人教八年级数学特殊平行四边形相关知识归纳总结与例题精讲

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特殊的平行四边形相关知识归纳

和常见题型精讲

附:矩形菱形正方形的性质和判定总表

边 性 角 质 对角线 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. 菱形 对边平行，四边相等 对角相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 正方形 对边平行，四边相等 四个角都是直角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一·是矩形，且有一组邻边相等； 组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 ·是平行四边形且两条对角线互相垂直。 既是轴对称图形，又是中心对称图形 对称性 一. 矩形

矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).

矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；

矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)

矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．

矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有

11AC=BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角

22形斜边上的中线等于斜边的一半．

AO=BO=CO=DO=

矩形的判定方法．

矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．

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矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

例1已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

例2 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．

例3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

例4、如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

(1)求证：AB=CF；

(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．

ACBEFD

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二．菱形

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．

菱形的性质

性质1 菱形的四条边都相等；

性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．

例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形．

例

3、如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、

BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.

AE1DOB2FC 龙文学校-----您值得信赖的专业个性化辅导学校

例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M， 若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。

A B E M C D

例5． （10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

(1)求线段BE的长．

DO60?CAEB

例6、（2008四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，

交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

例7、（2008山东烟台）

如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

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三．正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：

边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．

正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 正方形的判定方法：

? (1)有一个角是直角的菱形是正方形；

? (2)有一组邻边相等的矩形是正方形． ? 注意：1、正方形概念的三个要点： ? （1）是平行四边形； ? （2）有一个角是直角； ? （3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

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12即 y??x2?x (0＜x＜2).

22121221② y??x2?x??(x?)?.

222241∵ a??＜0， 221时，y最大值?. 24(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

∴ 当x?

例4 【解析】△ADE是等边三角形．

理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形， ∵∠B=∠C．

∴E为BC的中点， ∵BE=CE．

在△ABE和△DCE中，

?AB?DC,? ∵??B??C,

?BE?CE? ∴△ABE≌△DCE． ∵AE=DE．

∴AD∥BC，DE∥AB，

∴四边形ABCD为平行四边形． ∴AB=DE ∵AB=AD， ∴AD=AE=DE．

∴△ADE为等边三角形．

例5：（1）证明：∵AE∥BD, ∴∠E＝∠BDC ∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC 又∵∠C＝2∠E ∴∠ADC＝∠BCD ∴梯形ABCD是等腰梯形

（2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5

∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30° ∴∠DBC＝90° ∴DC＝2BC＝10

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