B06060101-刘婷-论文报告

南京邮电大学2010届本科生毕业设计（论文）

题 目

专 业 学生姓名班级学号指导教师指导单位日期：

南京邮电大学 毕 业

论 文

静态博奕的多重Nash均衡及其在经济系统均

衡中应用

信息与计算科学

刘婷 B060601 B06060101

刘颖范 理学院

年 月 日 至 年 月 日

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摘 要

本设计研究静态博弈的多重Nash均衡及在经济系统中的应用。纳什均衡寻求的是高维博弈的最优策略组合。是一种非合作静态博弈状态。

当多个局中人在多个方面或多个领域内同时进行博弈时，每个局中人都在寻求既被其他人接受，又能取得自己的最优结果的状态。在现实社会中，这类在多个方面或多个领域内同时进行博弈的例子很多，因此称这类博弈为多维博弈。本文的重点就是将二维博弈扩展为多维博弈。 本文安排如下。前两章主要介绍了博弈论及纳什均衡的背景知识和矩阵对策下均衡的存在性结果；第三章讨论了连续对策；第四章研究了多维纳什均衡及利用不动点定理来研究扩展的纳什均衡的存在性，采用新的方法证明了两种高维博弈的纳什均衡的存在性定理；最后研究了纳什均衡在经济系统中的应用。

关键词：静态博弈；矩阵对策；混合策略；多维博弈；纳什均衡；

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ABSTRACT

This design arms to study high dimensional Nash equilibrium and its applization in economic system. Nash equilibrium searchs to the optimital strategies of high game.It is a non-coopertative static game state.

When the players are playing games in many aspects or areas,each player not only have to be agreed by other players ,but also search for the optimital strategies.In fact, there are many examples in many aspects or areas for game at the same time, so this kind of game is called high dimentional game. The most important content in this paper is to extend two-dimensional game to high dimentional version.

This article is arranged as follows: In the firsr two chapters, I introduce some necessary backgrounds of game theory and present Nash equilibrium and cooresponding exsistence results;,I discus the continous game briefly in Chapter 3 and study muldimentional Nash equilibrium and existence of expanded Nash Equilization by fixed point theorem In Chapter 4 ,.In perticular,I proove the Nash equalibria for two types of multidimentional games with new methods. Finally, I give some economic equilization and the applization of Nash equilibrium in the economic system.

Key words：static game；matrix game；mixed strategy；multiple game；Nash Equilization;

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目录

摘 要 ............................................................................................................................................. 2 ABSTRACT .................................................................................................................................... 3 第一章 博弈论概述 ................................................................................................................. 1

1.1博弈论定义 ....................................................................................................................... 1 1.2 博弈论分类 ...................................................................................................................... 1 1.3 纳什均衡由来及定义 ...................................................................................................... 2 1.4 纳什均衡经典案例 .......................................................................................................... 2 1.5 纳什均衡的重要影响 ...................................................................................................... 3 第二章 矩阵对策下均衡与鞍点的存在性 ............................................................................... 5

2.1 矩阵对策 .......................................................................................................................... 5 2.2 鞍点 .................................................................................................................................. 6 2.3 混合策略 .......................................................................................................................... 6 2.4 混合策略下的均衡与鞍点存在性 .................................................................................. 8 第三章 连续对策 ..................................................................................................................... 10

3.1 零和二人无限对策 ........................................................................................................ 10 第四章 非合作n人对策 .......................................................................................................... 12

4.1 引言 ................................................................................................................................ 12 4.2 多维博弈及特征 ............................................................................................................ 12

4.2.1多维博弈 .............................................................................................................. 12 4.2.2特征 ...................................................................................................................... 13 4.3 多维均衡 ........................................................................................................................ 13 4.4 纳什均衡 ........................................................................................................................ 14 4.5纳什均衡的存在性定理 ................................................................................................. 15

4.5.1 纳什均衡与不动点定理 ..................................................................................... 15 4.5.2 纳什存在性定理及其证明 ................................................................................. 21 4.5.3 其它的纳什均衡存在性定理 ............................................................................. 23 4.6 抽象非合作博奕系统的纳什均衡 ............................................................................... 24

4.6.1. Banach空间框架下的n重对策：一些概念与定义 ......................................... 24 4.6.2.带支付(收益)的纳什均衡的存在性定理 ........................................................... 26

第五章 纳什均衡在经济系统中的应用 ................................................................................. 30

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5.1引言 ................................................................................................................................. 30 5.2 经济均衡的存在性 ........................................................................................................ 30 5.3垄断市场 ......................................................................................................................... 34 结束语 ........................................................................................................................................... 38 致 谢 ........................................................................................................................................... 39 附录X ............................................................................................................ 错误！未定义书签。

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第一章 博弈论概述

1.1博弈论定义

博弈论亦名“对策论”， 目前在生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。也是运筹学的一个重要学科。 博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。生物学家使用博弈理论来理解和预测进化论的某些结果。

博弈论是研究多人谋略和决策问题的理论。首先，一个博弈问题必须至少有两个参与

博弈的主题（可能是个人，也可能是团体），他们在博弈过程中都有各自的切身利益。由于利益的驱动，他们在作出自己的决策时，总是想使出最有战略。其次，博弈中的各个主题之间总不可避免地存在着竞争。再者，既然主题之间要进行竞争，就要掌握博弈中对手的特点和已经采取或者可能采取的行动的知识和信息。最后，博弈的结果随主题的战略不同而不同。见文献[1]。

1.2 博弈论分类

局中人在一场竞赛或博弈中，每一个有决策权的参与者成为一个局中人,或称为参与人、参与者。只有两个局中人的博弈现象称为“两人博弈”,而多于两个局中人的博弈称为 “多人博弈”。

信息：信息指的是参与者在博弈过程中能了解到和观察到的知识。信息对参与者是至关重要的，因为每一个参与者在每次进行决策之前，必须根据伏安插到的其他参与者的行动和了解到的有关情况作出自己的最佳选择。分为完全信息与非完全信息，完全信息即是指每个参与者对自己以及其他参与者的行动，以及各参与者选择的行动组合产生的收益等知识有完全的了解。

战略：战略是局中人如何对其他局中人的行动作出反应的行动规则，它规定参与者在什么时候该选择什么行动。它是一个与过程有关的概念，行动是与时序无关的动作。 收益：在博弈论中，收益指的是在一个特定的战略组合下参与者得到的确定的效用或期望效用。效用通常表现为博弈结果中的输赢、得失、盈亏。收益是博弈局中人真正关心的问题。博弈论的一个基本特征是一个局中人的收益不仅取决于自己的战略选择，而且取决于其他局中人的战略选择。或者说，收益是所有参与者各选定一个战略形成的战略组合的函

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数。

静态博弈：如果局中人同时选择各自的行动，则这列博弈称为静态的。这里所说的“同时”具有双层含义。一种含义就是参与者在同一时间一起行动；另一种含义是局中人行动虽然有先有后，但后行动者并不知道先行动者采取了具体的活动。动态博弈：指局中人的行动有先后顺序，并且后行动者能够观察到先行动者所选择的行动。后行动者就依据所获得的信息，采取自己认为最有利的战略。

根据完全信息的概念，再结合参与者行动的先后次序的界定，就可以对博弈论分为四类：完全信息下的静态博弈，完全信息下的动态博弈，非完全信息下的静态博弈，非完全信息下的动态博弈。

1.3 纳什均衡由来及定义

约翰·纳什1948年作为年轻数学博士生进入普林斯顿大学。其研究成果见于题为《非

合作博弈》（1950）的博士论文。该博士论文导致了《n人博弈中的均衡点》（1950）和题为《非合作博弈》（1951）两篇论文的发表。纳什在上述论文中，介绍了合作博弈与非合作博弈的区别。他对非合作博弈的最重要贡献是阐明了包含任意人数局中人和任意偏好的一种通用解概念，也就是不限于两人零和博弈。这个概念后来被称为纳什均衡。

纳什均衡的非正式定义如下：

定义1.3.1：假设有个局中人参与博弈，给定其他人策略的条件下，每个局中人选择自

己的最优策略，从而使自己利益最大化。所有局中人策略构成一个策略组合。纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与人最优策略组成。即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。纳什均衡实质上是一种非合作博弈状态。

1.4 纳什均衡经典案例

囚徒困境

假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪。如果另一个犯罪嫌疑人也作了坦白，则两人各被判刑8年；如果另一个犯罪嫌人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪（因已有证据表明其有罪）再加刑2年，而坦白者有功被减刑8年，立即释放。如果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。表2.2给出了这个博弈的支付矩阵。

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表1：支付矩阵

关于案例，显然最好的策略是双方都抵赖，结果是大家都只被判1年。但是由于两人处于隔离的情况，首先应该是从心理学的角度来看，当事双方都会怀疑对方会出卖自己以求自保、其次才是亚当·斯密的理论，假设每个人都是“理性的经济人”，都会从利己的目的出发进行选择。这两个人都会有这样一个盘算过程：假如他坦白，我抵赖，得坐10年监狱，坦白最多才8年；他要是抵赖，我就可以被释放，而他会坐10年牢。综合以上几种情况考虑，不管他坦白与否，对我而言都是坦白了划算。两个人都会动这样的脑筋，最终，两个人都选择了坦白，结果都被判8年刑期。

