抽象代数习题

更新时间:2023-12-06 23:01:01 阅读量: 教育文库 文档下载

说明:文章内容仅供预览,部分内容可能不全。下载后的文档,内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的,是否完整无缺。

1

1. 〈{1,2,3,4},·5〉和〈{0,1,2,3},+4〉是否同构? 2. 代数结构〈I,+〉与〈N,·〉是否同构?

3. 设X为集合,证明〈P(X),∩〉与〈P(X),∪〉是同构的。 4. 求出〈N6,+6〉的所有自同态。

1. 给定代数结构〈I,+,·〉,定义I上的二元关系R为:

i R j 当且仅当 | i | = | j| ,

关于加法运算 +,R是否具有代换性质?对于乘法运算·呢?

2. 设R是N3上的等价关系。若R关于 +3具有代换性质,则R关于·3也一定具有代换性质。求出N3上的一个等价关系S,使其关于·3具有代换性质,但关于 +3不具有代换性质。

3. 试确定I上的下述关系R是否为〈I,+〉上的同余关系: a) x R y 当且仅当 (x<0∧y<0=∨(x≥0∧y≥0); b) x R y当且仅当 | x·y |<10;

c) x R y当且仅当 (x = 0∧y= 0)∨(x≠0∧y≠0); d) x R y当且仅当 x ≥ y。

第二章

2. 在以下给出的N上的关系R中,哪些是么半群〈N,+〉上的同余关系?对于同余关系求出相应的商么半群。

a) aR b 当且仅当 a-b是偶数。 b) aR b 当且仅当 a>b。

c) aR b 当且仅当 存在r∈I 使a= 2 r·b。 d) aR b 当且仅当 10整除a-b。

3. 设〈S,*〉是半群,a∈S,在S上定义二元运算·如下:

x·y = x * a* y, x,y∈S

证明〈S,·〉也是半群。

4. 设〈M,*〉是么半群且#M≥2。证明M中不存在有左逆元的左零元。

??a0????a0??,5. 设·为矩阵的乘法运算。证明: S???|a,b?R,T?|a?R????????0b????00??1)〈S,·〉为么半群; 2)〈T,·〉为么半群; 3)〈T,·〉是〈S,·〉的子半群,但〈T,·〉不是〈S,·〉的子么半群。 9. 试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。

定理2.2.5 设〈G,*〉为群。若k∈I且a∈G的阶为n,则a k = e 当且仅当 n|k 。 定理2.2.6 设〈G,*〉为群且a∈G。若k∈I且a的阶为n,则a k 的阶为 n /(k,n)。

-1

推论 设〈G,*〉为群。若a∈G,则a与a的阶相同。

2

定理2.2.7 设〈G,*〉为交换群且a,b∈G。若a的阶为m,b的阶为n且(m,n)=1,则ab的阶为mn。

定理2.2.8 有限群〈G,*〉的每个元素的阶为有限的,并且不超过 #G 。

习题2.2

2. 设〈G,*〉是群,u∈G,定义G上的二元运算·如下:

a·b = a* u1 * b, a,b∈G

证明〈G,·〉也是群。

3. 设〈G,*〉为群,如果对任意a∈G均有a2 = e,则〈G,*〉为交换群。

4. 设〈G,*〉为群,证明〈G,*〉是交换群,当且仅当对任意a,b∈G,均有 (ab)2 = a2

b2。

5. 设〈G,*〉为群,且对任意a,b∈G均有 (ab)3 = a3b3且 (ab)5 = a5b5。证明〈G,*〉为交换群。

5. 设〈G,*〉是群,a,b∈G,a不是G的么元且a4b = ba5。证明ab≠ba。 6. 证明每个元素都可约的有限半群是群。 7. 证明有限多个群的积代数结构仍是群。 10. 设〈G,*〉是群,a,b,c∈G。证明

1) a和b1ab的阶相同; 2) ab和ba的阶相同;

