1-2-3绝对值定值、最值探讨 讲义教师版

绝对值定值、最值探讨

中考要求

内容 绝对值

基本要求

略高要求 会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 较高要求 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 例题精讲

板块一：绝对值几何意义

当x?a时，x?a?0，此时a是x?a的零点值．

零点分段讨论的一般步骤：

找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

a?b的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．

一、绝对值定值探讨

【例1】 若x?1?x?2?x?3???x?2008的值为常数，试求x的取值范围． 【考点】绝对值定值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】

【解析】要使式子的值为常数，x得相消完，当1004≤x≤1005时，满足题意． 【解答】1004≤x≤1005

【巩固】 若2a?4?5a?1?3a的值是一个定值，求a的取值范围. 【考点】绝对值定值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】

【解析】要想使2a?4?5a?1?3a的值是一个定值，就必须使得4?5a?0，且1?3a≤0，

14 原式?2a?4?5a?(1?3a)?3，即≤a≤时，原式的值永远为3.

3514【解答】≤a≤

35

【巩固】 如果对于某一给定范围内的x值，p?x?1?x?3为定值，则此定值为 ．

【考点】绝对值定值探讨 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】第17届希望杯培训试题

【解析】利用绝对值的几何意义解答．零点?1、3把数轴分成分成3段，容易发现当?1?x?3这个区间时

p?x?1?x?3为定值4，当x??1或x?3时，有p?x?1?x?3?4．

【解答】当x??1或x?3时

【例2】 已知x?1?x?1?2，化简4?2?x?1． 【考点】绝对值定值探讨 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】第16届希望杯培训试题

【解析】由x?1?x?1?2的几何意义，我们容易判断出?1≤x≤1．

所以4?2?x?1?4?2?1?x?4?3?x?4?3?x?1?x?1?x．

【解答】1?x

【例3】 已知代数式x?3?x?7?4，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ ）．

A． 1，x，5 B． 2，x，5 C． 3，x，5 D． 3，x，4

【考点】绝对值定值探讨 【难度】3星 【题型】

【关键词】第18届希望杯培训试题

【解析】根据x?3?x?7?4可得3?x?7，所以选择C． 【解答】C

【例4】 是否存在有理数x，使x?1?x?3?2？

【考点】绝对值定值探讨 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】分类讨论 【解析】略 【解答】不存在

【巩固】 是否存在整数x，使x?4?x?3?x?3?x?4?14？如果存在，求出所有整数x，如果不存在，

请说明理由

【考点】绝对值定值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略

x??2，x??1，x?0 【解答】x??3，

【例5】 将200个数1~200任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设为a1?a2???a100，另一

组从大到小排列，设为b1?b2???b100，求代数式a1?b1?a2?b2???a100?b100的值．

【考点】绝对值定值探讨 【难度】6星 【题型】 【关键词】

【解析】设k是1~100中任意一个数，如果ak≤100且bk≤100，那么在第一组中不大于100的数至少有a1、

a2、…、ak这k个数，在第二组中不大于100的数至少有bk、bk?1、…、b100这(101?k)个数，则不大于100的数至少有101?k?k?101个，这不可能．因此ak与bk这两个数当中较大的一个一定大于100，所以代数式a1?b1?a2?b2???a100?b100

?(101?102???200)?(1?2???100)?(101?1)?(102?2)???(200?100)?100?100?10000

【解答】10000

二、绝对值最值探讨

【例6】 设y?x?b?x?20?x?b?20，其中0?b?20,b?x?20，求y的最小值. 【考点】绝对值最值探讨 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2006年，七台河市中考题

【解析】y?x?b?x?20?x?b?20?x?b?(x?20)?(x?b?20)?40?x， 则x?20时，y有最小值为20.

【解答】20

【巩固】 已知x?2，求x?3?x?2的最大值与最小值．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】北京市中考题

【解析】法1：根据几何意义可以得到，当x??2时，取最大值为5；当x?2时，取最小值为?3．

法2：找到零点3、?2，结合x?2可以分为以下两段进行分析：

当?2?x?2时，x?3?x?2?3?x?x?2?1?2x，有最值?3和5； 当x??2时，x?3?x?2?3?x?x?2?5；综上可得最小值为?3，最大值为5． 【解答】最小值为?3，最大值为5．

【例7】 已知0?a?4，那么a?2?3?a的最大值等于 ．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】第10届希望杯2试 【解析】（法1）：我们可以利用零点，将a的范围分为3段，分类讨论

