《概率论与数理统计》复习题答案

上海第二工业大学

《概率论与数理统计》复习题

一、填空题

1. 已知P(AB)?P(A)，则A与B的关系是 独立 。 2．已知A,B互相对立，则A与B的关系是 互相对立 。

P(A)?0.4，P(B)?0.3，3.A,B为随机事件，则P(AB)? 0.3 。 P(A?B)?0.6，

4. 已知P(A)?0.4，P(B)?0.4，P(A?B)?0.5，则P(A?B)? 0.7 。

25.A,B为随机事件，P(A)?0.3，P(B)?0.4，P(AB)?0.5，则P(BA)?____。

36．将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为 0.75 。

7. 设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为___

26____。 338. 设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后

1___。 61119. 3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为,,，则此密码被译出的

5343概率为______。

5c35810．随机变量X能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则常数c?__。

24815k11．随机变量X分布律为P(X?k)?,k?1,2,3,4,5，则P(X?3X?5)?_0.4_。

15不放回，则第2次抽出的是次品的概率为___

x??2,?0?X?XX12.F(x)??0.4?2?x?0,是的分布函数，则分布律为__??pi?1x?0?0? ?__。0.40.6??2?0,x?0??3?13．随机变量X的分布函数为F(x)??sinx,0?x??2，则P(X?)?____。

32?1,x???2?14. 随机变量X~N(1.04,1)，P(X?3)?0.975，P(X??0.92)?__0.025 。 15. 设X~N(3,22)，若P(X?C)?P(X?C), 则C?__3__。（注：?(0)?0.5）

16．设X?N(?,?2)，其分布函数为F(x)，则有F(?+x?)?F(??x?)= 1 。

?X???17．已知随机变量X的分布律为?42?P0.20.7??Y22分布律为___??P0.3??1?__。 0.7??3???则随机变量函数Y?sinX的4?，0.1???X?118. 已知随机变量X的概率分布为?1?P2?1??1?,则Y?2X?1的分布函数为2?y??1,?0?__Fy(y)??1?1?y?3,_。

2?y?3.?119. 若X服从的分布是N(0,1)，则2X+1服从的分布是 N(1,4) 。 20．设X~N?2,9?,Y~N?1,16?，且X,Y相互独立，则X?Y~__N(3,52)___。

(m,p),?Y21．若X?BB(m?n,p) 。

B(n,，pX,Y独立，则X?Y服从的分布是

22.X?P(?1),Y?P(?2)，X,Y独立，则X?Y服从的分布是 P(?1??2) 。 23. 随机变量X?B?5,0.2?，则E(2X?3)?__5__，D?2X?3??__3.2__。

124. 随机变量X?U?0,2?，则E??X?3??__-4__，D??X?3??____。

325. 设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1在[0,6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数为??3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3,则

EY?__12___。

1n26. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X~N(?,?)的一个样本，则X??Xi服从

ni?12___N(?,?2n)___。

?)?? 。 27．设??是?的无偏估计，则??必须满足条件 E(?28．总体X以等概率

1取值1,2,?,?，则未知参数?的矩估计量为__2X-1___。 ?29．设X1,X2,......,Xn为X的样本，X?B(5,p），则关于p的矩估计量是 X 。 530．设由来自正态总体X~N(?,0.92)容量为9的简单随机样本,得样本均值（附：X?5,则未知参数?的置信度为0.95的置信区间为__[4.412,5.588]__。

u??1.96）

2二、选择题

1．设A,B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是（ A ）。 (A)P(A?B)?P(A) （B）P(AB)?P(A) (C)P(BA)?P(B) (D) P(B?A)?P(B)?P(A)

2．事件A,B满足：P?AB??0.2,P?B??0.5,P?AB??0.8,则P?A?B??（ A ）。 （A）0.7 （B）0.3 （C）0.6 （D）0.8

?a?be?x,x?03.连续型随机变量分布函数F(x)??，其中常数a,b值为（ C ）。

x?0?0,（A）a?1,b?1 （B）a?0,b?1 （C）a?1,b??1 （D）a??1,b?1

2x可以成为某随机变量X的概率密度函数，4．若f(x)?则随机变量X的可能值

充满区间( B ),

（A）(0,0.5) （B）(0,1) （C）[0,??) （D）(??,??) 5. 当随机变量X的可能值充满区间( A ),则f(x)?cosx可以成为某随机变量X的密度函数。

??37（A）[0,] （B）[,?] （C）[0,?] （D）[?,?]

