数论班讲义

2009年秋季 数论专题班讲义

第一讲 整除特征（1）

[知识要点]

数的整除特征：

（1） 末位数字是偶数的能被2整除；末位数字是0或5的能被5整除；末两位是4或25的倍数的能被4或25整除；末三位是8或125的倍数的能被8或125整除。 （2） 各位数字之和能被3或9整除的数能被3或9整除。

（3） 如果一个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。 （4） 一个数分成两个数：末三位为一个数，其余各位为一个数，如果这两个数之差能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。

例1、 （1）六位数43256□能被4整除，□里应当填几？

（2）33690□中，□内填上几，这个数能被25整除？

（3）125745□中，□中填上几，这个数能被8整除？

例2、 在□内填上适当的数，使得下列五位数能被9整除

1849□ 716□2 3□757

例3、 用1，2，3，4，5，6这六个数中的四个组成一个四位数，它是4的倍数且最大是多少？

最小是多少？

例4、 六位数23□56□是8的倍数，也是9的倍数，这个数是几？

例5、 小明的生日是2月29日，他2010年能否过生日？

例6、 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.

例7、 在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个

七位数最小值是多少？

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例8、 试找出这样的最小自然数,它可被11整除,且它的各位数字之和等于13.

练习:

1． 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.

2． 已知四位数7**1能被9整除，*代表相同的数，问*代表几？

3． □32347中，□内填上几能被9整除？

4． 在□内填上适当的数，使得下列五位数能被9整除，并且后两位数字能被7整除，求出所

有的可能情况。 □81□4 32□3□

5． 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.

6． 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.

7． 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.

8． 所有能被3整除的两位数的和是______.

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第二讲 整除性质

例题分析： 例1， （1）试判断123453与2376能否被11整除，由此125829能否被11整除。

（2）试判断78012与1342能否被11整除，由此76670能否被11整除。

总结：

（3）试判断336能否被56整除，而56能否被7整除，由此判断336能否被7整除。

总结：

（4）试判断105能否被3和5整除由此判断105能否被15整除。

总结：

(5)填空: 1)6789=6? +7? +8? +9? 2)6789=67? +89?

3)ABCD=A? +B? +C? +D? 4) ABCD=AB? +CD?

总结: 例2， 小红买了５只铅笔，３只圆珠笔，4本笔记本和8块橡皮，铅笔4元一只，圆珠笔8元一

只，售货员一算说应付146元，小红很肯定的说售货员算错了，你知道为什么吗？（注：各文具的单价均是整数元）

例3， 某学校有１３个兴趣小组，各组的人数如下表： 组别 人数 １ ２ ２ ３ ３ ４ ５ ７ ５ ９ ６ 10 ７ 11 ８ 14 ９ １３ １０ １７ １１ ２１ １２ ２４ １３ ２４ 一天下午，已知有１２个小组的同学们讨论军事和娱乐，其中讨论军事的是讨论娱乐的人数的六倍，还剩下一个小组在室外玩游戏，这一组是第几组？

例4， 一个四位数减去他各位数字之和后得到47□2，你知道□里填入数字几吗？请填入□里，

这个四位数是多少？

例5， 一个四位数，把他的千位移到右端构成一个新的四位数，已知这两个四位数的和是以下

五个数中的一个：①9885 ②9866 ③9867 ④9868 ⑤9869，这两个四位数之和是多少？

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练习：

1. 饲养员给动物们分10000千克食物，按50千克，30千克，20千克的规格装箱。已知第一

种装了26箱，第二种装了116箱，第三种装了若干箱，最后剩下16千克，一个员工说：肯定装错了。他说得对吗？

2. 小力买了三支铅笔，三支圆珠笔，八本笔记本和十二块橡皮，总共花了13元1角钱。已知

铅笔4角一支，圆珠笔2元8角一支，问售货员的帐算对了没有？为什么？（注：各文具的单价均是整数角）

3. 商店里有六箱货物，分别重15，16，17，18，19， 31千克，两个顾客买走了其中五箱，

已知一个顾客买的货物的重量是另一个顾客的2倍，问：商店剩下的一箱货物为多少千克？

4. 任写一个六位数，把它的个位数字（不等于0）移到这个数最左边一位数字的左边得到一

个新的六位数，然后与原来的六位数相加，现有四个结果：172535 568741 620708 845267 试问：哪一个结果是正确的？

5. 一个三位数减去它的各位数字之和，其差还是一个三位数46A，求A的值。

6. 一个三位数减去它的各位数字之和,其差还是一个三位数76*，这个*代表几？

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第三讲 整除特征（2）

例1.（1）试判断20592，25092能否被99整除？

（2）试判断2385，3825能否被45整除？

（3）试判断12346578，12356784能否被44整除？

例2.（1）在□内填入适当的数字，使□3□28能被72整除？

（2）已知五位数7□3□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，方框内的数字有

几种填法？

例3.一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.

例4.123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.

例5.在□内填入适当的数字，使□2008□这个六位数能被44整除。

例6. 学校买来36张课桌椅，不料发票给墨水弄脏了，单价只剩下一个数字□3.□□元，甚至

总价也不完全，只剩下1□24．5□元，请你帮助会计把单价和总价算出来。

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