11梁的位移计算

材料力学

第十一章梁的位移计算

材料力学

梁的位移计算

工程实例

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梁的位移计算

工程实例

本章对平面弯曲下梁变形的基本概念、基本方法以及简单静不定梁进行简要介绍。4

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梁的位移计算

§11-1

挠度、转角及其相互关系

挠曲线：梁变形后的轴线。在小变形情况下，任意横截面的形心位移是指y方向的线位移，截面形心垂直于轴线方向的线位移称为挠度

y A

q

θB x

x

vl向上为正，向下为负

v= f ( x)

--挠曲线方程

弯曲变形时，横截面绕中性轴转动的角度称为转角

θ=θ ( x)

--转角方程

逆转为正，顺转为负5

材料力学

梁的位移计算

q

θB

A

x

vl

θ

dvθ≈ tgθ= dx横截面的转角与挠曲线在该截面处的斜率近似相等，即挠曲线方程的一阶导数为转角方程。6

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梁的位移计算

§11-2曲率公式

挠曲线微分方程q

θB

1 M ( x)=ρ ( x) EI z

A

x

vl

θ

挠曲线为一平面曲线，其上任一点的曲率

1

ρ

=±

d 2v dx 2 dv 1+ dx 2

3

±2

d 2v dx 2 dv 2 1+ ( dx ) 3 2

M ( x)= EI z

微小量

-挠曲线微分方程

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梁的位移计算

在小变形情况下

d 2v M=± 2 dx EI z

正负号与弯矩符号规定及所取坐标系有关

y

M>0d 2v>0 dx 2

y

M<0d 2v<0 2 dx

O

x

O

x

d 2v M= 2 dx EI z

-挠曲线近似微分方程8

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梁的位移计算

§11-3

积分法求梁的位移d 2v M ( x)= dx 2 EI z

dv M ( x)θ ( x)==∫ dx+ C dx EI z M ( x) v( x)=∫ ∫ dx dx+ Cx+ D EI z

C,D为积分常数，由梁的位移约束条件确定。挠曲线近似微分方程通解的积分常数确定以后，就得到了挠曲线方程和转角方程，这种求梁变形的方法称为积分法。

材料力学

梁的位移计算确定积分常数的条件有两类：边界条件和变形连续条件。边界条件：位于梁支座处的截面，其挠度或转角常为零或为已知

yl

x

yl

x

固定铰链支座

固定端约束

x= 0, v= 0 x= l, v= 0

v= 0 x= 0 θ= 010

材料力学

梁的位移计算变形连续条件：位于梁的中间截面处，其左右极限截面处的挠度和转角相等。在中间铰链位置左右极限截面的挠度相等。

y2l 3 l

x

边界条件变形连续条件

2 x= 0, v= 0; x= l, v= 0 3

2 x= l, v1= v2,θ1=θ 2; 311

材料力学

梁的位移计算

思考：用积分法计算图示梁的挠度和转角，其边界条件和连续条件是什么？

y

qxl

ax= a+l v= 0θ= 0

答：边界条件 x= 0 v= 0连续性条件 x= l

v1= v212

材料力学

例

1

如图所示悬臂梁，在自由端受集中力P作用，设EI为常量，试求梁的最大挠度和最大转角。

解 1、建立挠曲线近似微分方程取坐标系如图所示，弯矩方程

P

y

l

x

M ( x)= P (l x)= P ( x l )

d v P( x l )= 2 dx EI z2

x

2、积分求通解

P P x2θ=∫ ( x l )dx= ( lx)+ C EI z EI z 2

材料力学

例

1

P P x2θ=∫ ( x l )dx= ( lx)+ C EI z EI z 2 P x 3 lx 2 P v=∫∫ ( x l )dxdx= ( )+ Cx+ D EI z EI z 6 2

3、确定积分常数

Px

x=0θ=v=0 C=D=04、转角方程和挠曲线方程P x2θ= ( lx) EI z 2

yl

x

P x 3 lx 2 v= ( ) EI z 6 2

5、确定最大挠度和最大转角θ max

Pl 2= 2 EI z

Pl 3 v= 3EI z

材料力学

例

2

求简支梁挠曲线方程，q已知，EI为常数。

解

1、建立挠曲线微分方程

y

q

d 2v M ( x) 1 1 1 2== ( qlx qx ) 2 dx EI z EI z 2 22、积分求通解

1 1 2 M ( x)= qlx qx 2 2

Aql 2

B x

x

l

ql 2

ql 2 q 3 EI zθ= x x+ C 4 6 ql 3 q 4 EI z v= x x+ Cx+ D 12 24

材料力学

例

2ql 2 q 3 EI zθ= x x+ C 4 6yq

ql 3 q 4 EI z v= x x+ Cx+ D 12 243、确定积分常数

A

B xql 2

x=0

v=0

x=lD=0

v=0

ql 2

x

l

ql 3 C= , 24

4、转角方程和挠曲线方程

q l 2 1 3 lθ= ( x x ) EI z 4 6 24

3

qx l 2 1 3 l 3 v= x ) ( x EI z 12 24 2416

材料力学

例

3

求简支梁最大挠度，F已知，EI为常数。

解

1、建立挠曲线微分方程

y

a

F

b

Ax1 x2lC

B xa F l

b M 1 ( x1 )= F x1 l

b F (0≤ x1≤ a ) l

b M 2 ( x2 )= Fx2 F ( x2 a ) l

(a≤ x2≤ l )

d 2v b EI 2= Fx1 dx l

(0≤ x1≤ a )

d 2v b EI 2= Fx2 F ( x2 a ) dx l

(a≤ x2≤ l )17

材料力学

例

3

2、分两段积分

b EIθ 1= Fx12+ C1 2l

b EIv1= Fx13+ C1 x1+ D1 6ly

bF 2 F EIθ 2= x2 ( x2 a ) 2+ C2 2l 2

a

F

b

Ab F l

B xa F l

x1

x2l

C

bF 3 F EIv2= x2 ( x2 a ) 3+ C 2 x2+ D2 6l 63、确定积分常数

x1= 0, v1= 0 x2= l, v2= 0

x1= x2= a, v1= v2θ 1=θ 2

Fb 2 C1= C2= (l b 2 ) 6lD1= D2= 018

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例

3

4、转角方程和挠曲线方程

bFx1 2 2 Fb 2 2 2 EIv1= ( x1 l+ b 2 ) EIθ 1= ( x1 l+ b ) 6l 6l bF 3l 2 2 2[3 x2 l+ b ( x2 a ) 2] EIθ 2= 6l b bF 3 2 l 2 EIv2=[ x2 l+ b ( x2 a ) 3] 6l b5、求最大挠度设：a>b,则最大挠度在AC段。最大挠度处截面的转角为零。3 2

θ1= 0

x0=

l b 32

2

vmax

Fbl 2 b2 = 1 2 9 3EI l

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6pui.html