（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）

（1）当0?a?2时，a?2?3?a?5?2a，当a?0时达到最大值5；

（2）当2?a?3时，a?2?3?a?1

（3）当3?a?4时，a?2?3?a?2a?5，当a?4时，达到最大值3 综合可知，在0?a?4上，a?2?3?a的最大值为5

（法2）：我们可以利用零点，将a的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很 容易发现答案：当a?0时达到最大值5．

【解答】5

【巩固】 如果y?x?1?2x?x?2，且?1≤x≤2，求y的最大值和最小值 【考点】绝对值最值探讨 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】

【解析】当?1≤x?0时，有y?x?1?2x?x?2?2x?3，所以1≤y?3；

当0≤x≤2时，有y?x?1?2x?x?2?3?2x，所以?1≤y≤3

综上所述，y的最大值为3，最小值为?1

【解答】y的最大值为3，最小值为?1

7【巩固】 已知?5?x?，求x取何值时x?1?x?3的最大值与最小值．

9【考点】绝对值最值探讨 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2001年，大同市中考题

【解析】法1：x?1?x?3表示x到点1和?3的距离差，画出数轴我们会发现当，x?差最小为?7时两者的距离 93232，即?x?1?x?3?min??；当?5?x??3时，两者的距离差最大为4，即99． (x?1?x?3m)ax?4法2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，

7732时，x?1?x?3??2x?2，当x?有最小值?；999732当x??3有最大值4．综上所得，当?5≤x≤?3时，最大值为4；当x?时，最小值为?．

99732【解答】当?5≤x≤?3时，最大值为4；当x?时，最小值为?．

99

【例8】 已知x≤1，y≤1，设M?x?1?y?1?2y?x?4，求M的最大值和最小值

当?5?x??3时，x?1?x?3?4；当?3?x?【考点】绝对值最值探讨

【难度】4星 【题型】解答 【关键词】

【解析】由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号

因为x≤1，所以?1≤x≤1，所以0≤x?1≤2，同理可得0≤y?1≤2

因为y≤1，所以?1≤y≤1，所以?2≤2y≤2⑴

因为x≤1，所以?1≤x≤1，所以?1≤?x≤1，所以?1?4≤?x?4≤1?4

即?5≤?x?4≤?3⑵

⑴与⑵同向相加得?7≤2y?x?4≤?1 化简M的表达式：M?2x?y?6 求M的取值范围：

因为?1≤y≤1，所以?2≤2x≤2 因为?1≤y≤1，所以?1≤?y≤1 所以?3≤2x?y≤3 所以3≤2x?y?6≤9

y??1时，M最大值为9 当x?1，y?1时，M最小值为3 当x??1，【解答】M最大值为9；M最小值为3

【巩固】 已知m是实数，求m?m?1?m?2的最小值

【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】数形结合

【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m，使点m到点0，点1和点2的距离之和最小，显然当m?1时，原式的最小值为2 【解答】2

【巩固】 已知m是实数，求m?2?m?4?m?6?m?8的最小值 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】数形结合

【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m，使m到点2，点4，点6和点8的距离和最小，显然当点m在点4和点6之间（包括点4和点6）时，原式的值最小为8 【解答】8

a2，a3，...an是常数（n是大于1的整数）【例9】 设a1，，且a1?a2?a3?...?an，m是任意实数，试探索求

m?a1?m?a2?m?a3?...?m?an的最小值的一般方法

【考点】绝对值最值探讨

【难度】4星 【题型】解答

【关键词】数形结合

【解析】根据题意，结合数轴，不难得到：

⑴当n为奇数时，即当n?2k?1（k为正整数）时，点m应取在点ak?1处，原式的值最小，最小值

为?a2k?1?a1???a2k?a2??...??ak?2?ak?

⑵当n为偶数2k（k是正整数）时，m应取点ak和点ak?1之间的任意位置，原式的值最小，最小值为?a2k?a1???a2k?1?a2??...??ak?1?ak?

【答案】根据题意，结合数轴，不难得到：

⑴当n为奇数时，即当n?2k?1（k为正整数）时，点m应取在点ak?1处，原式的值最小，最小值

为?a2k?1?a1???a2k?a2??...??ak?2?ak?

⑵当n为偶数2k（k是正整数）时，m应取点ak和点ak?1之间的任意位置，原式的值最小，最小值为?a2k?a1???a2k?1?a2??...??ak?1?ak?