基于经济学中Rational agent的前提假设，两个囚犯符合自己利益的选择是坦白招供，原本对双方都有利的策略不招供从而均被释放就不会出现。这样两人都选择坦白的策略以及因此被判8年的结局，纳什均衡”首先对亚当·斯密的“看不见的手”的原理提出挑战：按照斯密的理论，在市场经济中，每一个人都从利己的目的出发，而最终全社会达到利他的效果。但是我们可以从“纳什均衡”中引出“看不见的手”原理的一个悖论:从利己目的出发,结果损人不利己,既不利己也不利他。

A╲B 坦白 抵赖 坦白 抵赖 -8，-8 0，-10 -10，0 -1，-1 1.5 纳什均衡的重要影响

从“纳什均衡”的普遍意义中我们可以深刻领悟司空见惯的经济、社会、政治、国防、管理和日常生活中的博弈现象。现实生活中有许多类似于“囚徒的两难处境”这样的例子。如价格战、军奋竞赛、污染等等。纳什均衡的重要影响可以概括为以下六个方面 （1）改变了经济学的体系和结构。非合作博弈论的概念、内容、模型和分析工具等，均已渗透到微观经济学、宏观经济学、劳动经济学、国际经济学、环境经济学等经济学科的绝大部分学科领域，改变了这些学科领域的内容和结构，成为这些学科领域的基本研究范式和理论分析工具，从而改变了原有经济学理论体系中各分支学科的内涵。

（2）扩展了经济学研究经济问题的范围。原有经济学缺乏将不确定性因素、变动环境因素以及经济个体之间的交互作用模式化的有效办法，因而不能进行微观层次经济问题的解剖分析。纳什均衡及相关模型分析方法，包括扩展型博弈法、逆推归纳法、子博弈完美纳什均衡等概念方法，为经济学家们提供了深入的分析工具。

（3）加强了经济学研究的深度。纳什均衡理论不回避经济个体之间直接的交互作用，

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不满足于对经济个体之间复杂经济关系的简单化处理，分析问题时不只停留在宏观层面上而是深入分析表象背后深层次的原因和规律，强调从微观个体行为规律的角度发现问题的根源，因而可以更深刻准确地理解和解释经济问题。

（4）形成了基于经典博弈的研究范式体系。即可以将各种问题或经济关系，按照经典博弈的类型或特征进行分类，并根据相应的经典博弈的分析方法和模型进行研究，将一个领域所取得的经验方便地移植到另一个领域。

（5）扩大和加强了经济学与其他社会科学、自然科学的联系。纳什均衡普遍到几乎无处不在。纳什均衡理论既适用于人类的行为规律，也适合于人类以外的其他生物的生存、运动和发展的规律。纳什均衡和博弈论的桥梁作用，使经济学与其他社会科学、自然科学的联系更加紧密，形成了经济学与其他学科相互促进的良性循环。 （6）改变了经济学的语言和表达方法。

博弈论的应用在最近一些年的发展开始从原来单纯集中于经济学领域向着整个社会科学多个领域渗透，同时，即使是经济学本身也有一些新的发现，如著名的Bertrand价格竞争模型也发现有新的混合战略纳什均衡，这种新的混合战略纳什均衡可以对我们实际所观察到的价格多样性现象作出解释。最近一些年，心理学与博弈论的结合也逐渐取得了引人注目的成就，建立在心理学证据上的博弈论法则是当前这个领域中出现十分有趣的现象，而作为博弈论比较陈旧的领域之一的合作博弈也有新的发现。博弈论这种工具使得经济学逐步从一种抽象的纯粹理论形态向着可操作的应用形态的转变开始变得可能。这一点从匹配问题解决过程中可以比较明确地看出来，以至于有人提出通过博弈论方法的应用将许多经济领域的机制设计统一形成一个所谓“经济工程学”的新兴学科的构想。不管这一富于想象力的创意最终是否能够实现，博弈论在把抽象经济理论变得更加可操作这一点上起着至关重要的作用毋庸置疑的。

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第二章 矩阵对策下均衡与鞍点的存在性

2.1 矩阵对策

博弈论中，用来描述两个人或多个参与人的策略和支付的矩阵。不同参与人的利润或效用就是支付。也称“赢得矩阵”，是指从支付表中抽象出来由损益值组成的矩阵。 设局中人1有个策略i?1,...,m；局中人2有n个策略j=1,...,n。

定义2.1.1：若局中人1选择策略i，局中人2选择策略j，局中人1从局中人2得到的支付是

aij骣a11a12La1n÷?÷ ??÷a21a22La2n÷?÷?÷?÷ ?÷LLLLL÷?÷?÷??am1am2La11÷桫

式(2-1)

对策由该支付矩阵完全决定，所以这种对策称为矩阵对策。见文献[2]。

在这种对策里，局中人1希望支付值因此，矩阵对策完全是对抗性的。

如果局中人1选择他的第1个策略，即i?1，则他至少可以得到支付 到支付

1＃jn，则支付矩阵是

aij越大越好，局中人2则希望付出的

aij越小越好.

1＃jnminaij

一般地，如果局中人1采用他的第i个策略，则他至少可以得

minaij 式(2-2)

aij这就是支付矩阵第i行元素中的最小元素.由于局中人1希望越大越好，因此，他

可以选择i使式(2.2)为最大.这就是说，局中人1可以选择i，使得他得到的支付不少于

1＃im1＃jnmaxminaij 式(2.3)

同样，如果局中人2选择他的第1个策略，即j?1，则他最多失去(输掉) 1＃imaxaijn

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一般地，如果局中人2采用他的第j个策略，则他至多失去 1＃imaxaijn 式(2.4)

aij这是支付矩阵第j列的最大元素.由于局中人2希望越小越好，因此，他可以选择j使式(2.4)为最小.这就是说，局中人2可以选择j，保证他失去的不大于

1＃im1＃jnminmaxaij 式(2.5)

也可以说，如果局中人2处理得当，局中人1得到的支付不会大于(2.5)中的值。并且有

1＃im1＃jnmaxminaij￡minmaxaij 式(2.6)

1＃im1＃jn2.2 鞍点

一个矩阵对策，如果支付矩阵(aij)的元素满足

1＃im1＃jn1＃im1＃jnaijn=v=minmaaijx maxmi 式(2-7)

此时设存在i*和j*，使得v=ai*j*，此时的(i*,j*)成为对策的一个鞍点。

首先，一个矩阵对策如果有鞍点，则可能不只一个。但对于不同的鞍点支付值是相同

3÷÷÷-1-3÷ ÷÷÷34÷0的，且都等于对策的值。例如：对策的支付矩阵是

骣0-1??-2-5 A=?????33桫较容易得到，该矩阵对策的鞍点为a31，a32和a33。其中 a31=a32=a33=v=3。

其次，对于某些离散策略集下未必有均衡与鞍点存在。例如矩阵对策：

骣0e-e÷?÷?÷÷-e0e A=? ?÷?÷?÷?e-e0÷桫其中maxminaij=-e

1＃im1＃jn1＃im1＃jn2.3 混合策略

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在博弈中，一旦每个参与者都在竭力猜测其他参与者的战略选择，而不能通过收益函

数作出最有反映，那么在这类博弈中，因为最有行为是不确定的，所以就不存在纳什均衡。鉴于这种情况，，我们引入混合战略。

定义2.3.1：混合策略：是指参与者以一定的概率去选择某种战略。

这类博弈虽然在一次操作中有输有赢，但这个博弈多次重复进行，可以研究某个战略应赋予多大的概率，能获取最大的期望收益。

定义2.3.2：规范的表述，参与者i的混合战略是在其战略空间Si中战略si的概率分布，

si称为纯战略。

对完全信息静态博弈来说，一个参与者的纯战略是他可以选择的一种特定的行动。一个参与者的混合战略就是规定他以某种概率分布随机去选择不同的行动。

假设Si={si1,si2,...,siK,}，选择战略siK的概率为piK，则有如下分布律。这时，概率分

1且pi1+pi2+...+piK=1，

布(pi1,pi2,...,piK)就是参与者i的一个混合战略，其中0＃pik概率不同就构成参与者不同的混合战略。我们用pi=(pi1,pi2,...,piK)表示基于战略空间Si的任意一个混合战略，正如之前用si表示Si中任意一个纯战略。

设矩阵对策矩阵A=(aij)，其中i=1,...,m，j=1,...,n。设局中人1的混合策略是一组

数xi30，i=1,...,m，满足

?mxi=1

i=1局中人2的一个混合策略是一组数yi30，j=1,...,n，满足

?

