2018年01月05日 圆 综合题+37道

2018年01月05日 圆 综合题＋37道

一．解答题（共37小题）

1．已知：⊙O的半径为5，点C在直径AB上，过点C作⊙O的弦DE⊥AB，过点D作直线 EB的垂线DF，垂足为点F，设AC＝x，EF＝y． （1）如图，当AC＝1时，求线段EB的长；

（2）当点F在线段EB上时，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如果EF＝3BF，求线段AC的长．

2．已知AB为⊙O的直径，点C为弧

的中点，BD为弦，CE⊥BD于点E．

（1）如图1，求证：CE＝DE；

（2）如图2，连接OE，求∠OEB的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE，交直径AB于点F，延长E0，交⊙O于点G，连接BG，若CE＝2，EF＝3，求△OBG的面积．

3．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交

于点D，过点D

作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接AD，CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若OA＝AE＝2时， ①求图中阴影部分的面积；

②以O为原点，AB所在的直线为x轴，直径AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段AC上求一点P，使得直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分．

4．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB，延长AB交DC于点E，CF⊥AB于点F． （1）求证：直线DE与⊙O相切；

试卷第1页，总13页

（2）若EB＝2，EC＝4，求⊙O的半径及AC、AD的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

5．如图，AB为⊙O的直径，延长AB到点C，使得2BC＝3OB，过点C作⊙O的切线，交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，连接AD，作∠DAF＝∠CAD，交CD的延长线于点F．

（1）试判断AF与CF的位置关系，并证明； （2）若AB＝4． ①求DF的长；

②连接OF，交AD于点M，求DM的长．

6．如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交弧BC于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠OBC＝∠OFC． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）若DE＝1，∠ABC＝30°．①求⊙O的半径；②求sin∠BAD的值． （3）若四边形ACFD是平行四边形，求sin∠BAD的值．

7．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD的长； （2）如图②，若∠CAB＝60°，CF⊥BD，①求证：CF是⊙O的切线；②求由弦CD、CB以及弧DB围成图形的面积．

8．如图，AB为⊙O的直径，非直径的弦CD与AB相交于点E，DE＝EC，过点B的⊙O的切线与AD的延长线相交于点F，过点E作EG⊥BC，垂足为点G，延长CE与AD相交于点H．

试卷第2页，总13页

（1）请你探究DC与BF的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：EH为△ADE的中线；

（3）若EH＝EC，DF＝9，求⊙O的半径．

9．如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线．在

上任取一点C

（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E．连接BD，交CE于点F． （1）当点C为（2）当点C不是并证明你的结论．

的中点时（如图1），求证：CF＝EF；

的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，

10．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是直径，分别延长AB、CD相交于点E，AC＝AE，过点D作DF∥BC于点F． （1）求证：AC?DF＝AD?DE； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）若M是

的中点，连接MD交弦AB于点H，若AB：AE＝3：5，证明：AH＝AF．

11．如图，AB为⊙O的直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP．

（1）求证：PC为⊙O的切线；

（2）过D点作DE⊥AB于点E，交CB于点F，连AD交BC于点G，CG＝3，DE＝4，求

的值；

（3）在（2）的条件下，求tan∠DAC的值．

试卷第3页，总13页

12．已知AB为⊙O的直径，BM为⊙O的切线，点C为射线BM上一点，连接AC交⊙O于点D，点E为BC上一点．连接AE交半圆于F． （1）如图1，若AE平分∠BAC，求证：∠DBF＝∠CBF；

（2）如图2，过点D作⊙O的切线交BM于N，若DN⊥BM，求证：△ABC为等腰直角三角形；

（3）在（2）的条件下，如图3，延长BF交AC于G，点H为AB上一点，且BH＝2BE，过点H作AE的垂线交AC于P，连接OG交DN于K，若AP＝CG，EF＝1，求GK的长．

13．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．

例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．

请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：

（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）

（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；

（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是找出点C和点E重合的条件，并说明理由．

的中点，弦DE⊥AB于点F．请

试卷第4页，总13页

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若DE＋EA＝4，⊙O的半径为5，求CF的长度．

15．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线MN过点B，且∠MBC＝∠BAC．半径OD⊥BC，垂足为H，AD交BC于点G，DE⊥AB于点E，交BC于点F． （1）求证：MN是⊙O的切线； （2）求证：DE＝BC；

（3）若tan∠CAG＝，DG＝4，求点F到直线AD的距离．

16．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是DE交AC于点G．

（1）如图1，求证：∠BAC＝∠OED；

（2）如图2，过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点H．若AF＝3，FB＝，求cos∠DEH的值．

的中点，弦DE⊥AB于点F，

17．如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，点D在CA的延长线上，DE⊥BC，垂

试卷第5页，总13页

34．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于点D、E，交AB于点H，交AC于点F，P是延长线上一点，且PC＝PF． （1）求证：PC是⊙O的切线；