【巩固】 x?1?x?2???x?2009的最小值为 ．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】数形结合

【解析】当x?1005时，x?1?x?2???x?2009取到最小值：

x?1?x?2???x?2009?1005?1?1005?2???1005?2009 ?1004?1003???1?0?1???1003?1004?(1004?1)?1004?1009020

点评：若a1?a2???a2n?1，当x?an?1时，x?a1?x?a2???x?a2n?1取得最小值． 若a1?a2???a2n，当x满足an≤x≤an?1时，x?a1?x?a2???x?a2n取得最小值．

【解答】

【巩固】 试求x?1?x?2?x?3?...?x?2005的最小值

【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】数形结合

【解析】联想到绝对值的几何意义：x?xn即表示数轴上数x的对应点与数xn的对应点的距离，把这些绝对值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现x?1?x?2，当1≤x≤2时，它有最小值1，对于x?1?x?2?x?3，当x?2时，最小值为2，…猜想当x?1003时，原式有最小值

最小值为?x?1?x?2?x?3?...?x?2005

?1003?1?1003?2?1003?3?...?1003?2005

?1002?1001?1000?...?2?1?0?1?2?...?1002

1002??1002?1??1005006 ?2?2【解答】1005006

【例10】 设a?b?c，求当x取何值时x?a?x?b?x?c的最小值．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】2000年，郑州市中考题

bc三点的距离和，【解析】x?a?x?b?x?c实际表示x到a，，画图可知当x?b时，原式有最小值为c?a． 【解答】c?a

【例11】 正数a使得关于x的代数式x?1?x?6?2x?a的最小值是8，那么a的值为 ． 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】数形结合

【解析】如果a≤6，那么当x?a时，x?1?x?6?2x?a?a?1?a?6?(a?1)?(6?a)?7，

小于8与已知条件矛盾．所以a?6，那么算式x?1?x?6?2x?a的几何意义是点x到?1、6、

a、a的4个距离之和，当6≤x≤a时取最小值，因此令x?6可得7?26?a?8，解得a?【解答】

13． 213 2

【例12】 若x1、x2、x3、x4、x5、x6是6个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记

S?|x1?x2|?|x2?x3|?|x3?x4|?|x4?x5|?x5?x6?|x6?x1|，则S的最小值是 ．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】5星 【题型】填空

【关键词】2009年，全国初中数学联赛四川初赛试卷

【解析】利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性：

利用绝对值的几何意义|x1?x2|?|x2?x3|?|x3?x4|?|x4?x5|?x5?x6?|x6?x1|在数轴上表示出

来，从x1开始又回到x1，我们可以看成是一个圈，故最小值为10，如下图所示，即使重叠路程最少．

123456【解答】10

2，，3...，2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到【例13】 在数轴上把坐标为1，出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？请说明理由

【考点】绝对值最值探讨 【难度】5星 【题型】

【关键词】2006年，山东竞赛试题

x2，x3，...，x2006，x1，整个跳过的路径长度为 【解析】设青蛙依次到达的点为x1， S?x1?x2?x2?x3?x3?x4?...?x2006?x1

≤2?1004?1005?...?2006??2?1?2?3?..?1003??2?10032

故青蛙跳过的路径的最大长度为2?10032

【解答】2?10032

【例14】 如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F到城市的距离分别为4、

10、15、17、19、20千米，而村庄G正好是AF的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？

城市ABGCDEF

【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】

【解析】因为村庄G是AF的中点，所以村庄G到城市的距离为12千米，即村庄G在村庄B、C之间，7 个

村庄依次排列为A、B、G、C、D、E、F．设活动中心到城市的距离为x千米，各村到活动中心的距离之和为y千米，则：y?x?4?x?10?x?12?x?15?x?17?x?19?x?20因为

4?10?12?15?17?19?20，所以当x?15时y有最小值，所以活动中心应当建在C 处．

【解答】C处

【例15】 如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P，使这5台机床到

供应站P的距离总和最小，点P建在哪？最小值为多少？

A-1B1C2D4E8

【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星

【题型】解答 【关键词】

【解析】设供应站P在数轴上所对应的数x，则5台机床到供应站P的距离总和为

x?(?1)?x?1?x?2?x?4?x?8，当x?2时，原式值最小为12．

即供应站P建在点C处，这5台机床到供应站P的距离总和最小为12．

【解答】12

【例16】 （6级）如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂A1，A2，…，A7分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？

