高考数学中的绝对值问题

高考数学中的绝对值问题

绝对值是高中数学中的一个基本概念，“绝对值问题”历来是高考中经常涉及的问题，可谓常考常新，与函数、导数、数列、不等式证明等知识交汇相结，成为高考的“新宠”。特别是“绝对值”问题为背景与初等函数结合所构成的综合题。由于它们在知识上具有综合性，题型上具有新颖性，解题方法上具有灵法多变，还需要利用数形结合、分类讨论、绝对值不等式的放缩等数学思想，对考生的综合知识能力要就求较高，成为考生之间拉分的重要题型之一。今天只对与函数、不等式结合的绝对值问题的几道例题略作分析，供同学们思考。

一、知识储备：

（1）绝对值概念、绝对值的非负性、几何意义、绝对值的函数图象等。 （2）各类绝对值不等式的解法。

（1）x?a??a?x?a(a?0)； （2）x?a?x?a或x??a(a?0)； （3）|f(x)|?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)；

(4) |f(x)|?g(x)?f(x)??g(x)或f(x)?g(x)． （3）绝对值三角不等式：

||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，及其左右两个等号各自成立的条件。 二、例题：

例1、已知a,b,c?R函数f(x)?ax2?bx?c，g(x)?ax?b，

当x?[?1,1]时，有f(x)?1。

(1)证明：c?1 (2)证明：当?1?x?1时，g(x)?2，2ax?b?4

例2、如果对于函数f(x)的定义域内的任意x1,x2，都有|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|成立，那么就称函数f(x)是定义域上的“平缓函数”．

（II）若函数f(x)是闭区间[0,1]上的“平缓函数”，且f(0)?f(1)．证明：对任意的x1,x2?[0,1]都有|f(x1)?f(x2)|?

1。 2例3、（2012浙江理22）已知a?0,b?R，函数f(x)?4ax3?2bx?a?b. (Ⅰ)证明:当0?x?1时, (ⅰ)函数f?x?的最大值为|2a?b|?a;

(ⅱ) f(x)?|2a?b|?a?0。

例4、（2012陕西理22）设函数fn(x)?xn?bx?c

(n?N?,b,c?R)

(II)设n?2,若对任意x1,x2?[?1,1],有|f2(x1)?f2(x2)|?4,求b的取值范围;

11变题：（连云港市2012－2013）已知函数f(x)?x3?mx2?x?m，其中m?R．

33(1)求函数y=f(x)的单调区间；

(2)若对任意的x1，x2?[?1，1]，都有|f?(x1)?f?(x2)|?4，求实数m的取值范围； (3)求函数f(x)的零点个数．

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三、考题精选：

1.求y?|x?1|?|2x?1|?|x?3|?|3x?2|的最小值为___________

2.若存在实数x使|x?a|?|x?1|?3成立,则实数a的取值范围是___________. 3.若不等式|kx?4|?2的解集为{x|1?x?3},则实数k?__________. 4.在实数范围内，不等式|2x?1|?|2x?1|?6的解集为___________。 5.不等式|x?2|?|x|?1的解集为__________________.

6.在区间[t,t?1]上满足不等式|x3?3x?1|?1的解有且只有一个，则实数t的取值 范围为

27.已知t为常数，函数y?x?2x?t在区间[0，3]上的最大值为2，则t?__ _。

8．若函数f(x)?x3?a|x2?1|,a?R,则对于不同的实数a,则函数f(x)的单调区间个数不可能是 ( )

A.1个 B. 2个 C.3个 D.5个 9．设函数f(x),(x?R)满足f(?x)?f(x)，f(x)?f(2?x),且当x?[0,1],f(x)?x3.又函数g(x)?|xcos(?x)|,则函数h(x)?g(x)?f(x)在[?A．5 B．6 C．7 10. 函数y?tanx?sinx?tanx?sinx在区间( 2 -oyyy?213,]上的零点个数为 22（ ）

D．8

?3?2,2?)内的图象是 （ ）

y3?2?2??22-??2o?2-x?A3?2xo?B3?2x?o?2-?3?2x?CD11．y??kx?a?b的图象与y?kx?c?d的图象（k?0且k?a?c的值是( )