2

（2）若AD＝DE?DF，求证：CF＝EF；

（3）在（2）的条件下，若OH＝1，AH＝2，求线段PC的长．

35．如下图，在⊙O中，点P在直径AB上运动，但与A、B两点不重合，过点P作弦CE⊥AB，在

上任取一点D，直线CD与直线AB交于点F，弦DE交直线AB于点M，

连接CM．

（1）如图1，当点P运动到与O点重合时，求∠FDM的度数．

（2）如图2、图3，当点P运动到与O点不重合时，求证：FM?OB＝

DF?MC．

36．如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P． （1）求证：PC＝PG；

（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；

（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦

试卷第11页，总13页

ED的长．

37．在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2）所示，△ABC和△DBC中，∠A＝∠D＝90°．试证明A、B、C、D四点在同一圆上． 小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取BC中点M，连结AM、DM．则有AM＝BM＝CM及DM＝BM＝CM，即AM＝BM＝CM＝DM，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，MB为半径的圆上．根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：

（1）如图2，在△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，连结DE、DF，若∠BAC＝64°，则∠EDF＝ °．

（2）如图3，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，G为CD的中点，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（E、F不重合）．若∠EGF＝60°，求证：CD＝

AB．

试卷第12页，总13页

试卷第13页，总13页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

2018年01月05日数学的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共37小题）

1．已知：⊙O的半径为5，点C在直径AB上，过点C作⊙O的弦DE⊥AB，过点D作直线 EB的垂线DF，垂足为点F，设AC＝x，EF＝y． （1）如图，当AC＝1时，求线段EB的长；

（2）当点F在线段EB上时，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如果EF＝3BF，求线段AC的长．

2

【分析】（1）连接AE，易证△EBC∽△ABE，所以BE＝BC?AB，把BC和AB的长度代入即可求出BE的长度； （2）利用△EBC∽△ABE与△ACE∽△ECB，可求出BE与CE的长度，然后再证明△DEF∽△BEC，利用对应边的比相等即可得出y与x的函数解析式；

（3）若EF＝3BF，需要分情况讨论，①当点F在线段EB上；②当点F在EB的延长线上．

【解答】解：（1）连接AE， 由题意知：AB＝10， ∴BC＝AB﹣AC＝9， ∵AB是⊙O直径， ∴∠AEB＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠ECB＝90°， ∵∠CBE＝∠ABE， ∴△EBC∽△ABE， ∴

2

＝，

∴BE＝BC?AB， ∴BE＝3；

（2）当点F在线段EB上时，由题意知：AC＝x， ∴BC＝10﹣x， ∵DE⊥AB， ∴

＝

，

∴∠AEC＝∠ABE， ∴△ACE∽△ECB， ∴

2

，

∴CE＝AC?BC， ∴CE＝，

由垂径定理可知：DE＝2CE＝2

， 1

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

由（1）可知：BE＝BC?AB， ∴BE＝， ∵DF⊥EB，

∴∠DFE＝∠ECB＝90°， 又∵∠DEB＝∠DEB， ∴△DEF∽△BEC， ∴∴∴y＝

，

，

（0＜x≤5）；

2

（3）如图 1，当点F在线段BE上时， ∵EF＝3BF， ∴4EF＝3BE，

由（2）可知，4y＝3， ∴x＝∴AC＝

， ，

当点F在EB的延长线上时， 连接OE，

∴OC＝x﹣5，BC＝10﹣x，

2222

∴由勾股定理可知：OE﹣OC＝BE﹣BC， ∴BE＝， ∵EF＝3BF， ∴

，

∴BE＝y， ∴y＝

，

由垂径定理可知：DE＝2CE， ∵∠DFE＝∠ECB＝90°， ∠DEB＝∠DEB， ∴△EBC∽△EDF， ∴

＝

2

，

2

∴y＝2（﹣x＋10x）， 化简得：4x﹣70x＋300＝0，

∴解得：x＝10（不符合题意，舍去）或x＝∴AC＝

，

2

2

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

综上所述，当EF＝3BF，AC的长为

或

．

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理、垂径定理、函数关系式，相似三角形的判定与性质等知识，综合程度较高，考查学生综合运用知识的能力．

2．已知AB为⊙O的直径，点C为弧

的中点，BD为弦，CE⊥BD于点E．

（1）如图1，求证：CE＝DE；

（2）如图2，连接OE，求∠OEB的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE，交直径AB于点F，延长E0，交⊙O于点G，连接BG，若CE＝2，EF＝3，求△OBG的面积．

【分析】（1）如图1中，连接CD、OC．只要证明∠CDE＝∠COB＝45°即可． （2）如图2中，连接OD，OC，只要证明△OED≌△OEC，推出∠OED＝∠CEO＝135°，即可解决问题．