22246. 随机变量X服从参数??1/8的指数分布，则P(2?X?8)?（ D ）。 （B）?8?x82x1?128?8?1edx （B）?edx （C）(e4?e?1) （D）e4?e?1

8827. 随机变量X服从X?N??,?2?，若?增大，则P(X???3?)（ D ）。

（C）单调增大 （B）单调减小 （C）增减不定 （D）保持不变 8. 设随机变量X的概率密度f(x)?1，则Y?2X的概率密度是（ B ）。 2?(1?x)（A）

1121arctany （B） （C） （D）222??(1?4y)?(4?y)?(1?y)9. 关于联合分布与边缘分布的关系，以下结论错误的是（ C ）。 （A）二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布 （B）二维均匀分布的两个边缘分布未必是均匀分布 （C）边缘分布可以唯一的确定联合分布 （D）联合分布可以唯一的确定边缘分布

10. 设（X,Y）的联合分布函数为F(x,y)，则其边缘分布函数FX(x)?（ B ）。 （A）limF(x,y) （B）limF(x,y) （C）F(0,y) （D）F(x,0)

x???y???1?1??0?0??11. 随机变量X,Y相互独立，且X~?则必有（ C ）。 ,Y~?0.20.8??0.20.8??，

????（A）X?Y （B）P(X?Y)?0 （C）P(X?Y)?0.68 （D）P(X?Y)?1。 12．关于正态分布的结论中错误的是（ C ）。

（A）服从正态分布的随机变量的任一线性变换后仍然服从正态分布 （B）边缘分布是正态分布，联合分布不一定是正态分布 （C）联合分布是正态分布，边缘分布不一定是正态分布

（D）正态分布的数学期望决定了密度函数的对称轴，方差决定了密度函数的陡峭程度

13. 已知离散型随机变量X服从二项分布，且EX?2.4,DX?1.44，则二项分布的参数n,p的值为（ B ）。

（A）n?4,p?0.6 （B）n?6,p?0.4 （C）n?8,p?0.3 （D）n?24,p?0.1

14．已知随机变量离散型随机变量X的可能取值为x1??1,x2?0,x3?1，且

EX?0.1,DX?0.89，则对应于x1,x2,x3的概率p1,p2,p3为（ A ）。

（B）p1?0.4,p2?0.1,p3?0.5 （C）p1?0.5,p2?0.1,p3?0.4

（B）p1?0.1,p2?0.4,p3?0.5 （D）p1?0.4,p2?0.5,p3?0.1

15.设随机变量X~f(x)?0.5e?0.5x,(x?0)，则下列计算正确的是（ C ）。 （A）E(X)?0.5 （B）D(X)?2 （C）E(2X?1)?5 （D）D(2X+1)?9

??e??xx?0，16．设随机变量X密度函数为f?x???，已知E(X)?1/2，若Y~P()?，

其他?x则下列计算正确的是（ D ）。

（A）E(Y)?2,D(Y)?4 （B）D(?2Y?2)??6 （C）E(Y2)?4 （D）E(Y+1)2?11

17. 已知总体X服从参数?的泊松分布（?未知），X1,X2,......,Xn为X的样本，则（ C ）。

1n1n（A）?Xi??是一个统计量 （B）?Xi?EX是一个统计量

ni?1ni?11n21n2（C）?Xi是一个统计量 （D）?Xi?DX是一个统计量

ni?1ni?118. 设总体X~N(?,?2)，其中?已知，?2未知。X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，则非统计量是（ D ）。

1（A）(X1?X2?X3) （B）X1X2?2?

31222（C）max(X1,X2,X3) （D）2(X1?X2?X3)。

?19. 人的体重为随机变量X，E(X)?a，D(X)?b，10个人的平均体重记为Y，则（ A ）。

(A)E(Y)?a （B）E(Y)?0.1a (C)D(Y)?0.01b (D) D(Y)?b

20．设X服从正态分布N(1,32)，X1,X2,?,X9为取自总体X的一个样本，则

lnL(p)?ln4?6lnp?2ln(1?p)?4ln(1?2p)，

{lnL(p)}??628???0?12p2?14p?3?0； p1?p1?2pp?17?137?137?13，因为0?p?，所以p?舍去，所以? p??0.2828。

2121212??x??1,0?x?119. 设总体X的概率密度为f(x,?)??，其中??0的未知参数，

otherwise?0,（1）求参数?的矩估计量；（2）求参数?的X1,X2,?Xn是来自总体的一个样本，最大似然估计量 。

解：（1）EX??xf(x)dx??x?x??1dx???0??1???1?X，

于是未知参数?的矩估计量为??n?X。 1?X（2）构造似然函数L(?)??f(x,?)??x1i?1??1??x2??1???xn??1??n(x1?xn)??1；

取对数：lnL(?)?nln??(??1)ln(x1?xn)?nln??(??1)?lnxi；

i?1ndlnL(?)nn???令???lnxi?0??d??i?1n?lnxi?1n，

i即未知参数?的最大似然估计值为????n?lnxi?1n。

i20．设总体X服从正态分布N(?,?2)，X1，X2，X3，...，Xn为其样本，试求： （1）?,?2的矩估计量；

（2）若?2=4，n多大时方能使?的90%的置信区间的长度不超过1？(?0.05?1.65)

解：（1）由矩估计法知

??X?EX?X???X?????n?1?21n2??2?21n2222 ?EX?X????X??X?X???iii???ni?1ni?1ni?1???（2）记关于?的置信区间长度为L

L?(X?u?2?n）—(X?u?2?n）=2u?2?n 当?=0.1时，

L?2?1.65?2?1?n?(2?2?1.65)2,即n?44。 n21．从一批钉子中随机抽取16枚,测得其长度(单位:厘米)为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11.

