11.1对弧长的曲线积分

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课程名称 《高等数学》

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第11章 曲线积分与曲面积分curvillnear integral and surface integral

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第一节

第一类曲线积分

问题的提出对弧长的曲线积分的概念 对弧长的曲线积分的计算

几何意义与物理意义小结 思考题 作业3

第十章 曲线积分与曲面积分

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对弧长的曲线积分

一、问题的提出实例 曲线形构件的质量 匀质之质量 M s 分割 M1 , M 2 , , M n 1OA

By

L( i , i ) M iM1 M 2

M n 1

M i 1

si

取近似 取 ( i , i ) si , M i ( i , i ) si

x

求和

M ( i , i ) sii 1 n

n

近似值精确值4

取极限 M lim ( i , i ) si 0i 1

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对弧长的曲线积分

二、对弧长的曲线积分的概念设L为 xOy面内一条光滑曲线弧, ① 函数 f ( x , y ) 在L上有界. 在L上任意插入一点列M1 , M 2 , , M n 1

1.定义

把L分成n个小段. 设第i个小段的y

长度为 si ,又( i , i )为 第i个小段上任意取定的 ②作乘积 f ( i , i ) si , 一点, ③ 并作和 f ( i , i ) si ,i 1 n

( i , i ) M i

L

M n 1

B

④ 如果当各小弧段的长度的最大值 0时,

O

A

M1 M 2

M i 1

si

x5

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对弧长的曲线积分 n

注意: 被积表达式都定义在曲线上, si f ( i , i ) 即满足曲线的方程 . i 1 这和的极限存在, 则称此极限为函数f ( x , y ) 在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或 记作 第一类曲线积分. 被积函数

L f ( x, y )ds, 即n

f ( i , i ) si L f ( x, y )ds lim 0 i 1积分弧段弧元素L

积分和式

曲线形构件的质量 M ( x , y )ds6

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2. 存在条件

当 f ( x , y )在光滑曲线弧 L上 连续,对弧长的曲线积分3. 推广

L f ( x, y )ds 存在.

函数 f ( x , y , z )在空间曲线弧 上 对弧长的曲线积分为

f ( x , y , z )ds lim f ( i , i , i ) si 0i 1

n

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注意(1) 若 L (或 )是分段光滑的, ( L L1 L2 )

L L1

2

f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )dsL1 L2

(对路径具有可加性)

( 2) 函数f ( x , y )在 闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

L f ( x, y )ds8

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4. 性质 (1)

L[ f ( x, y ) g( x, y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds L L

(2)

L kf ( x, y )ds k L f ( x, y )ds (k为常数) L ⌒ f ( x, y )ds ( AB )L (⌒ BA)

(3) 与积分路径的方向无关, 即f ( x , y )ds

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补充 在分析问题和算题时常用的 对称性质设函数f ( x运用对称性简化对弧长的曲线积分 , y ) 在一条光滑(或分段光滑)的 计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x , y )与积 曲

线L上连续, L关于x=0 (或y=0) 对称, 则 分曲线L的对称性.

L f ( x, y )ds1

当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的奇函数 0 , 2 f ( x , y )ds , 当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的偶函数

L

L1是曲线L落在y (或x) 轴一侧的部分.

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例

计算 ( x y )ds . 其中L是圆周 x 2 y 2 R 2 . L3

解 对称性,得

yL L

x 2 y 2 R2

L

( x y 3 )ds xds y 3ds 0L

O

x

对 xds , 因积分曲线L关于 x=0对称,被积函数x是L上 关于x的奇函数

对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L

Lxds 0

被积函数 y 3是L上 关于y的奇函数 y 3ds 0 L11

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对弧长的曲线积分

三、对弧长曲线积分的计算

解法 化为参变量的定积分计算

定理 设 f ( x , y )在曲线弧 L上 有定义且连续, x (t ) L的参数方程为 ( t ),其中 y (t )

( t ), ( t )在[ , ]上 具有一阶连续导数, 且

L

f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt

对弧长的曲线积分要求 ds 0 (1)化为定积分的下限 一定要小于上限 (2) 积分值与曲线方向无关.

注意

( )

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L

x (t ) L的参数方程为 ( t ), y (t ) f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt

特殊情形 (1) L : y ( x ), a x b

( )

L f ( x, y )ds L

b

a

f [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx (a b)

ds 1 2 ( x )dx (2) L : x ( y ), c y d

f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy (c d ) c13

d

ds 1 2 ( y )dy

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x (t ) L的参数方程为 ( t ), y (t )

L f ( x, y )ds f [ (t ), (t ) ] 特殊情形 (3) L : ( ),

2 (t ) 2 (t )dt

( )

f [ ( ) cos , ( ) sin ] 2 ( ) 2 ( )d

L f ( x , y )ds

推广 : x ( t ), y ( t ), z ( t ) ( t )

f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( ) 14

f ( x , y , z )ds

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如果积分路径 L是两个曲面的交线 1 ( x , y , z ) 0 z f ( x, y) 或 z g( x , y ) 2 ( x , y , z ) 0此时需把它化为参数方程 (选择x , y , z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.

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例1

求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到L

y ( 0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 32

( 2

,2)的一段.

对x积分?2

y

y2 2x

( 2,2)

O

x

例2 求I xyzds , 其中 : x a cos , y a sin ,

z k 的一段. (0 2 )解 I

2

0

a 2 cos sin k a 2 k 2d

1 2 2 2 ka a k 2

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例3 计算 L | y | ds, 其中L是右半圆周, 即

2

⌒ 如图)的 解 由曲线L(半圆周ABC 2 2 2 方程x y R , 得ds 1 y 2dx

x y R ( x 0).2 2

A

y

LB x

OC

R x2 y2 dx dx 2 | y| y

L R 0

| y | ds AB ⌒ | y | d s ⌒ | y | d s BCR R R dx 2 R 2 | y | dx | y | 0 | y| | y|17

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计算 | y | ds , 其中L是右半圆周,即 L x 2 y 2 R 2 ( x 0).解此题时也可用 对称性质

L关于x轴对称, | y | 为y的偶函数,故

A

y

LB x

L | y | ds 2 ⌒ ydsAB

OC

2

R

02

R y dx y

2R

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例4 求 I x 2 d s ,

x2 y2 z2 a2 , 其中 为圆周 x y z 0.解 由于 的方程中的x, y, z的地位完全对称, 有

1 2 2 2 ( x y z )ds I 3 2 a 2 a 3 ds 3 3

x 2ds y 2d s z 2ds

( 2 a ds, 球面大圆周长)19

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例5 曲线

是中心在

( R, 0), 半径为R2 2

的上半圆周.求 提示:用极坐标

( x y ) ds

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四、几何意义与物理意义几何意义 (1) 当 f ( x , y ) 1时, L 弧长

L dsL

(2) 当 f ( x, y)表示位于L上的

z f ( x, y)

柱面在点( x , y )处的高时,

s

S柱面面积 f ( x , y )dsL

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6q64.html