概率论与数理统计及其应用课后答案(浙江大学_盛骤版)

概率论与数理统计及其应用习题解答

第1章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

（4） 抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。 解：（1）S?{2,3,4,5,6,7}；（2）S?{2,3,4,?}；（3）S?{H,TH,TTH,TTTH,?}；（4）S?{HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}。

2，设A,B是两个事件，已知P(A)?0.25,P(B)?0.5,P(AB)?0.125,，求P(A?B),P(AB),P(AB),P[(A?B)(AB)]。 解：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.625，

P(AB)?P[(S?A)B]?P(B)?P(AB)?0.375， P(AB)?1?P(AB)?0.875，

P[(A?B)(AB)]?P[(A?B)(S?AB)]?P(A?B)?P[(A?B)(AB)]?0.625?P(AB)?0.5

____________3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8?9?9?648，所以所求得概率为

648?0.72 900

4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5?5?4?100个。（1）该数是奇数的可能个数为4?4?3?48个，所以出现奇数的概率为

48?0.48 100（2）该数大于330的可能个数为2?4?5?4?5?4?48，所以该数大于330的概率为

48?0.48 100

5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解:

11C52C4C38?（1）所求概率为； 433C12 1

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（2）

22314C4C8?C4C8?C420167??所求概率为4495165C12；

C74357?（3）所求概率为4?C12495165。

6，一公司向M个销售点分发n(n?M)张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到k(k?n)张提货单的概率。

解：根据题意，n(n?M)张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有Mn种，某一特定的销售点得到

k(M?1)n?k种，所以某一特定的销售点得到k(k?n)张提货单的概率为k(k?n)张提货单的可能分法有CnkCn(M?1)n?kMn。

7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。

（1）求3只球至少有1只配对的概率。 （2）求没有配对的概率。

解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以 （2）没有配对的概率为2?1；

63（1）至少有1只配对的概率为1?

12?。 338，（1）设P(A)?0.5,P(B)?0.3,P(AB)?0.1,，求P(A|B),P(B|A),P(A|A?B),

P(AB|A?B),P(A|AB).

（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。

解：（1）由题意可得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.7，所以

P(A|B)?P(AB)0.11??， P(B)0.33

P(B|A)?P(AB)0.11??， P(A)0.55P(A|A?B)?P[A(A?B)]P(A)5??，

P(A?B)P(A?B)7P[AB(A?B)]P(AB)1??，

P(A?B)P(A?B)7P(AB|A?B)?P(A|AB)?P[A(AB)]P(AB)??1。 P(AB)P(AB)（2）设Ai(i?1,2,3,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为A1A2A3A4，它的概率为（根据乘法公式）

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P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

?6754840?????0.0408。 11121312205929，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。

解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A，“另一只也是红球”记为事件B。则事件A的概率为

22215P(A)?2?????（先红后白，先白后红，先红后红）

43436所求概率为

21?P(AB)431P(B|A)???

5P(A)56

10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。

（1）P(A),P(B)；（2）P(B|A)；（3）P(B|A)；（4）P(A|B)；（5）P(A|B)。 解：（1）根据题意可得

P(A)?P(AB)?P(AB)?5%?45%?50%； P(B)?P(BA)?P(BA)?5%?10%?15%；

（2）根据条件概率公式：P(B|A)?（3）P(B|A)?（4）P(A|B)?（5）P(A|B)?P(BA)10%??0.2； P(A)1?50%P(AB)5%??0.1； P(A)50%P(AB)45%9??P(B)1?15；

P(AB)5%1??。 P(B)1511，在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。

解：根据题意，这11个字母中共有2个g，2个i，3个n，3个e，1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为

223131361???????111098763326409240111111C2C2C3C1C3C11?；或者69240A11。

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12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B，有20%的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求

（1）该人两种症状都没有的概率； （2）该人至少有一种症状的概率；

（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。

解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为

1?20%?30%?10%?40%；

（2）至少有一种症状的概率为1?40%?60%；

（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为

13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。

通讯线 1

2 3 4

通讯量的份额

0.4 0.3 0.1 0.2

无误差的讯息的份额

0.9998 0.9999 0.9997 0.9996

10%1 ?。

30%?10%4解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件Ai(i?1,2,3,4)，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。则根据全概率公式有

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.4?0.9998?0.3?0.9999?0.1?0.9997?0.2?0.9996

i?14 =0.99978

14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。

解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有

P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?10%?85%?90%?4%?12.1%，

所以，根据条件概率得到所要求的概率为

P(B|A)?P(BA)P(B)P(A|B)10%(1?85%)???17.06% P(A)1?P(A)1?12.1%即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.