3) abc,bca和cab的阶相同。

11. 有限群中阶大于2的元素个数必为偶数。 12. 证明〈Nn-{0},·n〉是群,当且仅当 n为素数。

13. 设d,m∈I+ 。证明 d是m的因子 当且仅当 d是〈Nm,+m〉中某元素的阶。 14. 求下列群中每个元素的阶: 1) 〈N5,+5〉; 2) 〈N12,+12〉; 3) 〈N7-{0},·7〉; 4) 〈N13-{0},·13〉。

定理2.3.2 若H为群G的非空子集,则H≤G,当且仅当对任意a, b∈H皆有a * b1∈H。 定理2.3.3 若群G的非空有穷子集H关于G的二元运算封闭,则H≤G。 定理2.3.5 设f是群G1到G2的群同态,ei 为Gi的幺元(i = 1, 2)。 i) f (e1) = e2 。

--

ii) 若a∈G1,则f (a1 ) = ( f (a ) )1 。 iii) 若H≤G1,则 f [H]≤G2 。

iv) 若f为群单同态且a∈G1,则a的阶与 f (a ) 的阶相同。

习题2.3

1. 找出下列各群的所有子群。 a) 〈N12,+12〉; b) 〈N5,+5〉; c) 〈N7-{0},·7〉;

3

d) 〈N11-{0},·11〉。

2. 求下列各群上的自同态。 1) 〈N8,+8〉; 2) 〈N6,+ 6〉; 3) 〈N5-{0},·5〉; 4) 〈N7-{0},·7〉。

3. 设f是群〈G1,*〉到〈G2,·〉的群同态,a∈G1 。a与f (a) 的阶一定相同吗?证明你的断言。

4. 设H1和H2是群G的子群,证明H1∩H2 也是G的子群。H1∪H2是G的子群吗?证明你的断言。

5. 设H是群G的非空子集,并且H中每个元素的阶都有限,则H为G的子群的充分必要条件是H关于G的乘法封闭。

6. 设f 和g均为群G1到G2的群同态,令

H = { a∈G1 | f (a) = g (a) }

证明H是G1的子群。

7. 设G是群,H和K是G的子群。

a) HK和KH必为G的子群吗?试证明或给出反例; b) HK是G的子群,当且仅当HK=KH。 8. 设〈G,*〉是群,令

C (G) = { x∈G | 若y∈G,则x * y = y * x }

证明C (G) 是G的子群。C (G) 称为 群G的中心。

9. 设H为群G的子群,a∈G,令

--

aHa1 = { aha1 | h∈H }

--

证明aHa1 是G的子群。aHa1 称为H的共轭子群。

10. 设H为群G的子群,令

N (H) = {a∈G | aHa1 = H}

证明N (H) 是G的子群。N (H) 称为H的正规化子。

11. 群G的自同构是从G到G的同构。证明G的所有自同构的集合关于函数的合成运算构成群。

12. 设G是有限群,H是G的子群,a∈G。证明存在最小正整数m使am∈H,且m是a的阶n的因子。

13. 设a是群G的阶为n的元素,H是G的子群。证明:如果am∈H且 (m,n) =1,则a∈H。

2. 求下列置换:

?1a) ??2??1b) ??4?234??1234????? ??431??4321??323456??

52631??c) (1 2 3 4 5) ? (2 3 4) d) (3 6 2)?(1 5) ? (4 2)

?1123456??e) ? ??216534???4

f) (1 2 4 6 5 7)2

3. 将下列置换表示为无公共元素的循环的乘积:

?1a) ??6??1b) ??2??1c) ??8?2124293236344341425455576?? 5??67?? ?73?6789??

3516??4. 除么元外,每个元素的阶都是2的四阶群称为克莱因(Klein)四元群。

a) 列出克莱因四元群的运算表; b) 找出克莱因四元群的所有子群; c) 找出与克莱因四元群同构的置换群。

5. 指出下列群是否为循环群?若是循环群,则给出其一个生成元: 1) 有理数加群〈Q,+〉;

2) 正有理数乘法群〈Q+ ,·〉; 3) 〈Gn,·〉,其中Gn = {x | x∈C且xn =1},n为正整数,·为复数的乘法。 4) 〈I,*〉,其中a* b = a + b-2,a,b∈I 。