（3）如图3中，过O作OM⊥BD于M，BN⊥EG于N，则∠EMO＝90°，连接OC，设EM＝x，则BM＝DM＝2＋x，由EF∥OM，得【解答】（1）证明：如图1中，连接CD、OC， ∵点C是∴

＝

中点， ，

＝

，列出方程即可解决．

∴∠AOC＝∠BOC，

3

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴∠D＝45°， ∵CE⊥BD， ∴∠CED＝90°， ∴∠D＝∠DCE＝45°， ∴CE＝DE；

（2）证明：如图2中，连接OD，OC， 在△OED和△OEC中，

，

∴△OED≌△OEC， ∵∠CED＝90°，

∴∠OED＝∠CEO＝135°， ∴∠OEB＝45°；

（3）如图3中，过O作OM⊥BD于M，BN⊥EG于N，则∠EMO＝90°，连接OC， ∵CE＝2， ∴DE＝2，

设EM＝x，则BM＝DM＝2＋x， ∴BE＝2x＋2， ∵∠OEB＝45°，则BM＝DM＝2＋x， ∴OM＝x， ∵∠OEB＝45°， ∴∠CEB＝∠EMO， ∴EF∥OM． ∴

＝

，即＝

，

解得x1＝2，x2＝﹣（不合题意）， ∴BM＝4，OM＝2，

∴OG＝OB＝2，BN＝3∴S△OBG＝×OG×BN＝3

， ．

4

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【点评】本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题．

3．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交

于点D，过点D

作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接AD，CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若OA＝AE＝2时， ①求图中阴影部分的面积；

②以O为原点，AB所在的直线为x轴，直径AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段AC上求一点P，使得直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分．

【分析】（1）连结OC由OA＝OC，F为AC的中点，推出OD⊥AC，又DE∥AC，推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线； （2）①根据S阴＝S扇形OCD，计算即可； ②由已知得：

推出直线AC的表达式为

，过点P

分别作PM⊥x轴，PN⊥AD，垂足分别为M，N，由①得AC平分∠OAD，推出PM＝PN，设

，

，因为直线DP把阴影

部分的面积分成1：2的两部分，分两种情形，讨论即可解决问题． 【解答】解：（1）证明：连结OC ∵OA＝OC，F为AC的中点，

5

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴OD⊥AC， 又∵DE∥AC， ∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

（2）①由（1）得OD⊥DE， ∴∠EDO＝90°， ∴OA＝AE＝2， ∴

，

∴OA＝OD＝AD＝2． ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝∠DAO＝60°， ∴

，

又∵AC⊥OD，

∴∠CAO＝∠CAD＝30°， ∴∠ACD＝∠CAO， ∴CD∥AB，

∴S△ACD＝S△OCD， ∴S阴＝S扇形OCD，

∵∠CAD＝∠OAD﹣∠OAC＝60°﹣30°＝30°， ∴∠COD＝2∠CAD＝60°， ∴

②由已知得：∴直线AC的表达式为

， ，

，

过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥AD，垂足分别为M，N， 由①得AC平分∠OAD， ∴PM＝PN， 设

，

，

∵直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分， 若解得：若

．即

，此时，同理可求得

P

， ， ，

的坐标为

和

综上所述：满足条件的点

．

6

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【点评】本题考查圆综合题、一次函数的应用、切线的判定和性质、平行线的性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

4．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB，延长AB交DC于点E，CF⊥AB于点F． （1）求证：直线DE与⊙O相切；

（2）若EB＝2，EC＝4，求⊙O的半径及AC、AD的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC，证明OC⊥DC即可解决问题．

（2）首先证明AD＝2DC；进而证明AF＝AD，CF＝CD；运用射影定理求出CF的长即可解决问题．

（3）分别求出△ABC、半圆⊙O的面积，问题即可解决． 【解答】解：（1）连接OC； ∵AD⊥DC，

∴∠DAC＋∠ACD＝90°；

又∵AC平分∠DAB，OA＝OC，

∴∠DAC＝∠CAO，∠CAO＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴∠ACD＋∠ACO＝90°， 即OC⊥DC，

∴直线DE与⊙O相切． （2）∵EC是⊙O的切线，

2

∴EC＝EB?EA，而EC＝4，EB＝2， ∴EA＝8，AB＝8﹣2＝6； ∴⊙O的半径为3． ∵AC平分∠DAE， ∴∴

，

，

∴AD＝2DC（设为x）；

∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CF⊥AB，

7

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴CD＝CF；

在△ADC与△AFC中，

，

∴△ADC≌△AFC（HL）， ∴AF＝AD＝2x，BF＝6﹣2x； ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°；

