七年级数学上册12有理数数轴绝对值相反数重难点研习素材新人教版
更新时间:2023-10-12 12:33:01 阅读量: 综合文库 文档下载
数轴、绝对值、相反数重难点研习
一、教材知识研习 研习点1 数轴的概念
(1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
这里包含两个内容:一是数轴的三要素:原点、正方向、单位长度缺一不可.二是这三个要素都是规定的.
(2)数轴能形象地表示数,所有的有理数都可用数轴上的点表示,但数轴上的点所表示的数并不都是有理数.
【梳理总结】 首先,要理解数轴的概念.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.它包含三层涵义:一是数轴是一条直线,可以向两端无限伸展.二是数轴有三要素:原点、正方向、单位长度,三者缺一不可.三是原点:原点是数轴上有特殊意义的点,它相当于温度计的零刻线;正方向及单位长度是根据实际需要“规定”的,正方向一般地规定为向右的方向;单位长度可视具体情况而定,但要注意单位长度和长度单位是两个不同的概念,前者是指所取度量单位的长度,而后者是指度量的单位的名称(米、分米、厘米等),这就是说单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段,这条线段可长可短,按实际情况而定. 典例1 下列各图中,表示数轴的是 ( )
[研析] 画数轴时,数轴的三要素——原点、正方向、单位长度是缺一不可的,所以应当用这三要素检查每个图形,判断是否画的正确. 解 A图没有指明正方向;
B图中,1和-1表示的一个单位长度不相等,在同一数轴上,单位长度必须一致; C图中没有原点; D图中三要素齐全.
∴A、B、C三个图画的都不是数轴,只有D图画的是数轴.
1
研习点2 数轴的画法
画法:①画一条直线(一般水平放置),在这条直线上任取一点作原点,用这点表示0。 ②规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指方向),那么相反的方向,即从原点向左为负方向。
③选取适当的长度作为单位长度,在直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示1、2、3…,从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示-1、-2、-3…
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 图1-2-1
强调:三要素都是规定的,即可根据情况灵活选定原点的位置,正方向的指向、单位长度的大小也可根据不同需要选择,但这三要素一经确定,就不能随意改变。 数轴三要素:原点、正方向、单位长度,三者缺一不可。
【归纳整理】 数轴的画法分为四步:一画,画一条直线.二取,在这条直线的适当位置取一点,作为原点,用实点表示.三定,确定正方向,用箭头表示出来.四统一,选取适当的长度作为单位长度,用细短线在直线上画出,并对应地标注各数,注意同一数轴的单位长度要一致.画数轴常出现的错误:(1)没有方向;(2)没有原点;(3)单位长度不统一;(4)负数的排列错误.
典例2 判断下列图形中所画数轴是否正确,如不正确,指出错在哪里?