A7A6A4A3A2BEFA5DCA1P

【考点】绝对值最值探讨 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】

【解析】每一条小路都是工厂到车站的必经之路，和其他工厂无关．但在公路上，有些路段将是一些工厂重

复经过的，应使重复路线越短越好．要使各工厂到车站的距离之和最小，只要各工厂经小路进入公路的入口处（B、C、D、E、F）到车站的距离之和最小即可，各路段的弯曲程度是无关紧要的，因此可以把公路看成一条直线，即车站设在D点最好．若在P处再建一个工厂，则车站建在D处、E处或它们之间的任何地方都是最佳的．

【解答】车站建在D处、E处或它们之间的任何地方都是最佳的．

【例17】 先阅读下面的材料，然后回答问题：

在一条直线上有依次排列的n?n?1?台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机

床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：

如图甲，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离。

如图乙，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的，

因此P放在A2处是最佳选择

不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置

问题⑴：有n台机床时，P应设在何处？

问题⑵：根据问题⑴的结论，求x?1?x?2?x?3?...?x?617的最小值 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】数形结合，山东省烟台中考

【解析】⑴当n为偶数时，P应设在第

nn?1?n?台和??1?台之间任何地方；当n为奇数时，P应设在第台的

222??位置

⑵根据绝对值的几何意义，求x?1?x?2?...?x?617的最小值，就是在数轴上找出表示x的点，

617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x?309时，原式的值最小，使它到表示1，2，...，最小值是

309?1?309?2?...?309?308?0?309?310?309?311?...?309?616?309?617 ?308?307?...?1?1?2?...?308?95172

n?1【解答】（1）P应设在第台的位置；（2）95172

2

【例18】 不等式x?1?x?2?7的整数解有 个．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】第17届希望杯培训试题

【解析】可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解，x?1?x?2?7的整数解表示数轴上到?1和

2的距离之和小于7的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有?2、?1、0、1、2、3共六个． 【解答】6

【例19】 一共有多少个整数x适合不等式x?2000?x?9999.

【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】分类讨论

【解析】零点为2000和0，可将数轴分成几段去考虑：

（1）当x?2000时，原不等式变形为：x?2000?x?9999，

进而得：x?5999.5，即2000?x?5999.5，共有4000个整数适合；

（2）当0?x?2000时，原不等式变形为：2000?x?x?9999，而2000?9999恒成立，

所以又有2000个整数适合.

（3）当x?0时，原不等式变形为2000?x?(?x)?9999，x??3999.5， 即?3999.5?x?0，共有3999个整数适合.

综上所得共有9999个整数适合不等式x?2000?x?9999.

【解答】9999

bc在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果a?b?b?c?a?c，那么A，【例20】 彼此不等的有理数a，，B，C的位置关系是_____．

【考点】绝对值最值探讨

【难度】4星 【题型】填空

【关键词】数形结合，第12届希望杯试题

【解析】由绝对值的几何意义知, a?b表示点A与点B之间的距离；b?c表示点B与点C之间的距离；表

示点A与点C之间的距离；当点B位于点A与点C之间（包括A，C两点）时,a?b?b?c取得最小值，为a?c．由题设知，a，b，c不相等，所以A，B，C不重合，故点B位于点A与点C之

间(包括A,C两点)．

【解答】点B位于点A与点C之间(包括A,C两点)．

【例21】 设a?b?c?d，求y?x?a?x?b?x?c?x?d的最小值，并求出此时x的取值． 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】数形结合，2002年扬州市中考题

【解析】根据几何意义可以得到，当b≤x≤c时，y有最小值为c?d?a?b． 【解答】c?d?a?b

【例22】 试求如下表达式的最大值：?x1?x2?x3???x2002，其中x1、x2、…、x2002是1~2002的一个排

列．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】

【解析】由于输入的数都是非负数，当x1≥0，x2≥0时，x1?x2不超过x1，x2中最大的数，因此

?x1?x2?x3???x2002始终不超过x1、x2、…、x2002中最大的一个，即2002．另外从运算奇偶

性分析，x1、x2为整数，x1?x2与x1?x2奇偶性相同，因此?x1?x2?x3???x2002与x1?x2???x1991的奇偶性相同，但x1?x2???x2002?1?2???2002?1001?2003是奇数．即

?x1?x2?x3???x2002的结果是奇数．下面我们来说明一下如何取到2001．对于连续的四个整数(4k?1)?(4k?3)?(4k?4)?(4k?2)?0，k为自然数均成立．因此，2~2001可按上述办法依次

输入最后显示结果为0，而后1?2002?2001．

【解答】2001

若2x?4?5x?1?3x?4的值恒为常数，则x应满足怎样的条件？此常数的值为多少？

课后练习

1.

