北京朝阳2015九上期末考试数学试题

北京市朝阳区2014～2015学年度第一学期期末检测

1.一元二次方程x2 2x=0的解为

A．x 2 B．x1 0，x2 2 C．x1 0，x2 2 D．x1 1，x2 2

2. 抛物线y (x 1)2 2的顶点坐标是 A．（1，2）

B．（1， ）

C．（ 1， ）

D．（ 1， ）

九年级数学试卷（选用） 2015.1

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

3.下列图形是中心对称图形的是

A B C D

4. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为 A．35° B． 55° C．65° D． 70°

5. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为

7.一个矩形的长比宽相多3cm，面积是25cm2，求这个矩形的长和宽．设矩形的宽为xcm，则所列方程正确的是

A．x2 3x 25=0 B．x2 3x 25=0 C．x2+3x 25=0 D．x2 3x 50=0

A

8.如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是

A B C D

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9.如图，A是反比例函数y

k

(x＞0)图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，AC垂直于 x

y轴，垂足为C，若矩形ABOC的面积为5，则k的值为．

10.一枚质地均匀的骰子，六个面分别刻有1到6的点数，掷这个骰子一次，则向上一面的 点数大3的概率是 ．

11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．写出一个

函数y x2 c，使它的图象与正方形ABCD有公共点，这个函数的表达式为

13.计算：cos30 －sin60 2sin45 tan45 .

14. 用配方法解方程： x2-4x-1=0．

（第9题图）

（第11题图）

（第12题图）

15. 如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=2，AB=6，求AC的长．

A

16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（2，3）为圆心的⊙A交 x轴于点B，C，BC=8， 求⊙A的半径．

17. 如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°， 设点E的对应点为F．

（1）画出旋转后的三角形． （2）在（1）的条件下，

①求EF的长；

②求点E经过的路径弧EF的长．

18．如图，甲船在港口P的南偏东60°方向，距港口30海里的A处，沿AP方向以每小时

5海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发，沿南偏西45°方向驶离港口P．现两船 同时出发，2小时后甲船到达B处，乙船到达C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向， 求乙船的航行距离

1.411.73，结果保留整数)．

C

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19.已知关于x的一元二次方程mx2 (m 1)x 1=0． （1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值.

k

20. 如图，直线y x 2与反比例函数y=的图象相交于点A（a，3），且与x轴相交于点B．

x

（1）求该反比例函数的表达式； （2）若P为y轴上的点，且△AOP的面积是△AOB的面积的

请直接写出点P的坐标.

21. 随着“节能减排、绿色出行”的健康生活意识的普及，新能源汽车越来越多地走进百姓的生活. 某汽车租赁公司拥有40辆电动汽车，据统计，当每辆车的日租金为120元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加5元时，未租出的车将增加1辆；该公司平均每日的各项支出共2100元．

(1) 若某日共有x辆车未租出，则当日每辆车的日租金为

元；

(2) 当每辆车的日租金为多少时，该汽车租赁公司日收益最大？最大日收益是多少？

2, 3

22.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．

（1）求证：∠ABC=2∠CAF； （2）若AC

=CE：EB=1：4，求CE，AF的长．

A

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知二次函数y=kx2 (k 3)x 3在x=0和x=4时的函数值相等． （1）求该二次函数的表达式；

（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出当y ＜0时，自变量x的取值范围；

（3）已知关于x的一元二次方程k2x2 m2 m 0，当 1≤m≤3 时，判断此方程根的情况．

24. △ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE= α (0°＜α ≤90°) ，点F，G，P分别是DE，BC，

CD的中点，连接PF，PG．

(1)如图①，α=90°，点D在AB上，则∠FPG°；

(2)如图②，α=60°，点D不在AB上，判断∠FPG的度数，并证明你的结论；

(3)连接FG，若AB=5， AD=2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，当PF的长最大时，

FG的长为（用含α的式子表示）． B

图①

B

B

图②

备用图

25. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线

y＝ax2＋bx－

2

经过点A和点C (4,0) ． 3

（1）求该抛物线的表达式．

（2）连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判断点D是否在该抛物线上，并说明理由． （3）在（2）的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y＝2x＋2交于点E，以DE为直径

画⊙M，

①求圆心M的坐标；

②若直线AP与⊙M相切，P为切点，直接写出点P的坐标．

北京市朝阳区2014~2015学年度第一学期期末检测

九年级数学试卷参考答案及评分标准 2015.1

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．5 10．

1

11．答案不惟一，如y x2（说明：写成y x2 c的形式时，c的取值范围2

是－2≤c≤1） 12．60，3π

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13

．解：原式

21 ……………………………………………………………………4分 ………………………………………………………………………………………5分

14.解： x2 4x=1. ……………………………………………………………………………………………… 1分

x2 4x+4=1+4 ，

(x 2)2=5 .…………………………………………………………………………………………… 3分

x 2=，

∴x1 2

x2 2……………………………………………………………………… 5分

15.解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A, 2分 ∴△ACD∽△ABC. 3分

ADAC

∴. 4分 ACAB

∵AD=2，AB=6，

2AC ∴. AC6

∴AC 12.