15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生

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概率论与数理统计及其应用习题解答

故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？

解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件N1,N2,N3。则根据全概率公式有

P(M)??P(Ni)P(M|Ni)?0.6?0.01?0.3?0.05?0.1?0.04?0.025，

i?13根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为

P(N1|M)?P(N1)P(M|N1)0.6?0.01??0.24，

P(M)0.025P(N2)P(M|N2)0.3?0.05??0.60，

P(M)0.025P(N3)P(M|N3)0.1?0.04??0.16。

P(M)0.025P(N2|M)?P(N3|M)?

16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。

解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A，“一讯息是可信的”记为事件B。根据Bayes公式，所要求的概率为

P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B)95%?1???99.9947% P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)95%?1?5%?0.1，将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H”，“第二次得H”，“两次得同一面”。试验证A和B，B和C，C和A分别相互独立（两两独立），但A,B,C不是相互独立。 解：根据题意，求出以下概率为

111111， P(C)?????； 222222111111111P(AB)???， P(BC)?P(CA)???，P(ABC)???。

224224224P(A)?P(B)?所以有

P(AB)?P(A)P(B)，P(AC)?P(A)P(C)，P(BC)?P(B)P(C)。

即表明A和B，B和C，C和A两两独立。但是

P(ABC)?P(A)P(B)P(C)

所以A,B,C不是相互独立。

18，设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。

解：设“A,B,C进球”分别记为事件Ni(i?1,2,3)。

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28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,?2)，验证Z?X2?Y2的概率密度为

?f)??z?z2/(2?2)??2ez?0Z(z??0其他。

解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为

f(x,y)?12?y22?22??2e?x。

先求分布函数，当z?0时，FZ(z)?P{Z?z}?P{X2?Y2?z2}

2?z??x2???f(x,y)dxdyy2?z2?d??1e?r22?2rdr?1?e?z22?2，

002??2?z?z2/(2?2)故，

fz)??F'?ez?0Z(Z(z)????2??0其他。

29，设随机变量X~U(?1,1)，随机变量Y具有概率密度fY(y)?1?(1?y2)，???y???，设X,Y相互独立，求Z?X?Y的概率密度。解：因为f2?1?x?1X(x)???1/，所以?0其他Z?X?Y的概率密度为

??z?1fZ(z)?Y(y)fX(z?y)dy?112dy??arctan(z?1)?arctan(z?1)?。 ??f?z??12?(1?y)2?

30随机变量X和Y的概率密度分别为

fx)????e??xx?0X(，fy)???0其他??2ye??yy?0Y(?0其他

??0，X,Y相互独立。求Z?X?Y的概率密度。

解： 根据卷积公式，得

??zf3Z(z)?fX(z?y)dy?ye??zdy??32?z。

??fY(y)???02ze?，z?0所以Z?X?Y的概率密度为

??3fy)??2??z?2zez?0Y(。

??0其他

31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求Z?X?Y的概率密度。

解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以

f?10?x?10?x?1X(x)??，?0其他fY(y)???1?0其他

根据卷积公式，得

?1??1dy,z?1???z?1?2?z,1?z?f?f?zz?1??2Z(z)?Y(y)fX(z?y)dy???1dy,0??z,0?z?1 。

???0?其他??0,其他?0,?

32，设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为

?3?3xf(x,y)???x??2e，0,0?y?2?0，其他 （1） 求边缘概率密度fX(x),fY(y)。

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（2） 求Z?max{X,Y}的分布函数。 （3） 求概率P{1/2?Z?1}。

???2解：（1）f)??f(x,y)dy????3e?3x/2dy?3e?3x，x?0X(x；

???0?0,其他??????3e?3x/2dx，0?y?2?1/2，0?y?2f(y)??f(x,y)dx???0???Y?。

????0，其他?0，其他???（2）Z?max{X,Y}的分布函数为

FZ(z)?P{Z?z}?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z)因为

Fx)???0,x?0X(?1?e?3x,x?0?y?0Fy)??0Y(?y/20?y?2，

??1y?2?所以，F?0,z?0z?3zZ(z)?FX(z)FY(z)???1?e?,0?z?2。 ?2?1?e?3z,z?2（3）P{1/2?Z?1}?FZ(1)?FZ(1/2)?14?1?31?3/22e?4e。