【考点】绝对值定值探讨 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】

【解析】要使2x?4?5x?1?3x?4的值恒为常数，那么须使4?5x?0，1?3x?0，

14即?x?，原式?2x?4?5x?1?3x?4?2x?4?5x?3x?1?4?7. 35【解答】7

2.

求y?x?1?x?5的最大值和最小值．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】数形结合

【解析】 法1：根据几何意义可以得答案；

法2：找到零点?5，1，可以分为以下三段进行讨论： 当x??5时，y?x?1?x?5?1?x?x?5?6； 当?5?x?1时，y?x?1?x?5?1?x?x?5??2x?4； 当x≥1时，y?x?1?x?5?x?1?x?5??6；

综上所得最小值为?6，最大值为6．

【解答】最小值为?6，最大值为6．

3. x?1?8x?2?ax?3?2x?4的最小值为12，则a的取值范围是 ．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】5星 【题型】填空

【关键词】第七届“走进美妙的数学花园”

【解析】最小值一定能在零点处取到，而零点处代数式值为14?2a、5?a、12、19?a，故12是这四个数中最小的，即14?2a≥12且5?a≥12且19?a≥12，所以a≥7． 【解答】a≥7

4. 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差再取绝对值的运算，其运算过

程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示x1?x2的结果，此后每输入

一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为P，求出P的最大值，并说明理由．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】

【解析】当x1≥0，x2≥0时，x1?x2不超过x1，x2中最大的数，对x1≥0，x2≥0，x3≥0，则x1?x2?x3

不超过x1、x2、x3中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是x1、x2、…、x1991．相当于计算：?x1?x2?x3?x1990?x1991?P，因此P的值≤1991．另外从运算奇偶性分析，x1、x2为整数，

x1?x2与x1?x2奇偶性相同，因此P与x1?x2???x1991的奇偶性相同，但

x1?x2???x1991?1?2???1991的结果为偶数．于是断定P≤1990．下面我们来说明一下如何取

到1990．对于连续的四个整数(4k?1)?(4k?3)?(4k?4)?(4k?2)?0，k为自然数均成立．因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0，而后1989?1990?1991?1990．

【解答】1990，理由略．．

法2：找到零点?5，1，可以分为以下三段进行讨论： 当x??5时，y?x?1?x?5?1?x?x?5?6； 当?5?x?1时，y?x?1?x?5?1?x?x?5??2x?4； 当x≥1时，y?x?1?x?5?x?1?x?5??6；

综上所得最小值为?6，最大值为6．

【解答】最小值为?6，最大值为6．

3. x?1?8x?2?ax?3?2x?4的最小值为12，则a的取值范围是 ．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】5星 【题型】填空

【关键词】第七届“走进美妙的数学花园”

【解析】最小值一定能在零点处取到，而零点处代数式值为14?2a、5?a、12、19?a，故12是这四个数中最小的，即14?2a≥12且5?a≥12且19?a≥12，所以a≥7． 【解答】a≥7

4. 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差再取绝对值的运算，其运算过

程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示x1?x2的结果，此后每输入

一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为P，求出P的最大值，并说明理由．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】

【解析】当x1≥0，x2≥0时，x1?x2不超过x1，x2中最大的数，对x1≥0，x2≥0，x3≥0，则x1?x2?x3

不超过x1、x2、x3中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是x1、x2、…、x1991．相当于计算：?x1?x2?x3?x1990?x1991?P，因此P的值≤1991．另外从运算奇偶性分析，x1、x2为整数，

x1?x2与x1?x2奇偶性相同，因此P与x1?x2???x1991的奇偶性相同，但

x1?x2???x1991?1?2???1991的结果为偶数．于是断定P≤1990．下面我们来说明一下如何取

到1990．对于连续的四个整数(4k?1)?(4k?3)?(4k?4)?(4k?2)?0，k为自然数均成立．因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0，而后1989?1990?1991?1990．

【解答】1990，理由略．．

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