2

由射影定理得：CF＝AF?BF，

2

即x＝2x（6﹣2x）， 解得：x＝∴AD＝

， ；

，

由勾股定理得：∴AC＝

，

即⊙O的半径及AC、AD的长分别为3，（3）∵

，

∴

．

，

，．

【点评】该题以圆为载体，以切线的判定、切割线定理、角平分线的性质、射影定理等几何知识点的应用为载体构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．

5．如图，AB为⊙O的直径，延长AB到点C，使得2BC＝3OB，过点C作⊙O的切线，交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，连接AD，作∠DAF＝∠CAD，交CD的延长线于点F．

（1）试判断AF与CF的位置关系，并证明； （2）若AB＝4． ①求DF的长；

②连接OF，交AD于点M，求DM的长．

8

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【分析】（1）AF⊥CF，连接OD，由CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，根据等腰三角形的性质得到∠DAF＝∠CAD，于是求得∠FAD＝∠ODA，推出AF∥OD，结论即可得出；

（2）①如图，连接OD，由CF是⊙O的切线，得到OD⊥CF，根据AB为⊙O的直径，AB＝4，求得半径OD＝OB＝AB＝2，得到BC＝3，根据射影定理和勾股定理得到CD＝

，CE＝

，通过△CED∽△CFA，得到CF＝

，②通过勾股定理和三角形

相似即可解出结果． 【解答】解：（1）AF⊥CF， 证明；连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∵OA＝OD，

∴∠CAD＝∠ODA， ∵∠DAF＝∠CAD， ∴∠FAD＝∠ODA， ∴AF∥OD， ∴AF⊥CF；

（2）①如图，连接OD， ∵CF是⊙O的切线， ∴OD⊥CF，

∵AB为⊙O的直径，AB＝4， ∴OD＝OB＝AB＝2，

∵2BC＝3OB， ∴BC＝3， ∵DE⊥AC，

22222

∴CD＝CE?CO＝OC﹣OD＝5﹣2， ∴CD＝

，CE＝

，

∵∠AFC＝∠CED＝90°，∠C＝∠C， ∴△CED∽△CFA， ∴∴CF＝②∵CF＝

，即， ，CD＝

，

9

，

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴DF＝CF﹣CD＝

；

∵∠DAF＝∠CAD，DF⊥AF，DE⊥AE， ∴DE＝DF＝∵AE＝AC﹣CE＝∴AD＝∵AF＝

， ， ＝＝

，

∵OD∥AF，

∴△OMD∽△AMF， ∴

，即

，

解得：DM＝．

【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，射影定理，角平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．

6．如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交弧BC于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠OBC＝∠OFC． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）若DE＝1，∠ABC＝30°．①求⊙O的半径；②求sin∠BAD的值． （3）若四边形ACFD是平行四边形，求sin∠BAD的值．

【分析】（1）欲证明CF为⊙O的切线，只要证明即OC⊥CF即可；

（2）①设⊙O的半径为r．由OD⊥BC 且∠ABC＝30°，可得OD＝OB＝r，又DE＝1，且OE＝OD＋DE，列出方程即可解决问题； ②作DH⊥AB于H，求出DH、AD即可解决问题；

（3）设⊙O的半径为r．想办法用r表示DH、AD即可解决问题； 【解答】解：（1）连接CO．

∵D为BC的中点，且OB＝OC， ∴OD⊥BC，

10

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB， 又∵∠OBC＝∠OFC， ∴∠OCB＝∠OFC， ∵OD⊥BC，

∴∠DCF＋∠OFC＝90°． ∴∠DCF＋∠OCB＝90°．即OC⊥CF， ∴CF为⊙O的切线．

（2）①设⊙O的半径为r． ∵OD⊥BC 且∠ABC＝30°， ∴OD＝OB＝r，

又∵DE＝1，且OE＝OD＋DE， ∴

，解得：r＝2，

②作DH⊥AB于H，在Rt△ODH中，∠DOH＝60°，OD＝1． ∴DH＝

，OH＝，

在Rt△DAH中，∵AH＝AO＋OH＝， ∴由勾股定理：AD＝∴

．

．

（3）设⊙O的半径为r．

∵O、D分别为AB、BC中点， ∴AC＝2OD，

又∵四边形ACFD是平行四边形， ∴DF＝AC＝2OD，

∵∠OBC＝∠OFC，∠CDF＝∠ODB＝90°， ∴△ODB∽△CDF， ∴∴

， ，解得：

，

∴在Rt△OBD中，OB＝r， ∴∴

， ，

，

∴在Rt△DAH中，∵AH＝AO＋OH＝∴由勾股定理：AD＝∴

，

．

11

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【点评】本题考查切线的判定和性质、解直角三角形、平行四边形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

7．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD的长； （2）如图②，若∠CAB＝60°，CF⊥BD，①求证：CF是⊙O的切线；②求由弦CD、CB以及弧DB围成图形的面积． 【分析】（1）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5；