nyi=1

j=1设X=(x1,...,xm)和Y=(y1,...,yn)分别是局中人1和2的混合策略。局中人1以概率xi选

用策略i，局中人2以概率yj选用策略j。因此，局中人1选择策略i，局中人2选择策略

j，并且支付为aij的概率是xiyj，每一个支付相应的概率乘以xiyj，对所有的i和所有的j求和，我们就得到局中人1的期望支付

邋i=1mnaijxiyj 式(2-8)

j=17

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足

局中人1希望这个期望支付越大越好，局中人2则相反，希望它越小越好，设Sm是满

xi30，i=1,...,m，?xi=1

i=1m的一切X=(x1,...,xm)的集，如果局中人1选用策略X?Sm，则它的期望支付至少是

min邋Y?Sni=1mnaijxiyj 式(2-9)

j=1这里Sm是满足

yi30，j=1,...,n，?yi=1

j=1n的一切Y=(y1,...,yn)的集。局中人1可以选择X?Sm使式(2.9)为最大，即它可以保证自己能得到的期望支付不小于

maxmin邋X?SmY?Sni=1mnaijxiyj 式(2-10)

j=1mn其中，v1=maxmin邋SnX挝SmY挝i=1mnj=1aijxiyj?minmax邋YSnXSmi=1aijxiyjj=1v2

2.4 混合策略下的均衡与鞍点存在性

定理2.4.1：矩阵对策A=(aij)有鞍点的充要条件是

maxmin邋X?SmY?Sni=1mnj=1aijxiyj和minmax邋Y?SnX?Smi=1mnaijxiyj 式(2-11)

j=1存在且相等。

证明：必要性。(2.11)中二式显然存在。设XAY'有鞍点，并设(X*,Y*)是一个鞍点。这就是说，不等式

*＃X*A*Y XAYXA * Y 式(2-12)

对于一切X?Sm和一切Y?Sn成立。由式(2.12)左边的不等式有

XAYt*￡XAY* maxX?Smt *因而

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XAYx￡X'AY*t 式(2-13) minmaY?SnX?Sm同理，有式(2.12)右边的不等式有

nAY*t X*AY*＃miXY挝SmX?SnYSmmaxXmiAYnt * 式(2-14)

由式(2.13)和式(2.14)得到

XAYxt￡ minmaY挝SmX挝SnXSnYSmmaxXAYmitn 式(2-15)

但已知反方向的不等式成立，因此，

XAYxt= minmaY挝SmX挝SnXSnYSmmaxXAYmitn 式(2-16)

必要性得证。

充分性。设式(2.11)中二式相等，并设

XAYnt= maxmiSmX?SnY挝YSmmXinAYt* 式(2-17) mXAYaxtXAYxt= minmaY?SmX挝SnXSm 式(2-18)

则由最小、最大值的定义，

XAY*￡'XAY* minY?Snt￡maXAYx X*AY*Y?Smt * 式(2-19) * 式(2-20)

由假设，式(2.17)和式(2.18)两式的左边相等，因为式(2.17)，式(2-18)，式(2-19)，式(2-20)

四式中的各项都相等，特别是

XAYt*=XAY* maxY?Smt *因此，对于一切X?Sm有

XAY*t￡X*AY*t 式(2-21)

同理，对于一切Y?Sn有

t￡XAYt* 式(2-22) X*AY*式(2.21)和式(2.22)表明，(X*,Y*)是XAYt的一个鞍点。

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3.1 零和二人无限对策

第三章 连续对策

矩阵对策最简单的推广，就是把每个局中人的策略集从一个有限集换成一个无限集，定义3.1.1：局中人1从区间[0,1]中选择一个数x,局中人2完全独立的从区间[0,1]中选

例如换成一个区间[0,1]中的全体实数。

择一个数y。x和y称为局中人1和2的纯策略。选定x和y后，就确定了对策的一个局，其结果用一个支付函数P(x,y)，局中人2得到支付-P(x,y)，或者说局2付给局中人P(x,y).这种对策称为无限对策。由于局中人1,2得到的支付之和恒为零，所以这种无限对策也是零和二人对策。

例如，局中人1,2互相独立地从[0,1]中分别选择一个实数x和y，支付函数

2,)y=(-x)y P(x这样确定的对策就是定义在正方形0＃x1,0＃y1上的一个零和二人无限对策。

对于局中人1选定的一个固定的x?[0,1]，他至少可以得到支付

0＃y1minP(x,y) 式(3-1)

局中人1希望支付越大越好，因此，他将选择x??0,1?使得上面这个最小值为最大，即

maxminP(x,y) 式(3 .2)

0＃x10＃y1不论局中人2采用什么策略，局中人1至少可以得到支付式((3 . 2) .

同样，对于局中人2选定的一个固定的y?[0,1]，他最多付出

0＃x1 maxP(x,y) 式(3 -3) 局中人2希望支付越小越好，因此，他讲选择y?[0,1]使得上面这个最大值为最小，即 minmaxP(x,y) 式(3-4)

0＃y10＃x1不论局中人1采取什么策略，局中人2最多付出式(3.3),或者说，局中人1得到的支付不会超过式(3.3)。

同矩阵对策的情况一样，下面的不等式必定成立：

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Pn, maxmi(xy)￡0＃x10＃y1＃0yminPmx(xay) , 式(3.5)

10x＃1如果

Pn, maxmi(xy)=0＃x10＃y1＃0yminPmx(xay) , 式(3-6)

10x＃1则存在点(x*,y*)是支付函数P(x,y)或对策的一个鞍点，P(x,y)在鞍点处的值

x,y)* 式(3-7) v=P(*称为对策的值。有

Pn,P(xy*=v*= maxmi(xy)=),0＃x10＃y1＃0y10x＃miPn(xmya , 式(3-8) )x1Pn,P(xy* maxmi(xy)=),=*0＃x10＃y1＃0y10x＃miPn(xmyax , 式(3-9) )

13.2 连续策略

局中人1的一个混合策略是定义在[0,1]上的一个分布函数F(x)：对于每一个x?[0,1]，

是用某种随机的方法选出的数小于或等于x的概率，也就是随机变量的值小于或等于x的概率。 则

11定理3.2.1：设无限对策的支付函数P(x,y)是定义在0＃x1,0＃y1上的连续函数，

v1=maxmin蝌FG00P(x,y)dF(x)dG(y)

和

11 v2=minmax蝌GF00P(x,y)dF(x)dG(y)

存在且相等。

11

定义3.2.1：称支付函数是连续函数的无限对策为连续对策。

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第四章 非合作n人对策

4.1 引言

定义4.1.1：非合作博弈是指一种参与者不可能达成具有约束力的协议的博弈类型，这是一种具有互不相容味道的情形。非合作博弈研究人们在利益相互影响的局势中如何选决策使自己的收益最大，即策略选择问题。

纳什的非合作博弈论是给经济分析的一个抽象的数学框架,它不是经济分析本身。要应用非合作博弈论的方法，经济学家有必要概括和分析市场和其他社会制度的博弈模型。非合作博弈论抽象的一般性意味着能够应用各种类型的模型研究广泛的应用局势。 在纳什之前，价格理论是经济学所能得到的一个一般性分析方法。价格理论分析的力量使经济学家成为实际政策制定方面非常有价值的指导者，其他任何社会科学领域内的学者都不能望其项背。

纳什的非合作博弈论概括应该被看成经济学和社会科学在长期演化中的一个伟大转折点。在亚当?斯密的经典时代，通过在商品配置的向量空间应用价格和数量的线性代数，经济理论首先取得了更高形式分析水平的精确性，这种数学方法反过来鼓励经济学家把研究领域局限在物质商品。

前两章讨论的都是由两个局中人参加的对策，并且都是零和对策。零和的意义就是说，双方的利害关系是对抗性的：有利于一个局中人，必然不利于另一个局中人。每个局中人寻求一个对自己一方最有利的策略，这个策略必然也是对另一方损害最大的策略。

我们现在要转而讨论人对策，就是n有n个局中人参加的对策，n人对策(n32)又可以分为非合作对策和合作对策。所谓非合作对策，顾名思义，就是局中人之间互不合作，对于策略的选择不容许在事先有任何交换、传递信息的行为，不许可订立任何强制性的约定。每个局中人的目标也是希望自己得到尽可能多的支付，寻求一个对自己尽可能最有利的策略。在一个非合作n人对策中，有利于一个局中人的，并不一定不利于其他局中人。即使是一个非合作二人对策，两个局中人的利害关系也可能不是绝对对抗性的.当然，这时对策不再是零和的，因为零和必然是对抗性的。

4.2 多维博弈及特征 4.2.1多维博弈

当局中人在多个方面或多个领域内同时进行博弈，且博弈的各个方面或领域之间可能

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存在着一定的相互联系和影响。如两个国家(或多个国家)同时在经济、科技和军事领域内竞争和对抗；两个企业(或多个企业)同时进行多种产品的价格(或产量)博弈，且产品之间存在着一定的相互的影响(或替代性)；两个企业(或多个企业)关于某一种产品同时在广告中投入、服务投入和价格方面进行博弈；等等。

定义4.2.1：在现实社会中，这类在多个方面或多个领域内同时进行的博弈称为多维博弈。

4.2.2特征

假设有n个局中人在m个领域内（或在m个方面）同时进行多维博弈，那么，其具体的特征可以描述为：

(1) 在博弈的每个阶段，局中人i选择一个m(m32)维行动向量

.).，下标.,i表示第i个局中人，m表示博弈领域数，也(si1,si2,...,sim)(i=1,2,n是参与人选择的行动向量的位数；n表示局中人数；sij和sik(j1k)分别是参与人i和j领域内和k领域内的行动，且行动sij和sik可能存在着一定的相互联系或影响，即在一个领域内所选择的行动可能影响到其他领域内行动的选择。 (2) 在博弈的每个阶段，第i局中人的总支付函数不仅是自己所选择的m维行动向

