未迅速趋于0，说明该时序是非平稳的。右侧为该序列的线性图，也正说明了该时序是有明显的上升趋势的，需要进行差分处理。

Step2：经差分平稳后，确定时序所适合的模型，其依据如下表所示。

ARMA(p,q)序列特征表 模型 拖尾 自相关函数 AR(p) MA(q) ARMA(p,q) 拖尾 指数衰减和（或） 正弦衰减 拖尾 拖尾 指数衰减和（或） 截尾 正弦衰减 偏自相关函数 截尾（阶） 指数衰减和（或） 指数衰减和（或） 正弦衰减 正弦衰减 关于p,q的取值

当不包括时滞k?12（或4），24（或8），p取落入随机区间之外的偏相关系数PACF的个数或与0有显著差异的PACF的个数，q取落入随机区间之外的自相关系数ACF的个数或与0有显著差异的ACF的个数。

当仅观察时滞k?12（或4），24（或8），p取显著不为0的PACF的个数，

q取显著不为0的季节自相关数目。

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