6. 设G为群,a,b∈G,a的阶为素数p且a?(b)。证明 (a)∩(b) = {e}。 8. 设H = (am),K = (an) 是循环群G = (a) 的两个子群,且d = [m,n]。证明H∩K = (ad )。 9. 任一无限群必有无穷多个子群。 10. 证明循环群的子群必为循环群。 11. 证明无限循环群恰有两个生成元。

12. 无限循环群的子群除{e}外均为无限循环群。 13. 设存在代数结构〈G,·〉到〈G′,*〉的满同态,如果〈G,·〉是循环群,则〈G′,*〉也是循环群。

14. 设G是无限循环群,G′是任意循环群。证明存在G到G′的满同态。

定理2.5.4(拉格朗日定理) 如果H是有限群G的子群,则#H整除 #G,并且#G = #H·[G∶H

推论1 有限群G的每个元素的阶整除G 推论2

例4 若将同构的群视为一个群,则只存在两个4阶群,并且都是交换群。 例5 若H和K是群G的子群且K△G,则H∩K△H

定理2.5.6 设H△G,则G关于H的陪集关系R是G 定理2.5.7 设H为群〈G,·〉的不变子群,则〈G,·〉关于H的陪集关系的商代数结构 〈G / H,⊙〉是群,并称为G关于H的商群。其中对任意a·H,b·H∈G / H, (a·H) ⊙ (b·H) = (a·b)·H。

定理2.5.8 设R是群〈G,·〉上的同余关系,则[e]R △G,并且R是G关于[e]R 的陪

定义2.5.3 设f是群G1到G2的群同态,集合 {g ∈G1|f (g) = eG2} 称为f的同态核,记为Ker f,其中eG2为G2的幺元。

5

定理 2.5.9 设f:G1 →G2i) Ker f △G1

ii) f是内射 当且仅当 Ker f = {eG1}

定理2.5.10 (群第一同构定理) 设f是群〈G1 ,·〉到〈G2 ,*〉的群同态,则商群〈G1 / Ker f,⊙〉同构于〈 f[G1],*

这只是定理1.5.2

定理2.5.12 若H,K是群G的有限子群,则|H K|=|H|·|K|/|H∩K|。 定理2.5.13 设G为群。若K≤G且H△G,则 i) H∩K△K; ii) H△〈H∪K〉; iii) HK =〈H∪K〉;

iv) 如果K△G且H∩K = {e},则对任意h∈H,k∈K,均有hk = kh。

定理2.5.14(群第二同构定理) 设G为群且K≤G。若H△G,则K/H∩K ? HK/H。

定理2.5.15 (群第三同构定理) 设G为群,H△G且K△G。若K≤H,则H/K△G/K且(G/K)/(H/K) ? G/H。

1. 设n∈I + ,p为素数,证明pn阶群必有p阶子群。 2. 证明6阶群恰有一个3阶子群。

3. 设G为群,C (G) 为G的中心,证明C (G) △G。 4. H△G且K△G,证明 1) H∩K△G; 2) HK△G。

5. 证明指数为2的子群必为不变子群。

6. 求〈N24,+24〉的6阶子群H及N24关于H的商群。

7. 设K△H,H△G,问K是否必为G的不变子群?证明或举出反例。 7. 设p,q是两个不同的素数,G为pq阶交换群。证明G是循环群。

9. 证明存在从m阶循环群G1到n阶循环群G2的满同态,当且仅当 n | m。 10. 设H是循环群G的子群,证明G/H也是循环群。

11. 设H为群G的不变子群,且#H =2。证明H?C (G)。

12. 设H是群G的阶为n的子群,且G只有一个阶为n的子群。证明H是G的不变子群。 13. 设H是群G的子群,如果H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集,则H是G的不变子群。

14. 设H,K是群G的有限子群,且#H与#K互素。证明H∩K ={e}。

15. 设p和q为素数,p

16. 设H是群G的子群且H?C (G),则H是G的不变子群。并且若G/H是循环群,则G是交换群。

17. 设H是群G的子群,N (H) 为H的正规化子。证明:H△G当且仅当G = N (H)。 20. 证明阶数为p2的群必为交换群,其中p为素数。 21. 设G是交换群,H = {x∈G | x的阶是有限的}。证明