量(si1,si2,...,sim)的函数，也是其他参与人所选择的m维行动向量(si1,si2,...,sim)的函数，即

Ui=Ui{(s11,s12,...,s1m),...,(si1,si2,...,sim),...,(sn1,sn2,...,snm)}

当m=1时，上述所定义的多维博弈退化为一维博弈，也就是目前在应用研究中最多的博弈问题。

4.3 多维均衡

多维均衡就是指在多维博弈中的所有参与人的最优战略组合，一般记为

*(,i.s..1i,s2,...s, s*={(s)11,s12m1,).,ism,..(n1s*,ns.2..),}sm ,n,...,*其中，(si1,si2,...,sim)*是第i个局中人的所有可能的战略中使Ui或EUi最大化的战略。如果用s-i表示除第i个局中人的其他所有局中人的战略组合

,) {(s11,s1,2...sm1,.-is..,1,-is(1,1,2-is,).m.(.,1,+si13

,+ss...,1,sns,n.).}.1 ,sn2)i1,1,1+i,2,m(m,,...,那么第i个局中人的的最优战略

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s*=(si1,si2,...,sim)*

*,-si)3满足 U(sUi(i-s,)si \si si*

多维均衡意味着对所有局中人，上式同时成立。见文献[9]。

4.4 纳什均衡

对于数学家来说，一个数学概念的存在性与唯一性是特别需要加以关注的。这是因为，从形式逻辑角度看，如果某个事物并不存在，那么关于这个杜撰中的事物所给出的任何陈述或判断都可认为是正确的或错误的，因为对于不存在的事物来说，任何关于它的陈述或判断都不可能加以证伪。所以，倘若某个概念所对应的事物并不存在。那么，关于这个概念所给出的研究结论都必然不存在被证伪的可能。因而根据波普尔的证伪主义观点，这样的研究不具备科学上的意义。所以，我们在对任何新提出来的数学概念加以系统研究之前，首先需要弄清楚所研究的对象事物是否存在。

有许多被称为伪科学的东西，它们之所以被人们认为是“伪科学”的原因就是它们大肆谈论的东西并不存在或并未被证实其存在性。譬如，所谓的特异功能或“超灵学”并未得到证实，而UFO研究迷们至今也未能拿出一件存在球外生命的证据，所以，特异功能学或“超灵学”或“不明飞行物学”实际上都可被归入伪科学。除了存在性之外，概念事物的唯一性也是数学家们所关心的问题。从纯理论的兴趣上看，数学家们更多地是从审美的角度上看待概念的唯一性，但从波普尔的证伪主义哲学看，模型均衡解的唯一性关系到模型的预测功能，从而是科学理论应基本具有的特征。一个自然的推论就是：模型能否具有科学意义取决于纳什均衡的唯一性。因为倘若纳什均衡不是唯一的，那么就难以根据模型对即将出现的结果加以预测，这种不确定性对于科学理论来说是不存在的。再加上前面谈到的存在性问题，我们可以这样说，模型能否具有科学意义取决于纳什均衡的存在性和唯一性，因为这正是科学理论所具有的基本性质。

博弈论目前发展的情况是这样的：已经证明在非常一般的情况下，纳什均衡是存在的，这是一个好的结果；但是，在许多情形，模型的纳什均衡解不是唯一的，这被称为纳什均衡的多重性问题。

纳什在1950年代证明了纳什均衡的存在性定理，为非合作博弈打下了重要基础。纳什的工作不仅解决了存在性问题，而且还为其后的博弈论研究提供了一整套方法论工具，即运用不动点定理这一强有力的数学工具进行博弈论数学分析这对后来的博弈论甚至数理经济学的发展产生了很大的影响。纳什均衡的多重性问题至今仍是困扰博弈论学者的一个主要问题。为了攻克这一问题，博弈论专家已经做出了许多贡献，如聚点均衡、相关均衡，子博弈精炼纳什均衡，颤抖手均衡，序贯均衡等概念的提出。但不幸的是，这类努力还未使得多重均衡问题完全得到解决，许多博弈论专家正在这一领域进行着不懈的工作。

本章将给出纳什均衡的存在性定理和讨论存在多重均衡情况下的均衡选择问题。

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4.5纳什均衡的存在性定理

自从纳什首先给出存在性定理及其证明之后，许多学者又相继提出了不同表述下的存在性定理和不同的证明方法。这里，我们介绍Myerson给出的存在性定理和证明。

4.5.1 纳什均衡与不动点定理

1、关于不定点的定理

所有的存在性定理证明都采用了不动点定理，这是因为，纳什均衡的概念在数学上就是一个不动点的概念。在给出存在性定理及其证明之前，我们先来说明不动点的概念和给出不动点定理。

定义4.5.1：设集值映射j:X?X，称点x?X是j的不动点，如果x?j(x)。特别地，当j:X?X是通常的映射，则有x?j(x)。

定理4.5.1：(Brouwer,1910)设XDRn是凸紧集，映射f:X?X是连续的，则映射f有不动点，即存在x?X，使得f(x)=x。见文献[8]

定理是说，如果连续映射f映凸紧集到自身，则必映其中某点x到自身。一般地，我们可以将所有的方程都写为如下形式：

y(x)=0 (4.1)

在式(4.1)两端加上一个x，则变为y(x)+x=x。令f(x)=y(x)+x则有

f(x)=x

所以，一般地，方程求解的问题本质上是寻找变换的不动点问题。

对于这样一种非常一般地的问题，数学家们感到十分高兴的是居然在不太严格的条件下式(4.1)存在解，即不动点是较为广泛地存在的。

譬如，图4.1表明不动点是曲线f(×)与45o线的交点。当函数f(x)定义在x??0,1?区间上且因变量y=f(x)的值域也为[0,1]区间时，如果f(x)是连续的，则必然存在不动点。

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图4.1 [0,1]区间上的自变换函数的不动点

f(x)

1 x* 不动点 f(x)

2、Kakutani定理

0 45o x*

x 1

10080定义4.5.2：设向量v1,...,vr危Rn(rn)，且v1,v2,...,vr是线性无关的，则v1,v2,...,vr生40201r60第一季度第二季度第三季度三角形，3维单纯形是四面体。 任给x?S，总有 x=邋av,iii=1rrai=1,i=1ai 0

而且表示法唯一。称v1,v2,...,vr是S的顶点，称点集S。

禳镲Sj=镲x?S|x睚镲镲铪邋av,aiii=1rrj=0,i=1ai=1,ai 0

为单纯形S的一个端面（与顶点vj相对），它相当于以v1,...,vj-1,vj+1,...,vr为顶点的凸包。

以e1,...,en为顶点的单纯形S称为单纯形。如果x?S，则 x=其中

ai?0,?aii=1n?raiei=(a1,a2,...,an)

i=11

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第四季度成的凸包S被称为r-1维单纯形，并记S=v,...,v。1维单纯形是直线段，2维单纯形是0东部西部北部南京邮电大学2010届本科生毕业设计（论文）

定义4.5.3：设S是一单纯形，一族单纯形S1,S2,...,SkDS称为S的单纯形部分，如果满足下列条件：S=USi；Si?Sji=1k ，或者Si与Sj相交于顶点，或者相交于一个端面

(i1j)。

通常称Si为S的单纯形剖分的一个胞径腔，并记的直径为Si。可见，单纯形剖分是把原单纯形分割成一些小单纯形，一个胞腔的端面不能严格地含于另一个胞腔的端面内部。

定理4.5.2（Kakutani，1941）：设SDRn是单纯形，集值映射j:S?2S取值非空凸闭集，而且是上半连续的，则j有不动点，即存在x?S，使得x?j(x)。

证明：对单纯形S作一系列细剖分：D1,D2,...,并要求剖分的胞腔直径趋于零。对于剖分Dm，定义单值映射jm:S?S如下：

m当x?S是某小胞腔的顶点，则任取y?j(x)作为j在作为x点的值，即jm(x)=y。

当x?S是某个小胞腔的内点，则把包含x在内的胞腔的n+1哥顶点的函数值的线性插值

jm在x点的值，具体地说，如果含x的胞腔的顶点是x,x,...,x，于是，x=n12n?naxi，其

i=0中，?ai=1,ai 0，则ji=0m(x)=?naijm(xi)，此处j(x)已知前确定。

mii=1m注意，当x位于两个胞腔的交面上时，则依两个胞腔所定义的j组合表达式是唯一的。

j显然，

m值是相等的，因为x的凸

:S?S是连续映射，由Brouwer不动点定理，存在xm?S，使得xm=jm (xm)。

m设xm所在的胞腔以v1m,...,vn为顶点，则

xm=am1vm1+...+amnvmn xm=jnm(xm)=am1ym1+...+amnymn

m其中ami30，?ai=1,ymi ji=0由于S是凸紧集，j(vmi)，

取值也是凸紧集，一句Weierstras

聚点原理，可选子序列{mk}r不妨就设mk=m，使得

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xmx,amimiai,y?yi,i1,2,.., .n当m时，剖分加细，因此，xm所在的胞腔的顶点都收缩到x，即

vmi?x， i=1,2,...n ,又因为jx=1是上半连续的，所以yi?j(x)，i=1,2,...,n。注意，

n1ay+...+anyi,?aa0?i=0n,i，而且j1(x)是凸集，故必有x?j(x)定理证完。

Kakutani不动点定理说的是对于有限维向量空间中任一非空有界闭凸子集上的上半连续自对应来说，在一定条件下都至少存在一个不动点。数理经济学家Scarf曾通过一种计算不动点的算法而提供了一个构造性证明，其中不动点的存在性是由这个定理所保证的。