（2）①根据角平分线的性质得到∠CAD＝30°，求得∠COD＝60°，得到△COD是等边三角形，求得∠OCD＝60°，得到∠FCD＝30°，于是得到结论；②连接OB，根据圆周角定理得到∠BOD＝60°，推出OC∥BD，得到S阴影＝S扇形，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝∠BDC＝90°．

∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6， ∴由勾股定理得到：AC＝∵AD平分∠CAB， ∴

＝

，

＝8，

∴CD＝BD．

222

在直角△BDC中，BC＝10，CD＋BD＝BC， ∴易求BD＝CD＝5 ； （2）①证明：∵∠BAC＝60°，AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝30°， ∴∠COD＝60°，

∴△COD是等边三角形， ∴∠OCD＝60°， ∵CF⊥BD， ∴∠CFD＝90°，

∵∠CDF＝∠CAB＝60°，

12

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴∠FCD＝30°，

∴∠OCF＝∠OCD＋∠DCF＝90°， ∴OC⊥CF，

∴CF是⊙O的切线； ②连接OB， ∵∠BAD＝

BAC＝30°，

∴∠BOD＝60°，

∴∠ODB＝∠COD＝60°， ∴OC∥BD， ∴S阴影＝S扇形，

∵⊙O的直径为10， ∴OB＝5， ∴S阴影＝S扇形＝

＝

π．

【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．

8．如图，AB为⊙O的直径，非直径的弦CD与AB相交于点E，DE＝EC，过点B的⊙O的切线与AD的延长线相交于点F，过点E作EG⊥BC，垂足为点G，延长CE与AD相交于点H．

（1）请你探究DC与BF的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：EH为△ADE的中线；

（3）若EH＝EC，DF＝9，求⊙O的半径． 【分析】（1）先求出∠AED＝∠ABF，利用平行线的判定即可得出结论， （2）利用在直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半求解即可．

（3）过点D作BF的垂线，垂足为K，先由（2）得出△DHE为等边三角形，再利用含30°的直角三角形求出BD，AB，即可求出⊙O的半径． 【解答】解：（1）DC∥BF

∵在⊙O中，AB是直径，CD是弦，DE＝CE， ∴AB⊥CD，

∵BF切⊙O于点B，

13

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴AB⊥BF，

∴∠AED＝∠ABF＝90°， ∴DC∥BF，

（2）∵HG⊥BC， ∴∠EGC＝90°＝∠BEC， ∴∠C＋∠CEG＝90°，∠CEG＋∠BEG＝90°， ∴∠BEG＝∠C，

∵∠BEG＋∠CEG＝90° ∴∠BEG＝∠C，

∵∠BEG＝∠HEA，∠A＝∠C， ∴∠A＝∠HEA， 同理可证∠ADE＝90°﹣∠A，∠HED＝90°﹣∠HEA， ∴∠HDE＝∠HED，

∴AH＝HE＝HD，即EH是△ADE的中线， （3）如图，过点D作BF的垂线，垂足为K，

由（2）可知，DH＝HE＝EC＝DE， ∴△DHE为等边三角形， ∴∠ADE＝60°＝∠F， ∴∠FDK＝30°， ∴FK＝DF＝， 在RT△DKF中，DK＝

＝

＝

，

∵∠DEB＝∠EBK＝∠BKD＝90°， ∴四边形DEBK为矩形， ∴DK＝BE＝

，

∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＝∠BDE＝90°﹣60°＝30°， 在RT△DBE中，BD＝2BE＝9， 在RT△ABD中，AB＝2BD＝18， ∴OA＝9．

∴⊙O的半径为9．

【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用含30°的直角三角形的边角关系．

9．如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线．在

上任取一点C

（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，

14

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

垂足为E．连接BD，交CE于点F． （1）当点C为（2）当点C不是并证明你的结论．

的中点时（如图1），求证：CF＝EF；

的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，

【分析】（1）由题意得DA⊥AB，点E为半圆的圆心，DC⊥EC，可得四边形DAEC是矩形，即可得出

，即可得EF与EC的关系，可知CF＝EF；

（2）连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，由切线长定理可得DC＝DA，∠DAC＝∠DCA，再由角度代换关系可得出∠DGC＝∠DCG，即可得GD＝DC＝DA，由已知可得CE∥AP，所以

，即可知CF＝EF．

【解答】证明：（1）∵DA是切线，AB为直径， ∴DA⊥AB． ∵点C是

的中点，且CE⊥AB，

∴点E为半圆的圆心． 又∵DC是切线， ∴DC⊥EC． 又∵CE⊥AB，

∴四边形DAEC是矩形． ∴CD∥AO，CD＝AD． ∴

＝．

即EF＝AD＝EC．

∴F为EC的中点，CF＝EF．

（2）CF＝EF，

证明：连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，如图所示： ∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC＝DA， ∴∠DAC＝∠DCA． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACG＝90°．