33，（1）一条绳子长为2l，将它随机地分为两段，以X表示短的一段的长度，写出X的概率密度。

（2）两条绳子长度均为2l，将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证Y的概率密度为

?2(l?y)/l2，0?f)??y?lY(y?。 ??0，其他解：（1）根据题意，随机变量X~U(0,l)，所以概率密度为

?f?10?x?lX(x)??。

?l?0其他（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为X1,X2，则它们都在(0,l)上服从均匀分布。Y?min{X1,X2}，其分布函数为

F(y)?1??1?FyYX1(y)??1?FX2(y)??1?(1?l)2,0?y?l，

所以密度函数为

?2(l?y)/l2，0?y?lf'?Y(y)??FY(y)???。 ??0，其他

34，设随机变量X和Y的联合分布律为 （1） 求U?max(X,Y)的分布律。 （2） 求V?min(X,Y)的分布律。 （3） 求W?X?Y的分布律。 X Y 0 1 2 0 1/12 1/6 1/24 1 1/4 1/4 1/40 2 1/8 1/20 0 3 1/120 0 0 解：（1）U?max(X,Y)的分布律为

17

；

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P{U?k}?P{max(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2,3

如，P{U?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}

?1/8?1/20?0?1/24?1/40?29/120，

其余类似。结果写成表格形式为

U pk 0 1 2 3 1/12 2/3 29/120 1/120 （2）V?min(X,Y)的分布律为

P{V?k}?P{min(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2

如，P{V?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}?0?0?0， 其余类似。结果写成表格形式为

U pk （3）W0 1 27/40 13/40 ?X?Y的分布律为

kP{W?k}?P{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i},k?0,1,2,3,4,5

i?0如，P{W?2}??P{X?i,Y?2?i}?1/24?1/4?1/8?5/12，

i?02其余类似。结果写成表格形式为

W pk

0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 （第2章习题解答完毕）

第3章 随机变量的数字特征

1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。

所以分布律为

X pk 4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5

1E(X)?(4?5?6?7?7)?29/5.

5

2，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为

Y 4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29 pk E(Y)?1(4?4?5?5?6?6?7?14)?175/29. 29

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3，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为

3C106p0?3?，

C1211

12C2C109p1??， 322C12

21C2C101p2??。 322C12所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为

E?6911?0??1??2?(台)。 1122222

4，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为

Y 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 pk 161 36 16 16 16 16 136 136 136 136 1 36 得分的数学期望为

E?1149(1?2?3?4?5)?(7?8?9?10?11?12)?(点)。 63612

5，解：（1）根据X~?(?)，可得P{X?5}??5e??5!??6e??6!因此计算得到??6，即X~?(6)。所以E(X)=6。 ?P{X?6}，

（2）根据题意，按照数学期望的公式可得

E(X)??(?1)k?1??k?1kP{X?k}??(?1)k?1??k?166k22?2?k??(?1)k?1k?1??16ln2?， k?2xn,?1?x?1）因此期望存在。（利用了ln(1?x)??(?1)（不符书上答案） n?1n?0?n

6，解：（1）一天的平均耗水量为

x2e?x/3E(X)??xf(x)dx??dx?9??0??????x2?x/3?d(e)?0??30??2xe?x/3dx??30????2xd(e0?x/3)

?0??2e?x/3dx?6（百万升）。

0??（2）这种动物的平均寿命为

25E(X)??xdF(x)??xd(1?2)?x??5??????50dx?10（年）。 ?2x5

7，解：E(X)??xf(x)dx??42x??0??1125(1?x)dx???7x2d(1?x)60??

710??7x(1?x)2?61???14x?(1?x)?dx???2xd?(1?x)???2x(1?x)6700011??2(1?x)7dx=1/4。

01

8，解：E(X)??xf(x)dx??2x(1?1/x2)dx?(x2?2lnx)1??1??22?3?2ln2。

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9，解：??01E(X)???xf(x)dx????3x(1?x)2dx?1?3x2(1?x)2dx

0201??3x(1?x)2dx?3x12?(1?x)2dx?020。

（对第一个积分进行变量代换x??y）

10， 解：

4E(sin?X)????sink??Ckkp)4?k?24?p?(1?k?0?2?? ?C1134?p?(1?p)3?C4?p3?(1?p)1?4p(1?p)(1?2p?2p2)。