∴AC . 5分 16.解：如图，作AD⊥BC于点D．………………………………… 1分

连接AB．

∴BD

2

1

BC 4． ………………………………………… 3分 2

∵点A的坐标是（2，3），

∴AD=3．……………………………………………………… 4分 在Rt△ABD中，

∴AB 5 ……………………………………… 5分

∴⊙A的半径为5．

17.解：（1）如图1．

………………………… 1分

图1

（说明：点F在CD的延长线上） ∴△ADF为所求．

（2）①如图2，依题意，AE=AF，∠EAF =90°．…………… 2分

在Rt△ABE中，

1

∵AB=2，BE BC 1，

2

∴AE …………………………………………… 3分 在Rt△AEF中，

图2

EF……………………………… 4分

② l

90 ．……………………………… 5分

1802

．

∴弧EF

18．解：如图，作PD⊥BC于点D． ………………………1分

根据题意， 得 ∠BPD=60°，∠CPD=45°．

PB=AP AB =20． ………………………………… 2分 在Rt△BPD中，

∴PD PB cos60 =10．……………………………3分 在Rt△CPD中，

C

PD

∴PC …………………………… 4分

cos45

∴PC 14． …………………………………………5分 答：乙船的航行距离约是14海里．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19.解：（1）证明： =〔 (m 1)]2 4m=(m 1)2．…………………………………………………………………………………… 1分

∵（m 1）2≥0，

∴ ≥0．

∴该方程总有两个实数根． ………………………………………………………………… 2分

（2

）解：x．

当m为整数1或 1时，x2为整数，即该方程的两个实数根都是整数，

∴m的值为1或 1．…………………………………………………………………………… 5分

20.解：（1）∵点A（a，3）在直线y x 2 上， ∴ 3=-a +2．

∴ a = 1．………………………………………………………………………………………… 1分 ∴A（ 1，3）．

k

∵点A（ 1，3）在反比例函数y=的图象上，

x

k

∴3=．

－1

∴ k = 3． ………………………………………………………………………………………… 2分

3

∴y= ． ……………………………………………………………………………………… 3分

x

（2）（0，4 ）或（0， 4 ）．……………………………………………………………………………5分

21.解：（1）120+5x；……………………………………………………………………………………………………………………………… 1分

（2）设有x辆车未租出时，该汽车租赁公司日收益为y元．

根据题意，有y 40 x 120 5x 2100．…………………………………………………………………… 3分 即 y 5x2 80x 2700． ∵ 5 0， ∴当x

80

8时，y有最大值.

2 ( 5)

y有最大值是3020. ……………………………………………………………………………………………………………………… 4分 ∴120+5x=120+5×8=160. …………………………………………………………………………………………………………… 5分

答：当每辆车的日租金为160元时，该汽车租赁公司日收益最大，最大日收益为3020元.

22. （1）证明：如图，连接BD． ∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°． 1分

∵AF是⊙O的切线， ∴∠FAB=90°． 2分 即∠DAB +∠CAF =90°． ∴∠CAF=∠ABD． ∵BA=BC，∠ADB=90°， ∴∠ABC=2∠ABD．

∴∠ABC=2∠CAF． 3分

（2）解：如图，连接AE．

∴∠AEB=90°． 设CE= x，

∵CE：EB=1：4，

∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x． 在Rt△ACE中，AC

2=CE2+AE2．

即(2= x 2+(3x) 2．

∴x =2．

∴CE=2． 4分 ∴EB=8，BA=BC=10，AE=6．

AEAF

∵tan∠ABF . EBBA

6AF∴ . 810∴AF=

15

. 5分 2

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23.解： (1) 由题意可知，此二次函数图象的对称轴为x 2，

即

2. 2k

∴k 1. …………………………………………………………………………………………1分

k 3

∴y =x2 4x 3. ……………………………………………………………………………………2分 （2）如图1

…………………………………………3分

图1

1＜x＜3. …………………………………………………………………………………………………………………………… 4分

（3）由（1

）得此方程为x2 m2 m

0.

2

= m2+4m. …………………………………………………………………………………… 5分 =（） 4（m2 m）

∴Δ是m的二次函数.

由图2可知，当 1≤m＜0时，Δ＜0； 当m=0时，Δ=0；当0＜m≤3时，Δ＞0. ∴当 1≤m＜0时，原方程没有实数根；当m=0时， 原方程有两个相等的实数根 ；当0＜m≤3时，原方程有 两个不相等的实数根. ………………………………7分

24.（1）90；………………………………………………………1分 （2）∠FPG=120°；……………………………………………2分

证明：如图，连接BD，CE． ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE ． ∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE……………………………………3分

∴∠1=∠2．

∵点F，G，P分别是DE，BC，CD的中点，

∴PF∥CE，PG∥BD．……………………………………………………………………………4分 ∴∠FPD=∠ECD=∠2+∠3，∠4=∠5． ∴∠DPG=∠4+∠6=∠5+∠6．

∴∠FPG=∠FPD +∠DPG=∠2+∠3 +∠5+∠6=∠1+∠3 +∠5+∠6．

即∠FPG=∠ABC+∠ACB=180° ∠BAC=120°．…………………………………………………5分

（3）7sin(90 －)． ……………………………………………………………………………………7分

（说明：也可以写成7cos

图2

B 2

） 2

25.解：（1）依题意，可知 A（ 1， 0），B（0，2）．

抛物线y＝ax2＋bx－

2

经过点A，C (4,0) 所以有 3

2 a b 0， 3

1分

16a+4b 2 0. 3

1 a ， 6

解得

1 b . 2

∴y

1212

x x ． 2分 623

（2）点D在该抛物线上． 3分

依题意，可得BO=2，CO=4． 过点D作DF垂直x轴于点F, ∴△CDF∽△CBO． ∴

DCDFCF2

===． BCBOCO1

∴DF=4，OF= CF OC = 4．

∴ D（ 4，4）． 4分

1122

∵ -4 -4 4，

623

∴点D在该抛物线上．

（3）①由题意可知E（4，10）． 设DE与y轴的交点为M′， ∵M′B∥EC，

∴

DM'DB

1． EM'CB

∴D M′=EM′．

∴M′ 即⊙M的圆心M． ∴BM

1

EC 5． 2

∴M（0，7）． 6分 ②（ 4，4）或（3，3）． 8分

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