假设钉子的长度X服从正态分布N(?,0.012),求总体均值?的置信度为90%的置信区间。 (保留到小数后四位u0.025?1.96,解：x?2.215,n?16,1???0.9???0.1,??0.01 所以?的置信度为90%的置信区间为：

(x????2u0.05?1.645）

?n)?(2.215?1.645?0.01)?(2.2109,2.2191)。 1622．某大学数学测验，抽得20个学生的平均分数为x?72，样本方差s2?16， 假设分数X服从正态分布N(?,?2)，求?2的置信度为98%的置信区间。（保留到小数后四位）

（附：?20.01(19)?36.191,?20.99(19)?7.633） 解：由题意，?2的置信度为98%的置信区间为：

???(n?1)s2(n?1)s2??19?1619?16??。 ,2,,39.8271?2??????8.399936.1917.633?(n?1)?(n?1)??????1?2?2?23. 要求一种元件的使用寿命为1000小时。今从一批这种元件中随机抽取25

件，测得其寿命的平均值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差??100小时的正态分布，试在显著性水平??0.05下确定这批元件是否合格？ （附：

u??1.96）

2解：假设H0：??1000，H1：??1000；n?25,x?950,??100,?0?1000； 统计量：U?X??0?/n~N?0,1?，u?x??0950?1000??2.5?1.96,

?/n100/25所以，拒绝H0，即认为这批元件不合格。

24．设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。 t0.05(35)?1.6896,t0.025(35)?2.0301； t0.05(36)?1.6883,t0.025(36)?2.0281

解：已知n?36,x?66.5,s?15,1???0.95,?0?70 假设H0:?0?70；H1:?0?70 统计量：T?X??0~t?n?1? S/n所以t?x??066.5?70??1.4?t?(n?1)?t0.025(35)?2.0301， s152n36所以接受假设，即认为在显著性水平下全体考生平均成绩为70分。

25. 正常人的脉搏平均为72次/分。某医生测得10例慢性铅中毒患者的脉搏均值为67.4次/分，标准差为5.929。设人的脉搏次数/分近似服从正态分布。 (1) 取? =0.05，是否可以认为铅中毒患者的脉搏均值为72次/分。 (2) 求铅中毒患者脉搏均值的0.95的置信区间。 （附：u??u0.025?1.96,t0.025(9)?2.2622,t0.025(10)?2.2281）

2解：（1）假设H0:??72；H1:??72;?2末知，T?X??0~t(n?1)

S/n ??0.05,x?67.4,n?10,s?5.929，t?(n?1)?t0.025(9)?2.2622

2 t?x??067.4?72??2.4534?2.2622， s/n5.929/10所以，t?t?(n?1)，故拒绝假设，即认为铅中毒患者的脉搏均值不是72次/分。

2（2）S?5.929，??0.05,x?67.4,n?10,t?(n?1)?t0.025(9)?2.2622；?2末知

2 对于给定置信度1???0.95，?的置信区间为：

?????5.9295.929?x?t?,x?t??67.4?2.2622?,67.4?2.2622???????

nn??1010??22=（63.16 , 71.64)，所以,置信度0.95的置信区间为（63.16 , 71.64)。 26.某仪器的测量误差服从N(0,?2)分布， （1）试求关于?2的极大似然估计量；

（2）由于长期的使用，使用者发现该仪器在测量时已经产生了系统误差，但不知道误差的波动性有无改变，以往的经验值?2=2，现记录了仪器的5个测量误差值分别为：3，-5，3，-2，2。请问该仪器误差的波动性较以往有显著变化吗？（??0.05）

查表：?20.025（4）?11.143,?20.975(4)?0.484；提示：请保留到小数后两位。 解：（1）X~f(x)??2211n?i?12?e2?，L(?2)??f(xi,?2)?()e

2??2??i?1x2nn?xi2nn1n22lnL?????ln(2?)?ln(?)?2?xi

222?i?12?lnL(?2)n1n21n22???xi 令?0??2?4?xi?0????22?2?i?1ni?1（2）建立假设：H0:?2??02?2,H1:?2?2

n?1?S2?222统计量：??，?n?1?0.484,?~?n?1???????n?1??11.143 21?2?022??拒绝域：W???2??2??n?1?or?2??2??n?1??????,0.484???11.143,???

1??22?x?0.2,s?12.7,2n?1?s2????25.4?W 22?0拒绝原假设，所以认为该仪器的测量误差的波动性较以往有显著的变化。

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