（不符书上答案）

11，解：R的概率密度函数为f(x)???1/a,0?x?a?0,其他，所以

a3E(V)???r1?a306?adr?24。

12，解：??4??E[g(X)]??g(x)f(x)dx??x2?0.3e?0.3xdx??16?0.3e?0.3xdx

??04?19(200?584e?1.2)（不符书上答案）

?0,x?013，解：因为Xi(i?1,2,?n)的分布函数为F(x)???x,0?x?1，所以可以求出Y1,Yn的分布函数为??1,x?1?0,y?0?0,y?0F?min(y)??1?(1?y)n,0?y?1，

F(y)???max?yn,0?y?1。

?1,y?1??1,y?1Y1,Yn的密度函数为

y)???n(1?y)n?1,0?y?1?nyn?1f,0?y?1min(?0,其他，fmax(y)???0,其他。

所以Y1,Yn的数学期望为

??111E(Y?yf(1?y)n?1dy??n(1?y)n?11)?min(y)dy?dy?n(1?y)ndy?1???ny00?0n?1， ??1E(Y?yfnnn)?max(y)dy????nydy?0n?1。

14，解：求出边缘分布律如下

X Y 0 1 2 P{X?k} 0 3/28 9/28 3/28 15/28 1 3/14 3/14 0 12/28 2 1/28 0 0 1/28 20

概率论与数理统计及其应用习题解答

P{Y?k} 10/28 15/28 3/28 1 22E(X)??kP{X?k}?1/2， E(Y)??kP{Y?k}?3/4，

k?0k?022E(XY)???ijP{X?i}P{Y?j}?1?1?3/14?3/14，

j?0i?022E(X?Y)???(i?j)P{X?i}P{Y?j}??7/28??1/4，

j?0i?022E(3X?2Y)???(3i?2j)P{X?i}P{Y?j}?84/28?3。

j?0i?0，解：22E[min(X,Y)]???min(i,j)P{X?i}P{Y?j}?1?3/14?3/14，

j?0i?022E[Y/(X?1)]???ji?1P{X?i}P{Y?j}?18/28?9/14。 j?0i?0，解：11?yE(X)???xf(x,y)dxdy??dy?24x2ydx?2/5，

R?R0011?yE(Y)???yf(x,y)dxdy??dy24y2xdx?2/5， R?R0?011?yE(XY)???xyf(x,y)dxdy??dy24x2y2dx?2/15。 R?R0?0，解：根据题意，可得利润的分布律为

0 -1000 Y 2000 1000 -2000 0.2 0.3 0.3 0.1 pk 0.1

E(Y)?2000?0.2?1000?0.3?1000?0.1?2000?0.1?400（元） E(Y2)?20002?0.2?10002?0.3?(?1000)2?0.1?(?2000)2?0.1?1600000

D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?1440000。

解????E(X)?x2?x2/(2?2)dx??xe?x2/(2?2)?????x2/(2?2)??xf(x)dx????2e00??edx???，

02????3E(X2)?x2f(x)dx??x?x2/(2?2))??????2xe?x2/(2?2)dx ??2?2e?x2/(2?2)??2edx??x2e?x2/(2?2???0?000?2?2，D(X)?E(X2)??E(X)?2?(2??/2)?2，D(X)?(2??/2)?。

??（本题积分利用了?e?x2/2dx??02，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）

21

15

16

17因此，

18

概率论与数理统计及其应用习题解答

19，解：E(X)??kP{Xk?12??2???k}?p?k(1?p)k?1?p?k?1??2k?1??11?， pp2E(X)??kP{X?k}?p?k(1?p)k?1k?1??????k?1?p??k(k?1)(1?p)??k(1?p)k?1?

k?1?k?1?

?p(2121?)??， p3p2p2p所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?111?p??2。 p2pp??p本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设s(p)??k(1?p)，则?s(p)dp???(1?p)kk?1???1?1，所以

k?11k?1'??s(p)??p???s(p)dp???1。类似的，设S(p)?k?1)(1?p)k?1，则经过两次积分以后可得到

(1?p)2??2?k(1?pk?1p，在经过两

次求导得到S(p)?2p3。

20，解：（1）当????k?k??k?1时，E(X)??xf(x)dx??kdx?k?k???x?1kdx?k??xk?1。 （2）当k?1时，??E(X)???1?xdx???，即E(X)不存在。 （3），当????k?2时，E(X2)??x2f(x)dx??k?kk?2k?1dx????xk?2，

所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?2??1k?k?2?k?k?2?(k?1)2???(k?1)2(k?2)。 （4）当????k?2时，E(X2)??x2f(x)dx????2?2?xdx???，所以D(X)不存在。