习题2.5

6

1) H是G的子群;

2) 在商群G/H中,除幺元H外不含阶为有限的元素。

22. 设H,K是群G的不变子群,且G/H和G/K均是交换群,则G/ (H∩K) 必为交换群。 23. 设H△G,证明G/H是交换群的充分必要条件为:对任意g1,g2∈G有

-1?1g1?g2?g1?g2?H。

24. 设G是n阶交换群且p是素数。若p|n,则G中存在阶为p的元素。

25. 设G是群,对于任意a∈G,定义

? a(x) = ax a-1 , x∈G

则? a是G的自同构映射,称之为G的内自同构。G的内自同构的全体构成G的自同构群的不变子群。

26. 设f是群G到G′的群同态映射,K = Ker f。证明:对任意a∈G,f 1 (f (a)) = aK。 27. 证明除零同态之外,不存在〈Q,+〉到〈I,+〉的群同态映射。

28. 设f是群G到G′的满同态映射,A是G的子群。试证:如果A的阶与G′的阶互素,则A包含在Ker f 中。

29. 设群G只含有限多个子群,f是G到其自身的满同态。证明f是G的自同构。

30. 设H是群G的不变子群,且 [G : H] = m,则对任意x∈G,必有xm∈H。 31. 证明在同构的意义下只有两个6阶群,一个是循环群,一个是S3 。 32. 证明:在同构的意义下只有两个不同的10阶群。

定理3.1.2 若〈R,+,·〉是环,则下列条件等价:

定理3.1.3 有限整环都是域。

定理3.1.5 体仅有零理想和单位理想。 定理3.1.9 设D是环〈R,+,·〉的理想。若在R/D上定义二元运算?与⊙如下:

(D+r1)?(D+r2)= D +(r1+r2) r1 ,r2∈R (D+r1)⊙(D+r2)= D +(r1·r2) r1 ,r2∈R

则〈R/D ,? ,⊙〉为环,称为〈R,+,·〉关于D的商环。

定理3.1.10 若f是环〈R,+,·〉到环〈S,⊙,*〉的环同态,则Ker f 是〈R,+,·〉的理想。

~?,~?定理3.1.11 若f是环〈R,+,·〉到〈S,?,?〉的环同态,则〈R / Ker f ,?,⊙〉?〈f [R],

例9 设D1和D2都是环〈R,+,·〉的理想。若D2 ? D1,则D1/D2是R/D2的理想,并且

~~ R /D2 / D1/D2 ? R /D1 例13 若p为素数,则(p)为〈I,+,·〉的极大理想。 定理3.1.12 若D是含幺元交换环〈R,+,·〉的理想,则〈R,+,·〉关于D的商环〈R/D,?,⊙〉是域,当且仅当 D是〈R,+,·〉的极大理想。

例14 模m的剩余类环〈Zm,?,⊙〉是域,当且仅当 m为素数。

习题3.1

2. 对于乘法来说,每个元素都是幂等元的环称为布尔环。证明以下结论。 a) 设X为集合,则〈P(X),?,∩〉是布尔环。

7

b) Z2 和Z2×Z2 都是布尔环。

c) 布尔环的每个元素都以自己为负元。 d) 布尔环必为交换环。

e) 阶大于2的布尔环不可能是整环。 3. 若A和B为环〈R,+,·〉的子环,则A∩B也是〈R,+,·〉的子环。若A和B为环〈R,+,·〉的理想,则A∩B也是〈R,+,·〉的理想。

4. 若〈R,+,·〉是环,并且〈R,+〉是循环群,则〈R,+,·〉是交换环。 5. 设〈R,+,·〉是具有么元1的环,在R上定义运算 ? 和⊙如下:

r ? s = r + s +1 r⊙s = r·s + r +s r,s∈R

a) 证明〈R,?,⊙〉是环;

b) 求出〈R,?,⊙〉的零元和么元; c) 证明〈R,?,⊙〉与〈R,+,·〉同构。 6. 求出〈N6,+6,·6〉,〈N8,+8,·8〉,〈N12,+12·12〉的所有子环和理想。 7. 设D1和D2是环〈R,+,·〉的理想,证明D1 + D2也是〈R,+,·〉的理想,其中D1 + D2 = { d1 + d2 | d1∈D1且d2∈D2 }。