∴∠DGC＋∠DAC＝∠DCA＋∠DCG＝90°． ∴∠DGC＝∠DCG．

∴在△GDC中，GD＝DC． ∵DC＝DA， ∴GD＝DA．

15

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∵AP是半圆O的切线， ∴AP⊥AB，又CE⊥AB． ∴CE∥AP． ∴

∵GD＝AD， ∴CF＝EF．

．

【点评】本题主要考查了切线的性质．

10．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是直径，分别延长AB、CD相交于点E，AC＝AE，过点D作DF∥BC于点F． （1）求证：AC?DF＝AD?DE； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）若M是

的中点，连接MD交弦AB于点H，若AB：AE＝3：5，证明：AH＝AF．

【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，和平行线的性质得出∠EFD＝∠ADC，进

而判断出△ACD∽△DEF即可得出结论； （2）先判断出点D是CE的中点，进而得出OD是△ACE的中位线，进而判断出∠ODE＝∠EFD＝90°，即可得出结论；

（3）先判断出△BCE∽△FDE得出BF＝EF＝4m，得出AF＝AE﹣EF＝m，再用勾股定理BC＝4m，在判断出，△MOD是等腰直角三角形，再用等腰直角三角形的性质即可得出NH＝MN＝m，结论得证． 【解答】解：（1）∵AC是直径， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵DF∥BC，

∴∠EFD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵AC＝AE，

∴∠ACD＝∠E， ∴△ACD∽△DEF， ∴

，

16

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴AC?DF＝AD?DE； （2）如图1，连接OD， ∵∠ADC＝90°，AC＝AE， ∴点D是CE的中点， ∴OD是△ACE的中位线， ∴OD∥AE， ∵∠EFD＝90°，

∴∠ODE＝∠EFD＝90°， ∴DF是⊙O的切线；

（3）如图2，连接OD，OM，交弦AB于N， ∴ON为△ABC的中位线， ∵AB：AE＝3：5， 设AB＝3m，AE＝5m， ∴BE＝AB＋AE＝BE＝8m， 由（2）知，D为CE中点， ∴CE＝2DE， ∵DF∥BC，

∴△BCE∽△FDE， ∴

＝，

∴BF＝EF＝4m， ∴AF＝AE﹣EF＝m，

∴AE＝AC＝5m，OA＝OM＝m， 根据勾股定理得，BC＝4m， ∵M是

的中点，

∴ON是△ABC的中位线， ∴ON＝BC＝2m， ∴MN＝m，

由（2）知，BE∥OD， ∴∠BAC＝∠AOD， ∵∠BCA＝∠MOA，

∴∠MOD＝∠MOA＋∠AOD＝∠BCA＋∠BAC＝90°， ∴△MOD是等腰直角三角形， ∵△MNH∽△MOD，

∴△MNH是等腰直角三角形， ∴NH＝MN＝m， ∴AH＝AN﹣NH＝m， ∴AH＝AF．

17

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，三角形的中位线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是得出，∠EFD＝∠ADC，解（2）的关键是得出OD是△ACE的中位线，解（3）的关键是得出BC＝4m．

11．如图，AB为⊙O的直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP． （1）求证：PC为⊙O的切线；

（2）过D点作DE⊥AB于点E，交CB于点F，连AD交BC于点G，CG＝3，DE＝4，求

的值；

（3）在（2）的条件下，求tan∠DAC的值．

【分析】（1）连接CO，如图1，易证∠COD＝∠DOB，从而可证到△COP≌△BOP，则有∠OCP＝∠OBP．根据切线的性质可得∠OBP＝90°，即可得到∠OCP＝90°，从而可得PC为⊙O的切线；

（2）连接OC，BD，设OD与BC交于点H，如图2，根据等腰三角形的性质可得OH⊥BC，CH＝BH，运用面积法可得BH＝DE＝4，就可求出CH，GH，BG．易证△GHD∽△GDB，运用相似三角形的性质可求出DG，然后运用勾股定理可求出DB，就可求出

；

（3）根据圆周角定理可得∠DAC＝∠DBC，在Rt△GDB中运用三角函数的定义就可解决问题． 【解答】解：（1）连接CO，如图1，

18

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∵AC∥OP，

∴∠OAC＝∠DOB，∠OCA＝∠COD， ∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠COD＝∠DOB． 在△COP和△BOP中，