Kakutani定理的一般形式如下：

定理4.5.3：设XDRn为凸紧集，集值映射j:X?2X取值非空凸闭集，而且是上半连续的，则j有不动点。

证明：因为X是有界集合，故可嵌入到某单纯形S内，即XDS。定义映射T:S?X如下：

当x?X,T(x)x。

x?X当x?X，但x?S，设点y是X中距离点x最近的点，即有y-x=minx-z，由于X是凸紧集，故如此的y存在且唯一。令T(x)=y。

不难验证，T是连续映射，再定义集值映射：

y:S?2S，y(x)=j(T(x))

则y取值非空凸闭集，且是上半连续的。事实上，如果xn?x0，yn?y(xn)，yn?y0，

0则由映射T的连续性，有T(xn)?T(x)。于是，再由集值映射j的上半连续性，

y0?j(T(x0))y(x0)，根据定理，y有不动点，使得

x?y(x)j()x(T)

注意，j的值域含在集合X之中，所以x?X，根据T的定义，有T(x)=x，于是，

x?j(x)，定理证完。

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利用集值映射的不动点定理，我们可以证明前节所述的多人对策的均衡局势的存在性。

数学家Brouwer在很久以前就注意到这一现象，他得出了如下的一般性定理，即著名的Brouwer不动点定理。

定理4.5.4：(Brouwer不动点定理)设f(x)是定义在集合X?Rn上的实函数，且

f(x)?X，如果f(x)是连续的，则至少存在一个x*?X\x X。C为一非空的有界凸闭集，

使f(x*)=x*。即f(x)至少存在一个不动点。见文献[8]

有意思的是，Brouwer不动点定理存在很强的几何直观[2]，但其数学证明却十分艰深，需要动用代数拓扑这类就是职业数学家也感到望而生畏的超级抽象数学工具。在此，我们不给出Brouwer不动点定理的证明。

我们所以要引用Kakutani不动点定理，是因为在纳什均衡存在性证明中所遇到的反应函数一般是多个因变量函数，即所谓对应，而角谷静夫不动点定理正好描述的是对应的一种性质。Kakutani不动点定理是Brouwer不动点定理的推广，但其自身的证明要用到Brouwer不动点定理。我们在这里不打算给出这两个不动点定理的证明，因为这类证明只是一种纯数学过程，但我们将给出纳什存在性定理的一种证明，因为了解存在性定理的证明过程有助于我们更好地理解纳什均衡。

为了解读Kakutani不动点定理，我们先来准备一下一些有关的数学概念。

对于任一有限集M，我们用RM表示形如x=(xm)m?M的所有向量组成的集合，其中对

M中每一个m，第m个分量xm是实数域R的一个元素。为方便计，我们也可将RM等价地理解为M到R上的所有函数组成的集合，这时RM中x的m分量xm也可被记为x(m)。 令S是RM中的一个子集，我们有如下定义：

定理4.5.5： S是凸的当且仅当对任意的x?RM,y?RM及满足0＃lx?S和y?S，则有

lx+(1-l)y S

1的l，只要

这里，x=(xm)m挝M,y=(ym)mM,lx+(1-l)y=(lxm+(1-l)ym),m M

定义4.5.4：S是闭的当且仅当对每个收敛的序列x(j)x(j)?S，则有limx(j)?S。

j{}j=1，如果对每个j都有

￥定义4.5.5：RM中的子集S是开的当且仅当它的补集RM\\S是闭的。

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定义4.5.6：S是有界的当且仅当存在某个正数K使得对S中的每个元素x都有

m?M?xm￡K。

定义4.5.7：一个点到集合的“对应” G:X?2Y是任何一个规定了对X中的每个点x，

G(x)是与x相对应的Y中的一个子集。

如果X和Y都是度量空间，则X和Y上的收敛和极限概念已经定义，这时有： 定义4.5.8：一个对应G:X?2Y是上半连续的，当且仅当对每个序列{x(j),y(j)}j=1，如果对于每个j有x(j)?X和y(j)?G(x(j))，而且序列{x(j)}j=1收敛于某个点x?X，又序列{y(j)}j=1收敛于某个点y?Y，则有y?G(x)。

定义

4.5.9：对应G:X?2Y是上半连续的当且仅当集合

G(x)}是集合X?Y中的一个闭子集。

G(x)}檀XY。设zj=(x(j),y(j))为A中1,2,?.

￥￥￥graphG={(x,y)x挝X,y证明：必要性。记集合A={(x,y)x挝X,y一收敛序列，其中x?j??X,y(j)?G(x(j)),j由上半连续性知limy(j)?Glimx(j)显然有limx(j)?X，故limzj?A，所以A为

jjj()jX?Y中一闭子集。

充分性。假设A为X?Y上的一个闭子集。

如果序列{x(j),y(j)}j=1中每个x?j?和y?j?都有x(j)?X，y(j)?G(x(j))且{x(j)}j=1收敛于x和{y(j)}j=1收敛于y，则zj=(x(j),y(j))收敛于(x,y)。

由A的闭性知(x,y)?A，即y?G(x)故G为上半连续。 证毕.

上半连续性是我们熟知的连续函数概念的一种推广，而函数的连续性比上半连续性要强一些，于是有

定理4.5.6：如果y:X?Y是一个从X到Y的连续函数，且对X中的每一个x都有

G(x)=￥￥￥{y(x)}，那么G:X?Y是一个点到集的上半连续对应。

￥￥证明：设序列{x(j),y(j)}j=1，且对每个j有x?j??X和y(j)?G(x(j))，{x(j)}j=1收

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敛于x，{y(j)}j=1收敛于y。由y的连续性知y=y(x)故y?G(x)。于是G是上半连续的。

下面，我们将不动点概念扩充到对应的情形。

定义4.5.10：一个对应F:S?2S的一个不动点是S中任一满足x?F(x)的x。 Kakutani定理得出如下被广泛应用的一个重要定理。

￥4.5.2 纳什存在性定理及其证明

下面，我们来证明纳什存在性定理，该定理最早由纳什得出，这里的证明由Myerson给出。

定理4.5.8(Nash , 1950). 任何一个战略式表述的有限博弈都至少存在一个混合博弈纳什均衡。见文献[28]

证明：令?是任—战略式表述有限博弈，即

G={S1?Sn;u1?,un}

显然，S=?Si=1ni是一个有限维向量空间的一个非空有界闭凸子集(注意?是有限博弈，

即局中人数和每个Si中的元素个数都是有限数。

任给s蜸和任一局中人i，令

Ri(s-i)=argmaxVi(si,s-i)

si五i即Ri(s-i)是局中人i在Si中对其余局中人独立混合战略组合s-i的最优反应混合战略。 根据定理，Ri(s-i)是Si上所有的概率分布?i组成的集，且使得对每一个满足

Si?argmaxVi(si,s-i)的Si有si(si)=0，由定理3.2的证明过程知道，

si?SiVi(si,s-i)=任给si挝Ri(s-i),si'?sikVi(sik,s-i)

kRi(s-i),l [0,1],令

si''=lsi+(1+l)si

显然si''五i，

Vi(si'',s-i)= =l?''sikVi(Sik,s-i)

k邋skV(-l)ikis,isk-)+i(1k s'V(s,-)iskiiki?s-l)V(s,i-) i ?lvi(s?i,s-)(1ii21

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=Vi(s?i,s-i),\s?i Ri(s-i)

故si''?Ri(s-i)，所以Ri(s-i)是凸的。 根据Vi(si,s-i)=?sikVi(sik,s-i)，因为Si是有限集，故存在某个k使

RVi(sik,s-i)=max轾Vi(sil,s-i)，即argmax Vi(si,s-i)是非空的。令sik=1,sil=0,l k，则 臌lVi(si,s-i)=maxVi(si,s-i)，即si?Ri(s-i)，故Ri(s-i)非空。

si五i下面构造对应R，它将?中的点映射于?中的子集，满足：

R(s)=?R(sii=1n-i),s蜸

由于对每一个i=1,?,n，Ri(s-i)都是非空闭凸集，显然R???也是非空闭凸集。下面我们来证明R是上半连续的。

假设{sk}￥k=1和{tk}k=1都是收敛序列

sk蜸, tk R(sk)，k=1,2,?n

￥且s=limsk,t=limtk。

kk为了证明R是上半连续的，我们将需要证明t?R(s)。 因为有：

Vi(tik,s-ki)?Vi(si,s-ki),si蜸i，k=1,2,?n

显然期望效用函数Vi是?上的连续函数，故有

Vi(ti,s-i)?Vi(si,s-i),si五i

因此，对于每一个i有ti?Ri(s-i),故

t?R(s)。

所以R是S到自身上的一个上半连续对应。

根据Kakutani定理，存在?中的某个混合战略组合?使s?R(s)，即对于每一个i有

si?Ri(s-i)，因此?就是G的一个（混合）纳什均衡。证毕！

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4.5.3 其它的纳什均衡存在性定理

在纳什存在性定理中，我们只谈及到包括混合战略均衡在内的纳什均衡存在性问题，除此之外，我们自然会对纯战略纳什均衡的存在性感到特别的兴趣。另外，许多博弈不一定是有限博弈，一些常见的博弈的纯战略空间通常都是无限集。在纳什定理之后，其他研究者还得到许多进一步的结果，这些结果中与上述问题相关的有如下几个定理。