0234-1AC01D
[研析] 画数轴三要素缺一不可,故以上数轴都不正确。 解 A不正确,缺少单位长度; ?B不正确,缺少正方向;
C不正确,缺少原点; D不正确,单位长度不一致。
研习点3 绝对值
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数的绝对值记作│a│ 如:│5│指在数轴上表示5的点与原点的距离,这个距离是5,所以5的绝对值是5,记作│5│。
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。 【梳理总结】 无论是绝对值的代数意义还是几何意义,都揭示了绝对值的以下有关性质:
2
(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性,即│a│≥0; (2)绝对值等于0的数只有一个,就是0,若│0│=0; (3)绝对值等于一个正数的数有两个,这两个数互为相反数; (4)互为相反数的两个数的绝对值相等。 典例3 求下列各数的绝对值。
3 (1)?18;(2)5;(3)0
[研析] 一个数的绝对值与这个数之间的关系有三种: ①正数的绝对值是它本身; ②负数的绝对值是它的相反数; ③0的绝对值是0。
解:(1)因为?18是负数,所以?18的绝对值等于18,即
?18?18。
33333?5。 (2)因为5是正数,所以5的绝对值等于5,即5 (3)0的绝对值等于0,即 说明:
①一个数绝对值与这个数的本身或它的相反数有关系。
②求一个数的绝对值,首先要对这个数做出判断:是正数还是负数或者0;然后再选择一个数的绝对值与这个数之间的某种关系;最后写出结果。必须注意,求一个数的绝对值不能误认为就是去掉这个数前面的符号。当一个数是用字母表示的数,如?a,并没有同样,对于?b,也没有 研习点4 相反数
只有性质符号不同的两个数,才互为相反数。如
0?0。
?a?a,
?b?b。
13和-
1;-3和3;7和-7都是互为311与-5互为相反数, 22相反数。0的相反数是0,由定义知相反数是成对出现的(但-3和5不叫相反数),数轴上表示它们的点分别在原点的两侧且与原点的距离相等。如图,5
3
图1-2-2
【梳理总结】一般地,数a的相反数是-a,记作-(a)=-a;-a的相反数是a,即-(-a)=a,这里a可表示正数,负数和0。
正数的相反数是负数;0的相反数还是0;负数的相反数是正数。 典例4 填空题:
(1)2的相反数的绝对值是______; (2)绝对值等于5的数是_______; (3)绝对值不大于2的整数是________。
[研析] 求一个数的绝对值,用代数定义比较方便,求绝对值等于5的数用几何定义比较直观,不大于即小于或等于,绝对值不大于2的整数即在数轴上到原点距离小于或等于2的整数点表示的数。
解:(1)2; (2)±5;(3)-2,-1,0,1,2。 二、思维误区辨析
易错点1 数轴的概念理解错误 典例1 数轴的三要素是什么?
[研析] 误解 数轴的三要素是指原点、正方向、长度单位. 正解 数轴的三要素是原点、正方向和单位长度.
错因分析 上面的回答错在混淆了“单位长度”和“长度单位”这两个概念.看起来只有词序不同,但实际意义不一样.“长度单位”是一个确定的量,如厘米、分米等.而“单位长度”不是确定的,它的大小可根据实际需要适当选取.当然还可用一个或若干个长度单位来作为一个“单位长度”. 易错点2 数轴画法错误 典例2 在数轴上记出下列各数: +5.5,-6,4,-3.5,1.5. [研析] 错解 如图1-2-3.
图1-2-3
正解 如图1-2-4.
4
图1-2-4
错因分析 只有标明了原点、正方向和单位长度的直线,才是数轴.上面画的数轴错在没有标出原点和单位长度. 易错点3 绝对值理解错误
典例3 写出绝对值不大于5的整数.
[研析] 错解 绝对值不大于5的整数是:-4,-3,-2,-1,1,2,3,4. 正解 绝对值不大于5的整数有:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5. 错因分析 上面解答错误有两处:其一,把符合条件的零排除在整数集合之外;其二,对“不大于”的含义认识模糊.事实上,“不大于”包括“小于”或“等于”两层意思,不能把“等于”排除在外. 易错点4 相反数
典例4 已知a>0,b<0,a<|b|,试把-a,-b,a,b用<连结起来. [研析] 错解 -a<b<-b<a.
正解 画数轴.由a>0,b<0知表示a,b的点分别在数轴上原点的右边和左边,且由a<|b|和a>0知|a|<|b|,所以表示a的点离原点较近.因-a,-b与a,b互为相反数和a<|b|,再找出-a,-b两点(如图1-2-5).显然,b<-a<a<-b.
图1-2-5
错因分析 解题者对这类较抽象的数的大小比较,常常不知道从何处下手,往往凭主观猜想乱写结论.上面解答之所以出错,主要是解题思想方法不对所造成的.即未把-a和-b所对应的点在数轴上标出来.事实上,a和-a是互为相反数,它们分别在原点的两侧,且到原点的距离相等,b和-b也是如此.因此在数轴上标出有理数a,-a,b,-b,那么这四个数的大小关系就一目了然.
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