，

∴△COP≌△BOP， ∴∠OCP＝∠OBP．

∵AB为⊙O的直径，PB为切线， ∴∠OBP＝90°， ∴∠OCP＝90°，

∴PC为⊙O的切线；

（2）连接OC，BD，设OD与BC交于点H，如图2，

∵OC＝OB，∠COD＝∠BOD， ∴OH⊥BC，CH＝BH， ∴S△OBD＝OD?BH＝OB?DE． ∵OB＝OD， ∴BH＝DE＝4， ∴CH＝BH＝4． ∵CG＝3，

∴GH＝1，BG＝5． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，

19

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴∠DHG＝∠GDB＝90°． 又∵∠DGH＝∠BGD， ∴△GHD∽△GDB， ∴

＝

2

，

∴DG＝GH?BG＝1×5＝5， ∴DG＝． ∴DB＝∴

＝

＝＝；

＝2

，

（3）∵∠DAC＝∠DBC， ∴tan∠DAC＝tan∠DBC＝

＝．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、三角函数的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，利用面积法求出BH的长是解决第（2）小题的关键．

12．已知AB为⊙O的直径，BM为⊙O的切线，点C为射线BM上一点，连接AC交⊙O于点D，点E为BC上一点．连接AE交半圆于F． （1）如图1，若AE平分∠BAC，求证：∠DBF＝∠CBF；

（2）如图2，过点D作⊙O的切线交BM于N，若DN⊥BM，求证：△ABC为等腰直角三角形；

（3）在（2）的条件下，如图3，延长BF交AC于G，点H为AB上一点，且BH＝2BE，过点H作AE的垂线交AC于P，连接OG交DN于K，若AP＝CG，EF＝1，求GK的长．

【分析】（1）首先证明∠CBF＝∠FAB，再证明∠DBF＝∠DAF，由∠DAF＝∠FAB即可证明；

（2）如图2中，连接DM．只要证明四边形ODMB是正方形即可解决问题；

（3）如图3中，连接PB，作CM⊥BC交HP的延长线于M，延长BG交CM于N，作GR⊥AB于R，交DN于T．首先利用全等三角形的性质证明CM＝CB＝AB，CN＝BE＝AH，由，PA＝CG＝PD＝DG，△BFE∽△ABE，推出

＝

＝，求出BF，BE，

＝

＝，求出

AB、CM、BC，在Rt△OGR中，求出GO，最后由DK∥OA，推出

20

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

GK即可； 【解答】（1）证明：如图1中，

∵AB是直径，BM是切线， ∴∠AFB＝∠ABC＝90°， ∵∠FAB＋∠ABF＝90°，∠ABF＋∠CBF＝90°， ∴∠CBF＝∠FAB， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠FAB， ∵∠DBF＝∠EAC， ∴∠DBF＝∠CBF．

（2）证明：如图2中，连接DM．

∵DM是⊙O的切线，DM⊥BC， ∴∠ODM＝∠DMB＝∠OBM＝90°， ∴四边形ODMB是矩形， ∵OD＝OB，

∴四边形ODMB是正方形， ∴∠DBO＝45°， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝45°，∵∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形．

21

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

（3）如图3中，连接PB，作CM⊥BC交HP的延长线于M，延长BG交CM于N，作GR⊥AB于R，交DN于T．

∵AP＝CG，∠BAP＝∠BCG＝45°，BA＝BC， ∴△BAP≌△BCG， ∴BP＝BG，

∴∠BPG＝∠BGP， ∵HM⊥AE，BN⊥AE， ∴HM∥BN，∵MN∥BH，

∴四边形MNBH是平行四边形， ∴MN＝BH，

∵∠APH＝∠CPM＝∠BGP＝∠BPG， PC＝PC，∠PCB＝∠PCM， ∴△PCM≌△PCB， ∴CM＝BC＝AB，

∵BC＝AB，∠ABE＝∠BCN，易证∠BAE＝∠CBN， ∴△ABE≌△BCN，

∴BE＝CN，设BE＝CN＝a，则BH＝MN＝2a， ∴CM＝BC＝AB＝3a， ∴AH＝BE＝a， ∵△BFE∽△ABE， ∴

＝

＝，

∵EF＝1， ∴BF＝3，BE＝∴AH＝CN＝BE＝∵AH∥CM， ∴

＝

＝，

＝

，

，

，AB＝BC＝CM＝3

∵AP＝CG，

∴AP＝DP＝DG＝CG， ∵GR∥BC， ∴

＝

＝，

22

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴AR＝GR＝

，OR＝RB＝

＝

， ，

在Rt△GOR中，GO＝∵DK∥OA， ∴

＝

＝，

∴GK＝．

【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线成比例定理、平行四边形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，题目比较难，综合性比较强，属于中考压轴题．