定理4.5.8 (Debreu, 1952; clicksberg, 1952, Fan, 1952)在n人战略式表述博弈

G={S,?,Sn;u1,?,un}中，如果纯战略空间Si是欧氏空间上的非空有界闭凸子集，支付函

数ui是连续的且对Si是拟凹的(i=1,?n)，则G存在一个纯战略纳什均衡。见文献[2]。

一般地，当函数f(x)满足下述性质时，我们称其为凹的：

f(lx1+(1-l)x2)?lf(x1)(1-l)f(x2),l挝[0,1] x1,x2Rn

如果当l?(0,1)时上面的不等式严格成立，则称f(x)为严格凹的。一个函数f(x)是凸的当且仅定函数?f?x?是凹的；f(x)为严格凸函数当且仅当?f?x?为严格凹函数。 拟凹函数是凹函数概念的一种推广，它包括了凹函数在内的一大类函数，而这类函数在经济学中有着广泛应用，关于拟凹函数的定义如下：

定义4.5.9：函数f(x)定义在Rn中的子集D上，当且仅当f?x?满足如下性质时，f(x)是拟凹的：

f(lx1+(1-l)x2) min(f(x1),f(x2)) l?[0,1]

显然，凹函数是拟凹的，但反过来并不成立，即拟凹函数不一定是凹函数。 在上章中，函数f(x)是拟凹的，但不是凹的。

图4.2 不是凹函数的拟凹函数

y f(x)

0

x1

x2

x 在定理4.5.7中，与定理4.5.6相比，我们增强了对支付函数ui性质的假设，于是获得更进一步的结论，即保证了存在的纳什均衡还是纯战略博弈纳什均衡。在有限博弈场合，即使纯战略空间可能是非凸的，支付函数也可能是非连续的，但混合战略空间是欧氏空间上的非空有界闭凸集，期望支付函数是连续的，拟凹的。当纯战略空间本身是欧氏空间上一个非空的，闭的，有界的凸集且支付函数在纯战略空间上是连续的，拟凹的时，就没有必要引入混合战略了。

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如果放松定理4.5.7中关于支付函数的拟凹性假设，则只能保证混合战略均衡的存在性，这就是下面的定理4.5.8。见文献[20]

4.6 抽象非合作博奕系统的纳什均衡

4.6.1. Banach空间框架下的n重对策：一些概念与定义

设N??1,2,?,n?是n个局中人的集合，Ui(i?1,2,?,n)是n个实Banach空间。 (i) 为了考虑带支付的n重对策，进一步假设：

(1) 对于每个局中人i?N(i?1,2,?,n)，对应有一个策略集Xi?Ui(i?1,2,?,n). (2) 记X?X??Xi是该n个局中人所有多重策略x?(x1,x2,?,xn)的集合。

nNi?1n(3) X(N)?XN是n个局中人都认可的多重策略x的集合，称为允许策略集合。 (4) R??R是对应于n个局中人的n重支付空间。

Ni?1n(5) F:X(N)?Rn:x?F(x)??f1(x),f2(x),?,fn(x)??Rn是对应于n个局中人的n重支付算子，其中，fi:X(N)?R是第i个局中人对于允许策略集合X(N)的支付函数。

定义4.6.1. (i) 由如上允许策略集合X(N)与n重支付算子F组成的序偶(X(N),F)称为（在Banach空间框架下的）一个带支付算子的n重对策（或n重博弈）。

注4.6.1: 对于一个n重对策(X(N),F)，有两种重要的特殊情形: (a): X(N)?XN;

(b): 对于每个i?1,2,?,n，fi仅依赖于Xi，即fi是从Xi到R的函数。

定义4.6.2. 称一个n重对策(X(N),F)是下有界的，如果对于任意的i?1,2,?,n，第

i局中人的极小支付满足：

?i?inffi(x)???(i?1,2,?,n).

x?X(N)而??(?1,?2,?,?n)则称为该对策的影子极小向量。

注4.6.2: 这一定义体现每一个局中人希望支付有限的思想。易见，一个n重对策

(X(N),F)是下有界的当且仅当：

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n)???R . F(X(N)???N?i，称之为对第i个局中人的联合对手。于是可记 为方便，引入记号如下。记iXi??Xj?X1???Xi?1?Xi?1???Xn,XN?Xi?Xi(i?1,2,?,n).

j?i??定义4.6.3. (1) 定义两个投影算子?i:XN?Xi与?i:XN?Xi为

ii,x?)XN? ?x?(x???X?i?iiiX?,?x?x,i?ix . x

??(2) 称

fi#(xi)?supfi(x)

x?X(N)?ix?xi为策略xi?Xi被执行时，第i个局中人的最糟糕支付。记

#ivi#?inff(x)（这是第i个局中人的最佳最糟支付） iiix?X并称如下的向量

##v#?(v1#,v2,?,vn)

为对策(X(N),F)的保守值，任何满足

?i?N,fi#(x#i)?v#i

的策略x#?X(N)称为该对策(X(N),F)一个保守策略。

##,?,vn)具有一种警戒作用：注4.6.3. 保守值v#?(v1#,v2任何一个多重策略x?X(N)若

导致支付fi(x)?vi#, 则第i个局中人将拒绝这个策略。换言之，一个多重策略x?X(N)能被所有局中人都接受当且仅当?i?N,fi(x)?vi#.因此，被所有局中人都接受的多重策略的集合就是?x?X(N)|F(x)?v#?.

对于一个n重对策(X(N),F)，非合作均衡是比存在保守策略更有意义的概念：当一个联合选择xi被执行时，局中人i能有一个策略xi达到函数yi?fi(yi,xi)的极小解，即：

fi(xi,xi)?fib(x)??inffi(y). 式(4-1)

y?X(N)??????iy?xi这是第i个局中人能够接受的条件。如果如上的结果对于每个i?N都能成立，那么这个多

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重策略x?X(N)就是获得所有局中人的认同，这就引出

定义4.6.4. 称一个多重策略x?X(N)是对策(X(N),F)的一个非合作均衡（或称为一个Nash均衡），如果

?i?1,2,?,n,fi(x)?minfi(y). 式(4-2)

y?X(N)???iy?xi记Fb(x)?(f1b(x),f2b(x),?,fnb(x))，其中fib(x)??inffi(y)(见式(4-1))，则

y?X(N)???iy?xi一个Nash均衡x?X(N)就是如下的方程

b(x?) 0 F(x)?F

在X(N)中的解x。

(ii) 若将(i)中的(5)改为：

(5)? G:X(N)?Rn:x?G(x)??g1(x),g2(x),?,gn(x)??Rn是对应于n个局中人的n重收

益算子，其中，gi:X(N)?R是第i个局中人对于允许策略集合X(N)的收益函数, 则有 定义4.6.5. 称(X(N),G)称为(在Banach空间框架下的)一个带收益算子的n重对策（或n重

??X(N)是对策(X(N),G)的一个非合作均衡（或称为一个Nash均衡）博弈）。并称x，如果

?i?1,2,?,n,gi(x)?maxgi(y). 式(4-3)

y?X(N)???i?iy?x4.6.2.带支付(收益)的纳什均衡的存在性定理

定理4.6.1. 设带支付的n重对策(X(N),F)满足： (i) (ii) (iii)

?i?N,Xi是Ui的闭凸子集， 式(4-4) X(N)是Xn的一个凸紧子集；?i?N,fi:X(N)?R连续； 式(4-5) ?i?N,?xi?Xi,fi(?,xi)是Xi上的凸函数。 式(4-6)

???则必存在一个Nash均衡x?X(N)。

为了证明这个定理，我们需要如下的已知结果： 引理4.6.1.（Ky-Fan不等式）设

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(i) X是Banach空间U的一个凸紧子集； (ii) 函数f:X?X?R满足：

(a) ?y?X,x?f(x,y)是下半连续的， (b) ?x?X,y?f(x,y)是拟凹的， (c) supf(y,y)?0.

y?X则存在x?X使得。参见文献[22]

证明：定义函数?(?,?):X(N)?X(N)?R如下：

?fix?fi(yi)xi??( , ) . ?(x,y?)XN(?)XN(?),xy(?,)???i?1n我们来验证如上Ky-Fan定理的条件成立。

(i) 因为U(i?N)是Banach空间，故?Ui是Banach空间，Xn是闭凸子集，故由条件(4-4)

ini?1知X(N)是?Ui的凸紧子集。

i?1n(ii)(a) 又由条件(4-6)知：

?ii?y?X(N),x??(x,y)???f(x)?f(y,x)?ii??是连续的，因此也是下半连续的。

i?1n(b) 又由条件(4.6.6), ?x?X(N),y??fi(yi,xi)是凹的，从而

?ii?x?X(N),y??(x,y)???f(x)?f(y,x)?i?i?是凹的，因此也是拟凹的。

i?1n??iif(y)?f(y,y)?(c) ?y?X(N),?(y,y)???ii???0。

i?1n故由引理4.6.1知存在x?X(N),并利用式(4-7), 有

sup?(x,y)?0,i.e.,supy?X(N)??y?X(N)i?1????f(x)?f(y,x)??0. 式（4-7）

iiin?i取y?X(N)满足?iy?xi.则有?iy?yi,而当j?i时, yj?xj.于是由(4.6.7)可得

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?ii????fj(x)?fj(yj,x?j)?0???f(x)?f(y,x)ii??j?1??i?1nn??(fj(x)?fj(xi,xi))?(fi(x)?fi(yi,xi))j?i??