8. 证明两个域的积代数结构不可能是域。 10. 设〈R,+,·〉是I上二阶方阵的环,A是元素为偶数的所有二阶方阵组成的集合。证明A是〈R,+,·〉的理想,并求R / A的阶。

11. 设m,r∈I+ 且r | m, 找出Zm到Zr的一个满同态f,求Ker f 和Zm/Ker f。 12. 找出环〈I,+,·〉的所有自同态,并求每个自同态的核。 13. 设环〈R,+,·〉有且只有一个右么元,试证R有么元。 14. 设〈R,+,·〉为具有么元1的环,u∈R且u有右逆元。证明关于u的下述条件是等价的:

1) u有多于一个的右逆元; 2) u不是可逆的; 3) u是左零因子。 15. 设环〈R,+,·〉的每一个左理想都有左么元,试证〈R,+,·〉的每一个左理想都有么元。

16. 设〈R,+,·〉是具有么元1的环。若 {0} 和R是〈R,+,·〉仅有的两个左理想,证明〈R,+,·〉是体。

17. 设〈R,+,·〉是具有么元1的环,D为R之理想。证明: (a) 设U = { x | x∈R且x关于·可逆 },则〈U,·〉为群。 (b) 设G = {a| a∈U且a-1∈D},则G是U的不变子群。

18. 设f是环〈R,+,·〉到〈S,?,*〉的环同态,且A?R。证明: f 1 ( f (A) ) = A+ Ker f。 19. 设f是环〈R,+,·〉到〈S,?,*〉的环同态,H1和H2均为R之子环,且包含Ker f。证明:若f (H1) = f (H2),则H1 = H2 。

20. 含么环不可能与任何不含么元的环同构。

习题3.2

1. 若p阶域有p阶子域,则m | n。

2. 求出4阶域和5阶域上的所有不可约的首1二次多项式。 3. 证明x2 +1是GF (7) 上的不可约多项式。

4. 设p(x)和q(x) 是GF (p)上互素的多项式,则它们在GF (p)的扩域上仍为互素的。

n

m

8

5. 6. a) b) 证明域的加法群和乘法群不能同构。 试证明:

有理数域〈Q,+,·〉的自同构映射只有一个。 域〈{a+ bi | a,b∈Q},+,·〉的自同构映射只有两个。

7. 设m>2,〈{a1,a2,…,am},+,·〉是m阶有限域,0是其零元。证明

定理3.3.2 pn阶域的元素都是多项式xp?x的根。

定理3.3.3 有限域的乘法群必为循环群。

定理3.3.4 设域〈F,+,·〉的特征为p。如果? ,?∈F,则

(? +? ) p = ? p + ? p

推论 设域〈F,+,·〉的特征为p。若? ,?∈F,则

(? -?)p = ? p -? p

n?ai?1mi?0。

第四章

定理4.1.3 设〈L,≤〉是格,若a,b,c∈L i)a≤b 当且仅当 a*b = a 当且仅当 a?b = b ii) 若b≤c,则a*b≤a*c且a?b≤a?c iii) a?(b*c)≤(a?b)*(a?c),a*(b?c)≥(a*b)?(a*c); iv) a≤c 当且仅当 a?(b*c)≤(a?b)*c

习题4.1

4. 设〈L,≤〉是格,a,b,c∈L。如果a≤b≤c,则a?b = b*c且 (a*b)? (b*c) = (a?b)*(a?c) =b。

5. 设〈L,≤〉是格,a,b,c,d∈L。如果a≤b且c≤d,则a*c≤b*d。 6. 设〈L,≤〉是格,a,b,c,d∈L,则

(a*b)?(c*d) ≤ (a?c)*(b?d)

(a*b)?(b*c)?(c*a) ≤ (a?b)*(b?c)*(c?a)

7. 设〈L,≤〉是格,a,b,c∈L,则

(a*b)?(a*c) ≤ a*(b?(a*c)) (a?b)*(a?c) ≥ a?(b*(a?c))

8. 设〈L,≤〉是格,a,b,c∈L,如果a*b*c = a?b?c,则a = b = c。

9. 设〈L,≤〉是格,a,b∈L。令S = {x∈L | a≤x≤b},证明〈S,≤〉也是格。

定义4.2.1 如果集合L上的两个二元运算*和?满足交换律、结合律、吸收律,则称代数系统〈L,*,?