21，解：（1）根据14题中结果，得到

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?3/14?1/2?3/4??9/56；

因为2E(X2)??k2P{X?k}?4/7， E(Y22)??k2P{Y?k}?27/28，

k?0k?0所以D(X)?E(X2)??E(X)?2?9/28，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?45/112，

?Y)5XY?Cov(X,D(X)D(Y)??5。 （2）根据16题结果可得：

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?2/15??2/5?2??2/75；

因为

11?yE(X2)???x2f(x,y)dxdy??dy?24x3ydx?1/5， R?R0011?yE(Y2)?，

R??y2f(x,y)dxdy??R?dy0?24y3xdx?1/50所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?1/25，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?1/25

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?2/75，

p22

概率论与数理统计及其应用习题解答

?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??2。 3（3）在第2章14题中，由以下结果

X Y 0 1 2 P{X?k} 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 2 0.02 0.06 0.30 0.38 P{Y?k} 0.16 0.34 0.50 1 得到，E(X)?1.14，E(Y)?1.34，E(XY)?1.8，E(X2)?1.9，E(Y2)?2.34， 所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.2724；

D(X)?E(X2)??E(X)?2?0.6004，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?0.5444,

?X,Y).2724XY?Cov(D(X)D(Y)?00.5717?0.4765. 22，解：根据题意有 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)

?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y)?9?4?2?(?1/6)?6?11。

D(X?3Y?4)?D(X?4)?D(3Y)?2Cov(X?4,3Y)

?D(X)?9D(Y)?6Cov(X,Y)?9?36?6?(?1/6)?6?51。

23，解：（1）因为X1,X2,X3相互独立，所以

E?X2?21(X2?4X3)2?E(X1)E[(X2?4X2223)]?E[X2?8X2X3?16X3]

?E[X2222?8X2X3?16X3]?E[X2]?8E[X2]E[X3]?16E[X23]

?1?0?16?17。

（2）根据题意，可得E(X22i)?1/2,E(Xi)?D(Xi)??E(Xi)??1/3，i?1,2,3。

E?(X??E[X2221?2X2?X3)21?4X2?X3?4X1X2?2X1X3?4X3X2]

?E[X2221]?4E[X2]?E[X3]?4E[X1]E[X2]?2E[X1]E[X3]?4E[X3]E[X2] ?14113?3?3?1?2?1?12。24，解：因为

1xE(X)?R??xf(x,y)dxdy?xdy?2/3，

?R?dx0??x1xE(Y)?y)dxdy?R??yf(x,?R?dx?ydy?0，

0?x1xE(XY)?,y)dxdy?R??xyf(x?R?dx0??xydy?0，

x所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0， 即，验证了X,Y不相关。 ???x又因为，

f)???1dy?2x，0?x?1X(x??f(x,y)dy?????x； ?0,其他 23

概率论与数理统计及其应用习题解答

?1??????1dx，?1?y?0y?1?y，0?y?0f??f(x,y)dx???1??1dx，0?y?1??.5Y(y)?1?y，0.5?y?1，

???y??0?0，其他?，其他??显然，f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以验证了

X,Y不是相互独立的。

25，解：引入随机变量定义如下

X?1第i个球落入第i个盒子i???0第i个球未落入第i个盒子

则总的配对数nX??Xi，而且因为P{Xi?1}?1n，所以，X~N(n,1i?1n)。 故所以，E(X)?n?1n?1。

第4章 正态分布

1，（1）设Z~N(0,1)，求P{Z?1.24}，P{1.24?Z?2.37}，P{?2.37?Z??1.24}； （2）设Z~N(0,1)，且P{Z?a}?0.9147，P{Z?b}?0.0526，求a,b。 解：（1）P{Z?1.24}??(1.24)?0.8925，

P{1.24?Z?2.37}?P{Z?2.37}?P{Z?1.24}??(2.37)??(1.24)?0.9911?0.8925?0.0986P{?2.37?Z??1.24}??(?1.24)??(?2.37)?[1??(1.24)]?[1??(2.37)]?0.0986

（2）P{Z?a}?0.9147??(1.37)，所以a?1.37；

P{Z?b}?0.0526?1?P{Z?b}，所以P{Z?b}?0.9474??(1.62)，即b?1.62。

2，设X~N(3,16)，求P{4?X?8}，P{0?X?5}。

解：因为X~N(3,16)，所以

X?34~N(0,1)。 P{4?X?8}?P{4?34?X?34?8?34}??(1.25)??(0.25)?0.8944?0.5987?0.2957P{0?X?5}??(5?34)??(0?34)?0.6915?(1?0.7734)?0.4649。