?fi(x)?fi(yi,xi).?故得fi(x)?inffi(y). 最后由i?N的任意性可知x就是(X(N),F)的一个Nash均衡。证

y?X(N)???iy?xi毕。

对于带收益的n重对策(X(N),G)，我们有 定理4.6.2. 设带收益的n重对策(X(N),G)满足：

(i) ?i?N,Xi是Ui的闭凸子集，X(N)是Xn的一个凸紧子集； 式（4-8） (ii) ?i?N,gi:X(N)?R连续； 式（4-9） (iii) ?i?N,?xi?Xi,gi(?,xi)是Xi上的凹函数。 式（4-10）

??X(N)。 则必存在一个Nash均衡x???证明：定义函数?(?,?):X(N)?X(N)?R如下：

?giyixi?(?g,ix)? ( ?(x,y? ) . 式（4-11） )XN(?)XN(?)x,y(?,?)??i?1n我们来验证如上Ky-Fan定理的条件成立。

(i) 如定理4.6.1证明并用可知X(N)是?Ui的凸紧子集。

i?1n(ii)(a) 又由条件(4.6.9)知：

?ii?y?X(N),x??(x,y)???g(y,x)?gi(x)??i?是连续的，因此也是下半连续的。

i?1n(b) 又由条件(4.6.6), ?x?X(N),y?gi(yi,xi)是凹的，从而

?ii?x?X(N),y??(x,y)???g(y,x)?gi(x)?i??是凹的，因此也是拟凹的。

i?1n??iig(y,y)?gi(y)?(c) ?y?X(N),?(y,y)????i??0。

i?1n28

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??X(N),并利用(4-11), 有 故由引理4.6.1知存在x?,y)?0,i.e.,supsup?(xy?X(N)???ii???)??0. 式（4-12） g(y,x)?gi(x?i??y?X(N)i?1n?j.于是由(4-12)可得 ?i.则有?iy?yi,而当j?i时, yj?x取y?X(N)满足?iy?x?jj??????)?0???g(y,x)?g(x)?g(y,x)?gj(x?iij????ii?1j?1n?in?i,x?i)?gj(x?))?(gi(yi,x?i)?gi(x?))??(gj(xj?i??

?i)?gi(x?).?gi(yi,x??)?maxgi(y). 最后由i?N的任意性可知x?就是(X(N),G)的一个Nash均衡。 故得gi(xy?X(N)???i?iy?x证毕。

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第五章 纳什均衡在经济系统中的应用

5.1引言

博弈论在西方经济学及经济事件中已得到广泛应用，显然我国经济理论研究引入博弈论理论和研究方法，对于利用新的科学方法和科学成果推动我国经济学的发展，为我国经济建设和经济改革提供必要的理论指导，具有重要意义。

经济学在为现实经济提供理论指导的同时其自身也要不断发展，凯恩斯以后的西方经济学，在战后已经发展起了一个新的体系，即以研究市场经济运行对象的宏观经济学和微观经济学。在改革之前，我国经济研究元素以生产关系为研究对象的政治经济学，主要探讨社会注意经济制度下不断完善的途径，并不研究经济运行的过程，在当时计划经济体制下人们对经济活动的关心也主要局限在对政府行为的理解和落实上，在忽视经济主体在资源配置问题上的矛盾和博弈。我国在确立社会主义市场经济目标以后，重塑经济主体、转变经济主体职能、增强各经济主体的活力，是重要的任务。博弈论分析我国转型时期宏微观经济运行的重要工具，因为在我国社会主义市场经济中，经济主体存在着信息的不完全、信息不对称等现实情况，人（政府、企业中的决策者及社会个人）都有自己的效用函数，对信息的加工能力也是有限的，各经济主体之间的选择存在着许多相互依赖关系。

我国市场经济运行中，政府制定什么政策会收到什么效果，可以通过构建博弈模型进

行研究，考虑博弈中各主体的效用函数等，研究不同博弈规则下的均衡。在转型时期政府的许多政策并不能采取指令性规定强制实施，只能依靠宏观调控的手段进行，因此，政府在制定政策时必须考虑政策实施的效果，要研究博弈主体决策行为的相互依赖和相互影响，考虑经济主体的预期以及所获信息对博弈均衡的制约和影响。个人的各项的经济决策，要考虑到社会经济活动中其他相关主题的影响。企业作为生产者，目标是利润极大化。从这个目标出发，它对投入、产出的种类和数量进行选择，对自己的收入转化为积累与个人的收入分配比例进行选择，这个过程是一个博弈决策的过程。经济体制改革改变了政府全面控制整个经济活动的局面，企业和个人在经济活动中的独立性与能动性日益增强，研究各经济主体在经济活动中的博弈和均衡是研究经济运行机制和规律的重要内容，而专门研究相互依赖、相互影响的理性决策行为的博弈论方法，为政府利用经济理论分析政策问题提供了一种有效的手段。信息经济学是不对称的信息博弈论在经济学上的应用，即研究在给定信息结构的条件下，进行最优的契约安排。我国经济转型时期的许多工作需要信息经济学的理论。信息经济学中信息的不对陈包括不对称发生的时间和不对称信息的内容。

5.2 经济均衡的存在性

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我们来考虑完全竞争的市场，假设：

1) 有大量的买主和卖主，他们都是价格的接受者； 2) 任何个体的购销行为对市场价格都不产生影响； 3) 不同卖主所持有的同种商品是同质的。

1. 纯交易经济

l设有经纪人集合为I=(1,2,...,n)，商品空间为R+，对于每个经纪人i?I，他的消费集l合为XiDR+，他的偏好为￡i，表现偏好的效用函数为ui:Xi?R。他的初始占有为lwi?R+，这样便构成了经济系统E={Xi, i,wi}i?I。

l假设这个经济系统是在完全竞争的市场机制下运行，在某价格p?R+之下，经纪人交

l易商品，实现商品的再分配，第i个经纪人获得商品束xi?R+。n元商品束组

(x1,x2,...,xn)?nlR+被称为经济系统E的一个配置。如果

x?邋xi=1nini=1 wi w 式（5-1）

如此的n元组(x1,x2,...,xn)被称为经济系统的可达配置。

nl定义5.2.1：经济系统E的均衡是配置和价格组合(x1,x2,...,xn,p)未R+lR+，满足如下

条件：

(1) 对于每个i?I，xi?Bi(p,wi)；

(2) 对于每个i?I，ui(x)￡ui(xi)，\x Bi(x,wi)； (3)

邋xi=1nin=i=1wi

其中Bi(p,wi)是经纪人i的预算集合，p和(x1,x2,...,xn)分别被称为经济E的均衡价格和均衡配置。

这个定义表明，在均衡价格p之下，商品束xi是经纪人i在自身财力允许的情况下的最

满意的选择，同时使市场的攻击总量(w)与需求量(x)相等。 先引入一个较弱的均衡概念。

nl定义5.2.2：称(x1,x2,...,xn,p)未R+lR+为经济系统E的自由处理均衡，如果它满足5.2.1

中的条件(1)和(2)，而且还满足条件

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(3)'

邋xi=1nin￡i=1w，且pg邋x=pgi-ni-ni=1wi 式(5-1)

i=1均衡与自由处理均衡的差别在于，前者要求工序总量相等，而后者只要求需求总量不超过供给总量。且价格总量相等。

可以把上述的经济系统E纳入到社会系统的框架内加以考察。我们已对经纪人的行为准则有了确切的描写，还需要研究价格机制，供给总量(w)与需求总量(x)的关系决定了价格p的涨跌，在价格p之下，如果需求超过攻击，即x>w时，则价格机制促使价格上调至x>p，从而价值p(x-w)

基于经纪人的需求关于价格p是零阶齐次的，即用lp代替p不影响预算集合，因此，只须考虑归一化价格p蜠l-1l禳镲l镲=睚p?R+|?pi镲i=1镲铪1。

定理5.2.1(Debru，1952) 设社会系统E={Xi,Si,j(1) 任给i?I，集合XiDRl是非空凸紧集；

i}i?I满足条件：

(2) 集值映射Si:X?Xi是连续的，取值非空凸紧集；

(3) 效用函数ji是连续的，且关于变元xi是拟凹的，则社会系统E有均衡态。见文献[8] 通过如上准备，下面证明定理：

定理5.2.2：（Arrow-Debreu，1954）假设经济系统E={Xi,ui,wi}i?I满足下列条件：

l(1) 对于i?I，消费集合XiDR+是非空凸紧集；

~i(2) 对于i?I，以及p蜠l-1，存在x?X，使得pgx=pgwi；

i~i(3) 对于i?I，效用函数ui是来连续的且严格拟凹的；

~i骣÷(4) 对于i?I，如果pgx

证明：利用定理5.2.1，则根据E构造社会系统E'。除去系统E中的经济人集合I之外，

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再虚拟第0个局中人（视为市场“经历”，他控制市场的价格系统），他的策略集合X0=Dl-1，于是，社会系统E'的局中人集合I'={0,1,2,...,n}，第i个局中人的策略集合XiDRl为凸紧集合。