定理4.2.1 定义4.1.1和 定义4.2.1

定义4.2.2 设〈P,≤〉和〈Q,≤′〉是两个半序结构且 f : P →Q

9

i)a,b∈P,当a≤b 时必有 f(a)≤′f(b),则称 f

-1

ii) f 是双射,并且 f 和 f 都是保序的,则称P和Q

由上述定义可知,若P和Q是次序同构的,则对任意a,b∈L , 均有 a≤b 当且仅当 f(a)≤′f(b)。

定理4.2.2 设格〈L,*,?〉和〈S i)g是从〈L,*,?〉到〈S,∧,∨〉的同态,则g ii)g是从〈L,*,?〉到〈S,∧,∨〉的同构,则L和S

定理4.2.3 设〈L,*,?〉和〈S,∧,∨〉是两个格,其中的半序关系分别为≤和≤′,则L和S 同构 当且仅当

习题4.2

5. 证明群〈G,?〉的不变子群集合是G的子群格的子格,并证明两个不变子群N 和N2

的最小上界是N1?N2 。

6. 画出24阶循环群的子群格的图,并证明它同构于〈S24,D〉。

7. 画出C6和C8的子群格的图。当n为素数时,C2n的子群格的图是什么?当n = p1 p2(其中p1,p2是素数)时,C2n的子群格的图是什么?

8. 设A和B是集合,f:A→B。证明S = {f [x] | x?A} 是〈P (B),?〉的子格。

9. 设〈S,*,?〉是格,J是S的非空子集。如果对于任意a,b∈J和c∈S,a?b∈J 且 a*c∈J,则称J为S的理想。证明:

a) S的理想必为S的子格,但S的子格不一定是S的理想。 b) 设f是格S到S′的同态映射,A是S的子格,J是S的理想,则f [A]是f [S]的子格,f [J]是f [S]的理想。f [A]是不是S′的子格?f [J]是不是S′的理想?

定义4.3.3 设〈L,*,?〉是格。如果对于任意a,b,c∈L,当a≤b时必有 a?(b*c)= b*(a?c),则称〈L,*,?〉为模格。

定理4.3.2 格〈L,*,?〉是模格的充要条件是不含如下形式的子格:

定理4.3.4

定理4.3.6 格〈L,*,?〉是分配格的充要条件是:对于任意的a,b,c∈L,均有

(a*b)?(b*c)?(c*a)=(a?b)*(b?c)*(c?a)

定理4.3.7 模格〈L,*,?〉是分配格的充要条件是不含如下形式的子格

10

1. 求出格〈S75 ,D〉中每个元素的补元。

2. 试证明:在有一个以上元素的格中,不会有元素是它本身的补元。 3. 画出格〈S30 ,D〉和〈S45 ,D〉的图。其中哪个格是有补格? 5. 格〈S30,D〉和〈S45,D〉是否是分配格? 6. 证明〈I,min,max〉是分配格。

8. 试证明:在有界分配格中,有补元的各元素构成一个子格。 9. 试证明每个分配格都是模式格。

10. 设〈L,*,?〉是格。证明 L是分配格 当且仅当,对于任意a,b,c∈L,(a?b)*c ≤ a?(b*c)。

11. 设〈L,*,?〉是分配格,a∈L。定义?:L→L为:对于任意x∈L,? (x) = x*a。定义?:L→L为:对于任意x∈L,? (x) = x?a。证明?和?是L的两个自同态,并求出?[L]和?[L]。