3，（1）设X~N(25,36)，试确定C，使得P{X?25?C}?0.9544。

（2）设X~N(3,4)，试确定C，使得P{X?C}?0.95。

解：（1）因为P{X?25?C}?P{?C?X?25?C}??(CCC6)??(?6)?2?(6)?1

所以得到?(C6)?0.9772,即C6?2.0，C?12.0。

（2）因为X?3C?32~N(0,1)，所以P{X?C}?1??(2)?0.95，即

?(C?32)?0.05,或者?(3?C2)?0.95，从而3?C2?1.645，C??0.29。

24

概率论与数理统计及其应用习题解答

4，已知美国新生儿的体重（以g计）X（1） 求P{2587.75?X?4390.25}；

~N(3315,5752)。

（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小于2719的个数，求P{Y?4}。 解：根据题意可得X?3315575~N(0,1)。

4390.25?33152587.75?3315)??()

575575（1）P{2587.75?X （2）P{X?4390.25}??(??(1.87)??(?1.2648)?0.9693?(1?0.8962)?0.8655（或0.8673）

?2719}??(2719?3315)?1??(1.04)?0.1492， 575根据题意Y~B(25,0.1492)，所以

kP{Y?4}??C25?0.1492k?0.850825?k?0.6664。

k?04

5，设洗衣机的寿命（以年计）X率。

解：所要求的概率为

P{X?8}P{X?8|X?5}??P{X?5}1??(1.06)1?0.85542.3???0.17616，一电路要求装两只设计值为5?6.41??(?0.92)0.82121??()2.31??(8?6.4)~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概

12欧

的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）

解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量X,Y,则X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04) （1）P{11.7?X?12.3,11.7?Y?12.3}?P{11.7?X?12.3}P{11.7?Y?12.3}

11.7?11.9??12.3?11.92???()??()????(2)??(?1)??0.81852?0.6699；

0.20.2??2（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为

?12.4?11.9?1?P{X?12.4,Y?12.4}?1?P{X?12.4}P{Y?12.4}?1???()?0.2??2

?1?0.99382?0.0124。

7，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值??160，均方差为?的正态分布，若要求

P{120?X?200}?0.80，允许?最大为多少？

解：根据题意，

X?160?~N(0,1)。所以有

P{120?X?200}??(200?160?120?16040)??()?2?()?1?0.80，

??即，?(40?)?0.9??(1.28)，从而

40??1.28,??31.25。

25

概率论与数理统计及其应用习题解答

2，设总体X~N(75,100)，X1,X2,X3是来自X的容量为3的样本，求

（1）P{max(X1,X2,X3)?85}，（2）P{(60?X1?80)?(75?X3?90)}， （3）E(X21X22X23)，（4）D(X1X2X3)，D(2X1?3X2?X3)， （5）P{X1?X2?148}。

解：（1）P{max(X1,X2,X3)?85}?P{X1?85,X2?85,X3?85}?

3P{XP{X3?X?7585?75?1?85}2?85}P{X3?85}??P{X1?85}????P{110?10}??

?[?(1)]3?0.84133?0.5955；

（2）P{(60?X1?80)?(75?X3?90)}?P(60?X1?80)?P(75?X3?90)

?P{60?XX1?7580?7575?75X3?75901?80}P{75?X3?90}?P{60?7510?10?10}?P{?7510?10?10}?P{60?7510?X1?7510?80?7510}P{75?7510?X3?7590?7510?10} ?[?(0.5)??(?0.5)]?[?(1.5)??(0)]?[?(0.5)??(?0.5)][?(1.5)??(0)]

?[2?(0.5)?1]?[0.9332?0.5]?[2?(0.5)?1][0.9332?0.5]?0.383?0.4332?0.383?0.4332?0.6503 （本题与答案不符）（3）E(X221X22X23)?E(X21)E(X22)E(X23)?[D(X31)?E2(X1)]?[100?75]3

?1.8764?1011；

（4）D(X1X2X3)?E[(X1X22X3)]?E2(X1X2X3)?1.8764?1011?E6(X1)