记住记号X=映射：

S0:X崔X0

Si:X崔Xi,pX0, S0(x)=0X

?Xi=1ni，X0=Dl-1。仙子，规定各局中人的可行策略集合为如下的集值

Xi, Si(x,p)=Bi(p,wi)，i?I

再定义各局中人的效用函数如下： j0:X串X

0骣n-ij0(x,p)=p?x-R，?邋?桫i=1R,i=1,2,...,n

iii=0÷wi÷ 式(5-2) ÷÷i=1n ji:X串X0于是，构造社会系统E'={X,Si,j映射Si(1＃i}n。显然，集值映射S0是连续的。由定理4.5.4可知，

n)也是连续的。这就验证了定理5.2.1的条件(2)，至于条件(1)和(3)与本定

X0，即有

理的假设(1)和(3)是相重合的。因此，社会系统E'有均衡态(x,p)未Xl-1x,pV p?S 式(5-3) ()0 xi?Si(x,p)(5-4)

pg邋x-pgii=1nni=1Bi(p,wi)i, I 式

&w ?pg邋xin-inpgi=1wi，p?X0 式(5-5)

i=1 ui(xi)￡ui(xi) 式(5-6)

出

骣ni?x- pg?邋?桫i=1l-1wi÷ 0p?V， 式(5-7) ÷÷i=1n因为x?Bi(p,w)，即pgx￡pgw，所以pg邋x￡pgiiiinini=1wi。于是，由5-5可推

i=1特别地，取p=ek=(0,...,1,...,0)，即第k坐标向量，则5-7变成

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pg邋x-pgii=1nni=1nni=1wi 0

由此便证明了邋x￡ii=1wi。

ii%%最后，再来证明pgx=pgwi，i=1,2,...,n。假若pgx

jjj%%%+(1-q)xj Xj，（x?Xj，使得uj(xj)

凸集），当q充分小时，有

j%pgxq=pgx+(1-q)pgxj

所以，xq?Bj(p,wj)，因为uj是严格拟凸的，则有

j%uj(xq)=uj(qx+(1-q)xj)>uj(xj)

这与5-6中的极大性相矛盾，总之，

pg邋x=pgii=1nni=1wi

这就证明了供需总价值相等。证毕。

定理中的条件都具有明显的实际意义，条件(2)表示，在任何价格下，经纪人总可以选

购比自己初始占有更便宜的商品。条件(4)表示，如果经纪人选购的商品束没有用尽自己的财力，他还可以购买更好商品束，当他的偏好是单调时，条件(4)被满足。边际效用递减率满足条件(3)。

5.3垄断市场

下面用对策论方法研究垄断经济机制下的均衡存在性：

将要讨论的垄断市场，假设买方是由大量消费者组成，其中任何个体不能影响市场价格，而卖方是由少数生产者组成，他们控制价格和产量。因此，买房是完全竞争的，卖方是非完全竞争的。

假设垄断市场的情形如下：

某种商品由一个厂商独占，没有别的厂商与之竞争，市场上买房的总需求恰好等于这个垄断者的产量，用q表示厂商的产量，p表示该商品的市场价格。

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假设需求函数q=g(p)（注意需求和产出是一致的）是严格递减的可微函数，则需求反函数q=f(p)亦然。

厂商的利润为

p(q)=qp-c(q)=af(q)-c(q)

其中c(q)表示成本函数。设产量q使厂商的利润达到最大，则

p'(q)=0或f(q)+qf'(q)=c'(q)

-于是，厂商的最优产量为q，此时的价格为p=f(q)，称为垄断价格。 下面来研究较为复杂的寡头垄断市场。

假设买方由大量的消费者组成，单个的消费者行为对市场价格没有影响，卖方由少数生产者组成，他们生产的产品是同质的，产品的总产量决定了市场价格，并且假设各生产者都以相同的价格出售，即在价格方面不存在竞争，但各家的产量可以不同，这几存在竞争，通常称这种情形为产量设定模式。

1,2,...,n}，为简单起见，先来考察单一产品被垄断的情形，设生产者集合J={厂家i的

-产量用qi来表示，总产量为Q=0＃Q?nqi，市场价格q=f(Q)是严格递减的可微函数，其中

i=1Q，而且当Q3Q时，f(Q)=0，这表示当产量充分大时，价格降为零，生产者i的利润为

pi(q)=qif(Q)-ci(qi)

其中q=(q1,q2,...,qn)表各生产者的产量，ci(qi)表示生产者i的成本函数。当生产者qi增加时，则总产量Q随之增加，生产成本也增加，而价格p=f(Q)，其利润可增可减，即使自身选定了产量计划，他也把我不住所获利润的增减规律，因为其他生产者的产量对价格p=f(Q)将产生影响。

定理5.3.1：称产出向量q=(q1,q2,...,qn)是均衡的，如果对每个i?J，总有

pi(q)吵pi(qi,q-i),qi0

其中q?i??q1,q2,...,qn?，q??qi,q?i?

且每个生产者j?J的成本函数cj?qj?是二次可微的凸函数，则市场E必存在均衡产

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出。

证明：为了引用定理5.2.1，我们只须验证函数pi(q)=qif(Q)-ci(qi)是凹函数。事实上

??j?q??f?Q??qjf'?Q??c'j?qj? ?qj?2?j?q??2f'?Q??qjf''?Q??c''j?qj? 2?q?2由假设条件知，对于q?D，2?j?q??0。从而，函数?j?q?关于第j个变量是凹的，

?qj所以，社会系统E有均衡态q=(q1,q2,...,qn)，即对于j?J

pj(q)3pj(qj,q-j)，其中qj??qi?Q

i?j因此，q是市场E的均衡产出，定理证毕。

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结束语

本设计主要研究在静态博弈下的多重纳什均衡定理及其在经济系统和相关社会系统中的应用。

首先是在二人对策下来研究了矩阵对策，通常下，离散策略集下，未必有均衡与鞍点的存在。而在连续对策下进行了粗略的研究介绍。

其次，将策略集延拓为混合集，并验证了混合策略集必存在均衡和鞍点，但是限于二维博弈中。之后引入多维博弈，即局中人在多个方便或多个领域内同时进行博弈。得出多维纳什均衡理论。纳什的非合作博弈论是给经济分析的一个抽象的数学框架,但它不是经济分析本身。然后分析研究了抽象的非合作博弈系统的纳什均衡，由如上允许策略集合

X(N)与n重支付算子F组成的序偶(X(N),F)称为（在Banach空间框架下的）一个带支

付算子的n重对策。故由Ky-Fan不等式得到带支付的n重对策中存在纳什均衡，带收益的

n重对策(X(N),G)满足： ?i?N,Xi是Ui的闭凸子集，X(N)是Xn的一个凸紧子集；

?i?N,gi:X(N)?R连续；?i?N,?xi?Xi,gi(?,xi)是Xi上的凹函数，则必存在一个Nash

?????X(N)。 均衡x最后，研究了纳什均衡在经济系统中的应用，满足一定条件的经济系统存在自由处置均衡。

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致 谢

衷心感谢我的指导老师刘颖范教授,感谢刘老师在我完成毕业设计的过程中对我的谆谆教诲和无微不至的关怀与帮助。他以敏锐的学术洞察力和严谨的治学态度，指导我的课题研究工作，使我受益匪浅。本论文的撰写自始至终都是在刘老师的精心指导下完成的，从研究课题的确定，到论文的整理与修改，及至最终的审稿、定稿，无不倾注了刘老师的心血，还熬夜给我们的论文进行评价和提出新的问题以精益求精。他兢兢业业的敬业精神和平易近人的人格品质，也给我留下了深刻的印象，同时他对应用数学的专注和热情深深的感染着我，希望在之后的研究生学习中能像刘老师一样。

感谢在百忙之中评阅论文和参加论文答辩的各位专家教授。 感谢所有理解、支持和帮助过我的人。

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Proof

of

the

Min-Max

Theorem,Pacific

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南京邮电大学2010届本科生毕业设计（论文）

[21]Aummann, R.J.,B..Peleg ,and P.Rabinowitz,A Method for Computing the Kernel of n-Person Games,Mathematics of Computation,Vol.19(1965),ppt.531-551. [22]Dantzig,G.B.,Constructive J.Math.,Vol.6(1958),pp.25-33. [23]Davis,m.,and

M.Maschler,The

Kernel

of

a

Coorperative

n-person

Game,Zeitschrift fnv Operations Research,Vol.25(1981),pp.119-131.

[24]Jones A.J.,Game Theory:Mathimatical Model of Conflict,Ellix Horwood,West Sussex(1980).

[25]约翰纳什著。ESSAYS ON GAME THEORY.张良桥，王晓刚译。北京：首都经济贸易大学出版社，2000(3)

[26]谭德庆，胡培。不确定多维Bertrand博弈模型及其风险-收益平衡。中国矿业大学也学报，2002(4).

[27]张盛开，叶填祥。凸线性分析合成对策解的结构。经济数学，1986(3):43-50 [28]Nash J,Non-cooperative games.Annals of Mathimatics,1951(54):286-295 [29]Nash J.Two-person cooperative games.Economics,1953(21):128-140

[30]J.Zhao,The Equilibria of a Multiple Objective Game,International Journal of Gamen Theory.1991(20):171-182

Proof

of

the

Min-Max

Theorem,Pacific

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