12. 设E是格L的所有自同态的集合,证明E关于函数合成运算构成独异点。

13. 设〈L,*,?〉是分配格,a,b∈L,且a<b,b/a = { x | x∈L∧a≤x≤b }。定义 ?:L→b/a为 ? (x) = (x?a)*b。证明?是同态映射。

14. 设〈L,*,?〉是格。证明:L是模格 当且仅当,对于任意a,b,c∈L,a?(b*(a?c)) = (a?b)*(a?c) 。

15. 设〈L,≤〉是模格,a,b,c∈L。证明:若b,c为a的覆盖且b≠c,则b?c既是b的覆盖,也是c的覆盖。

16. 设〈L,*,?〉是分配格,a∈L。定义L上的函数f 和g如下:

f (x) = x*a g(x) = x?a x∈L

证明f 和g均为〈L,*,?〉到其自身的格同态映射。 17. 设〈L,*,?〉为分配格,a,b∈L。设

X = { x | x∈L且a*b≤x≤b } Y = { y | y∈L且b≤y≤a?b }

且令

f (x) = x?b, x∈X g(y) = y*a, y∈Y

试证明:f 和g是X与Y之间一对互逆的格同构映射。

定理4.4.2 设〈B,*,?,′,0,1〉是布尔代数,S是B的非空子集。如果S 对{ * ,′}或{ ? ,′}封闭,则S是B的子布尔代数。

定理4.4.3 设〈B,*,?,′,0,1〉和〈P,∩,∪,~,?,β〉是两个布尔代数, f : B →P。如果对任意a,b∈B

f(a*b)= f(a)∩ f(b) f(a′)=~

f(a)则 f

习题4.4

1. 证明下列布尔恒等式: a) a ? (a′*b) = a?b b) a * (a′?b) = a*b c) (a*b) ? (a*b′) = a d) (a*b*c) ? (a*b) = a*b

1. 证明在任何布尔代数中下述结论成立:

11

a) a = b ? (a*b′) ? (a′*b) = 0 b) a = 0 ? (a*b′) ? (a′*b) = b

c) (a?b′)* (b?c′)* (c?a′) = (a′?b)* (b′?c)* (c′?a) d) (a?b)* (a′?c) = (a*c)? (a′*b) = (a*c)? (a′*b)? (b*c) e) a≤b ? a? (b*c) = b*(a?c) 2. 化简下列布尔表达式: a) (a*b′)′?(a?b) ′

b) (a′*b′*c′) ? (a*b′*c) ? (a*b′*c′) c) (a*c) ? c ? ((b?b′)*c) d) (1*a) ? (0*a′) 3. 设S = {a,b,c},〈P(S),∩,∪,~, ?,S 〉是集合代数,〈B,*,?,′,0,1〉是电路代数,定义g:P(S)→B如下:

如果b?x ?1 g(x)??如果b?x?0 证明g是布尔同态。

4. 设〈B,*,?,′,0,1〉和〈P,∩,∪,~, ?,?〉是布尔代数,g是从〈B,*,?〉到〈P,∩,∪〉的格同态,并且g(0) = ?,g (0) = ?。证明g是布尔同态。

5. 设〈A,*,?,′,0,1〉是布尔代数。证明〈A,+,*〉是布尔环,其中 + 定义为: a +b = (a*b′) ? (a′*b) 。

6. 设〈B,+,*〉是有幺元1的布尔环。证明〈B,*,?,′,0,1〉是布尔代数,其中

a ? b = a + b + (a*b), a′= 1 + a

8. 设f是布尔代数S到S′的同态映射,R是S上对应于f的同余关系。证明商代数S/R是布尔代数。

9. 设f是布尔代数〈S,*,?,′,0,1〉到〈S′,∩,∪,~,?,?〉的同态映射,令-1

J = f[{?}]。证明J具有以下性质:

① 0∈J;

② 若a∈J,则对一切x≤a,均有x∈J; ③ 若a,b∈J,则a?b∈J。

具有以上性质的S的子集称为S的理想。

10. 证明J是布尔代数〈S,*,?,′,0,1〉的理想 当且仅当 J是布尔环〈S,+,*〉的理想,其中 + 的定义如第6题。

11. 证明二阶布尔代数是域。

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/6qgt.html

Top