?1.8764?1011?756?9.662?109；

D(2X1?3X2?X3)?4D(X1)?9D(X2)?D(X3)?1400；

（5）因为X1?X2~N(150,200)，所以

P{XX148?15021?2?148}??(200)?1??(10)?1?0.5557?0.4443。

3，设总体X~?(5)，X1,X2,X3是来自X的容量为3的样本，求 （1）P{X1?1,X2?2,X3?3}；（2）P{X1?X2?1}。

解：（1）因为X1,X2,X3相互独立，所以

P{X25e?5125e?5P{X1?1,X2?2,X3?3}?1?1}P{X2?2}P{X3?3}?5e?5?2?6

?15625e-1512?0.000398；

（2）P{X1?X2?1}?p{X1?0,X2?1}?p{X1?1,X2?0}

?e?5?5e?5?5e?5?e?5?10e?10。

4，（1）设总体X~N(52,6.32)，X1,X2,?,X36是来自X的容量为36的样本，求P{50.8?X?53.8}；

31

概率论与数理统计及其应用习题解答

（2）设总体X~N(12,4)，X1,X2,?,X5是来自X的容量为5的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对

值大于1的概率。 解：（1）根据题意得XP{50.8?X?53.8}?P{~N(52,6.32/36)，所以

50.8?52X?5253.8?5253.8?5250.8?52??}??()??()6.3/66.3/66.3/66.3/66.3/6

??(1.7143)??(?1.143)?0.9564?(1?0.8729)?0.8293；

（2） 因为X~N(12,4/5)， P{X?12?1}?P{11?X?13}

11?12X?1413?12?P{??}??(1.118)??(?1.118)?0.8686?(1?0.8686)?0.73720.80.40.8P{X?12?1}?1?P{X?12?1}?1?0.7?0.2所

228以

。

367

5，求总体N(20,3)的容量分别为10和15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 解：设容量分别为10和15的两独立样本的样本均值分别记为X和Y， 则X~N(20,0.3)，Y~N(20,0.2)，所以X?Y~N(0,0.5)，

P{X?Y?0.3}?1?P{X?Y?0.3}?1?P{?0.3?X?Y?0.3}?1?[?(0.30.5)??(?0.30.5)]

?2?2??(0.42)?0.6744。

6，下面给出了50个学生概率论课程的一次考试成绩，试求样本均值和样本方差，样本标准差，并作出频率直方图（将区间（35.5，105.5）分为7等份）。

1502(xi?x)?201.5037，s?14.1952， 解：易得x??xi?74.92，s??n?1i?1i?1502处理数据得到以下表格

组 限 35.5~45.5 45.5~55.5 55.5~65.5 65.5~75.5 75.5~85.5 85.5~95.5 95.5~105.5 频数fi 2 3 6 14 11 12 2 频率fi/n 0.04 0.06 0.12 0.28 0.22 0.24 0.04 根据以上数据，画出直方图（略） 7，设总体XX1,X2,?,X4是来自X~N(76.4,383)，

的容量为4

(Xi?76.4)2的样本，（1）问U??s是样本方差。

383i?124，

32

概率论与数理统计及其应用习题解答

(Xi?X)2W??383i?14分别服从什么分布，并求D(s2)。（2）求P{0.711?U?7.779}，P{0.352?W?6.251}

解：（1）因为X?76.4~N(0,1)，

3834(Xi?76.4)2?Xi?76.4?2????~?(4) 所以，U????383383?i?1i?1?42而根据定理2

(X?X)，W??i?383i?142?(Xi?14i?X)23833s2?~?2(3) 3833s2因为D(W)?D()?6，所以D(s2)?6?3832/9?293378/3。

383（2）P{0.711?U?7.779}?P{U?7.779}?P{U?0.711}?(1?0.1)?(1?0.95) =0.85（第二步查表）

P{0.352?W?6.251}?P{W?6.251}?P{W?0.352}?(1?0.1)?(1?0.95)?0.85

8，已知X~t(n)，求证X2~F(1,n)。

~t(n)，所以存在随机变量Y~N(0,1),Z~?2(n) YZ/n2证明：因为X使得

X?， 也即

2Y2， X?Z/n2Y2/1而根据定义Y~?(1),所以X?~F(1,n)，证毕。

Z/n2

（第5章习题解答完毕）

第6章 参数估计

1，设总体X~U(0,b),B?0未知，X1,X2,?,X9是来自X 的样本。求b的矩估计量。今测得一个样本值0.5，

0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求b的矩估计值。 解：因为总体X~U(0,b)，所以总体矩E(X)?b/2。根据容量为