A．7 B．8 C．10 D．13

1）交于两点（2,5），（8,3），则312.设函数f(x)?|x?1|?|x?a|的图象关于直线x?1对称，则a的值为（ ）

(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1

?x2,x?1g?x?13.设f?x???，是二次函数，若f?g?x??的值域是?0,???，则g?x?的值域是

x,x?1?（ ）

A.???,?1???1,??? B.???,?1???0,??? C.?0,??? D. ?1,??? 14．已知函数f(x)?x3?|3x?a|?2在(0,2)上恰有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）

A．(0,2) B．(0,4) C．(0,6) D．（2，4）

?1?|x?1|,x?(??,2)?15．若函数f(x)??1，则函数F(x)?xf(x)?1的零点个数为（ ）

f(x?2),x?[2,??)??2A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

2216．设函数y?f(x)满足对任意的x?R，f(x)?0且f(x?1)?f(x)?9。已知当x?[0,1]时，有f(x)?2?4x?2，则f??2013??的值为 。

?6?3

17．设f(x)?x2?x?13，x?a?1，求证：f(x)?f(a)?2(a?1)

18．设a为实数，函数f(x)?x2?|x?a|?1，x?R （1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的最小值

19．已知函数f(x)?ax2?bx?c，若a?b,b?0f(0)?1,f(1)?1,f(?1)?1， 求证：当x?[?1,1]时，有f(x)?

20．已知：f(x)?x2?ax?b,(a,b?R)，x?[?1,1]。 （1）|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 （2）若|f(x)|的最大值为M，求证：M? 21．已知函数f(x)?5 41 211。 （3）若M?时，求f(x)的表达式。 2212x?(2a?2)x?(2a?1)lnx 2(I )求f(x)的单调区间； (II)对任意的a?[,],x1,x2?[1,2]，恒有|f(x1)?f(x2)|??|值范围.

22．已知函数f(x)?xx?a?lnx.

（1）若a=1，求函数f(x)在区间[1,e]的最大值;

（2）求函数f(x)的单调区间； （3）若f(x)?0恒成立，求a的取值范围．

23．设函数fn(x)??xn?3ax?b（n?N*，a,b?R）。

⑴若a?b?1，求f3(x)在?0,2?上的最大值和最小值；

⑵若对任意x1,x2?[?1,1]，都有f3(x1)?f3(x2)?1，求a的取值范围； ⑶若f4(x)在[?1,1]上的最大值为

352211?|，求正实数?的取x1x21，求a,b的值。 2

24．已知函数f(x)?ax?x2?xlna(a?0,a?1). （1） 求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （2） 求函数f(x)单调区间；

（3） 若存在x1,x2?[?1,1]，使得f(x1)?f(x2)?e?1(e是自然对数的底数），求实数a的取值范围.

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1、解：由函数f(x)?ax2?bx?c,且对任意的x?[?1,1]，f(x)?1， 有：f(1)?1，f(?1)?1，f(0)?1 即

|a?b?c|?1,|a?b?c|?1,|c|?1。

由|a?b?c|?|a?b|?|c|，得|a?b|?|c|?1?2 同理：|a?b|?|c|?1?2

故当?1?x?1时，有|g(x)|?|ax?b|?max{|a?b|,|a?b|}?2。

此时，?2?a?b?2，?2?a?b?2，所以有?2?a?2。

??4?2a?b?4，?4?2a?b?4

当?1?x?1时，故有|2ax?b|?max{|2a?b|,|2a?b|}?4。

例2、（1）解：对于任意x1,x2?[0,1]，有0?x1?x2?2， ∴?1?x1?x2?1?1，∴|x1?x2?1|?1．

22∴|f(x1)?f(x2)|?|(x1?x1)?(x2?x2)|?|x1?x2|?|x1?x2?1|．

∴函数f(x)?x2?x,x?[0,1]是“平缓函数”． （2）证明：当|x1?x2|?当|x1?x2|?11时，由已知得|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|?。 2211|时，x1,x2?[0,1]，不妨设0?x1?x2?1，其中x2?x1?，那么221?(x2?x1)?1 2∵f(0)?f(1)，

∴|f(x1)?f(x2)|?|f(x1)?f(0)?f(1)?f(x2)| ?|f(x1)?f(0)|?|f(1)?f(x2)|?(x1?0)?(1?x2) ?1?(x2?x1)?1 21成立。 2∴综上，对任意的x1,x2?[0,1]都有|f(x1)?f(x2)|?

例3、【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.

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