9

19的样本得到的样本矩X??Xi9i?1。令总体

??2X。 矩等于相应的样本矩：E(X)?X，得到b的矩估计量为b??1.69。 把样本值代入得到b的矩估计值为b

?2?2(??x)0?x??2，设总体X具有概率密度fX(x)???，参数?未知，X1,X2,?,Xn是来自X的样本，求?的

其他?0?矩估计量。

解：总体X的数学期望为E(X)??0?2x?(??x)dx?2?3，令E(X)?X可得?的矩估计量为???3X。

33

概率论与数理统计及其应用习题解答

3，设总体X~B(m,p),参数m,p(0?p?1)未知，X1,X2,?,Xn是来自X的样本，求m,p的矩估计量（对于具体

?不是整数，则取与m?最接近的整数作为m的估计值）样本值，若求得的m。

解：总体X的数学期望为 E(X)?mp，D(X)?mp(1?p)，

?mp(mp?p?1)。

二阶原点矩为E(X2)?D(X)??E(X)?2令总体矩等于相应的样本矩：

1n2E(X)?X，E(X)?A2??Xi

ni?12A??1?X?2得到pX?X???，mX??X?22?A2。

4，（1）设总体X~?(?),??0未知，X1,X2,?,Xn是来自X的样本，x1,x2,?,xn是相应的样本值。求?的矩估计量，求?的最大似然估计值。

（2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数X~?(?)，下面是X的一个样本：

6 4 9 6 10 11 6 3 7 10

求?的最大似然估计值。

??X。 解：（1）因为总体的数学期望为?，所以矩估计量为?n似然函数为 L(?)??i?1?exi???xi?!???xii?1ne?n???xi?!i?1n，相应的对数似然函数为

?n?lnL(?)??ln???xi?n??ln???xi?!?。

i?1?i?1?n令对数似然函数对?的一阶导数为零，得到?的最大似然估计值为

1n????xi?x。 ni?1??x?7.2。 （2）根据（1）中结论，?的最大似然估计值为?

5，（1）设X服从参数为p(0?p?1)的几何分布，其分布律为P{Xx1,x2,?,xn是一个样本值，求p的最大似然估计值。

?x}?(1?p)x?1p,x?1,2,?。参数p未知。设

（2）一个运动员，投篮的命中率为p(0?p?1,未知)，以X表示他投篮直至投中为止所需的次数。他共投篮5次得到X的观察值为

5 1 7 4 9

求p的最大似然估计值。 解：（1）似然函数为

L(p)??(1?p)i?1n?xi?1p?(1?p)i?1??xi?nnpn，相应的对数似然函数为

n?lnL(p)???xi?n??ln(1?p)?nlnp。 ?i?1? 34

概率论与数理统计及其应用习题解答

令对数似然函数对p的一阶导数为零，得到p的最大似然估计值为

??pnn?i?xi?11。 x1???（2）根据（1）中结论，p的最大似然估计值为px5。 26

6，（1）设总体X~N(?,?2)，参数?2已知， ?(??????)未知，x1,x2,?,xn是来自X一个样本值。求?的

最大似然估计值。 （2）设总体X然估计值。

解：（1）似然函数为

(x??)?1?i2L(?)???e2?i?1??2??n2~N(?,?2)，参数?已知，?2（?2>0）未知，x1,x2,?,xn为一相应的样本值。求?2的最大似

??????12??ni?1?ne?i?1?(xi??)22?2n，相应的对数似然函数为

lnL(?)??2?(xi??)2?2?ln2????。

n令对数似然函数对?的一阶导数为零，得到?的最大似然估计值为

????xi?1ninn?x。

（2）似然函数为

(x??)?1?i2L(?)???e2?i?1??2??2n2?1????2??2??n2e?i?1?(xi??)22?2，相应的对数似然函数为

n?ln2??22 lnL(?2)??i?12?(xi??)n2?2??。

令对数似然函数对?2的一阶导数为零，得到?2的最大似然估计值为

1n???(xi??)2。 ?ni?12

7，设X1,X2,?,Xn是总体X的一个样本，x1,x2,?,xn为一相应的样本值。 （1）

?x?x/??e总体X的概率密度函数为f(x)???2??0x?0其他，

0????，求参数?的最大似然估计量和估计值。

（2）

0????，求参数?的最大似然估计值。

?x2?x/??e总体X的概率密度函数为f(x)??2?3?0?x?0其他，

（3）

估计值。 解：（1）似然函数为

设X~B(m,p),m已知，0?p?1未知，求p的最大似然

?xi/??xi?xi/??i?1i?1，相应的对数似然函数为 L(?)???2e?e2n??i?1???n??xinn 35

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