13．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．

例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．

请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：

（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）

（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；

（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是找出点C和点E重合的条件，并说明理由．

的中点，弦DE⊥AB于点F．请

【分析】（1）本题AB⊥DE，满足垂径定理，可以写出垂径定理的结论； （2）根据三角形相似就可以证出；

（3）若点C和点E重合，设∠BAC＝x，又D是

的中点，根据2∠CAD＝∠CAD＋

ACD＝180°﹣∠ABC，就可以求出∠BAC的度数． 【解答】解：（1）弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等． （写对一个给（1分），写对两个给2分）

23

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

（2）如图，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P． 结论：PA?PB＝PC?PD． 证明：连接AD，BC，

∵∠APD＝∠BPC，∠D＝∠B ∴△APD∽△BPC ∴PA?PB＝PC?PD；

（3）若点C和点E重合，

则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称，（8分） 设∠BAC＝x，则∠BAD＝x，∠ABC＝90°﹣x，（9分） 又D是

的中点，所以2∠CAD＝∠CAD＋∠ACD＝180°﹣∠ABC，

即2?2x＝180°﹣（90°﹣x），（10分） 解得x＝∠BAC＝30°．（11分） （若求得AB＝

或AF＝3?FB等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜

测点B、C是圆的十二等分点，然后说明．）

【点评】本题主要考查了垂径定理以及相交弦定理的证明过程，正确理解题意，读懂图意是解决本题的关键．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若DE＋EA＝4，⊙O的半径为5，求CF的长度．

【分析】（1）根据已知条件得到OD∥AC即可，于是得到结论；

（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH＝x．则由矩形的性质

2

推知：AE＝5﹣x，OH＝DE＝4﹣（5﹣x）＝x﹣1．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x

22

＋（x﹣1）＝5，通过解方程得到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF＝2AH＝2×4＝8，于是得到结论．

24

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【解答】（1）证明：∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ODB＝∠ACB， ∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，OD是半径， ∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°， ∴四边形ODEH是矩形， ∴OD＝EH，OH＝DE． 设AH＝x．

∵DE＋AE＝4，OD＝5，

∴AE＝5﹣x，OH＝DE＝4﹣（5﹣x）＝x﹣1．

222222

在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH＋OH＝OA，即x＋（x﹣1）＝5， 解得x1＝4，x2＝﹣3（不合题意，舍去）． ∴AH＝4． ∵OH⊥AF， ∴AH＝FH＝AF， ∴AF＝2AH＝2×4＝8， ∵AC＝AB＝2OD＝10， ∴CF＝18．

【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题时，利用了方程思想，属于中档题．

15．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线MN过点B，且∠MBC＝∠BAC．半径OD⊥BC，垂足为H，AD交BC于点G，DE⊥AB于点E，交BC于点F． （1）求证：MN是⊙O的切线； （2）求证：DE＝BC；

（3）若tan∠CAG＝，DG＝4，求点F到直线AD的距离．

25

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【分析】（1）欲证明MN是⊙O的切线，只要证明AB⊥MN即可； （2）由△ODE≌△OBG，推出DE＝BH，再根据垂径定理即可证明； （3）作FJ⊥DG于J．t由an∠GFJ＝

2

＝，设GJ＝x，则FG＝2x，FG＝

2

2

x，再

证明DF＝FG，在Rt△DFJ中，根据DF＝DJ＋FJ，列出方程即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠BCA＝90°，

∴∠ABC＋∠CAB＝90°， ∵∠MBC＝∠BAC， ∴∠MBC＋∠ABC＝90°， ∴∠ABM＝90°， 即AB⊥MN，

∴MN是⊙O的切线． （2）证明：∵OD⊥BC， ∴BH＝CH，

在△ODE和△OBG中，

，

∴△ODE≌△OBG， ∴DE＝BH＝BC．

（3）解：作FJ⊥DG于J．

易证∠CAH＝∠HDG＝∠GFJ ∴tan∠GFJ＝

＝，设GJ＝x，则FG＝2x，FG＝

x，

∵∠EDA＋∠EAD＝90°，∠CHA＋∠CAH＝90°，∠EAD＝∠ACH， ∴∠EDA＝∠CHA＝∠DHF， ∴DF＝FG＝x，

222

在Rt△DFJ中，∵DF＝DJ＋FJ，

222

∴5x＝4x＋（4﹣x）， 解得x＝2， ∴FJ＝4，

∴点F到直线AD的距离为4．

26

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【点评】本题考查切线的判定和性质、勾股定理、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的有的和性质等知识，综合性比较强，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

16．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是DE交AC于点G．

（1）如图1，求证：∠BAC＝∠OED；

（2）如图2，过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点H．若AF＝3，FB＝，求cos∠DEH的值．

的中点，弦DE⊥AB于点F，

【分析】（1）连接DO并延长交AC于M点，如图1，根据垂径定理的推理由点D是的中点得OM⊥AC，则∠AMO＝90°，再由DE⊥AB得到∠OFD＝90°，根据三角形内角和定理得到∠A＝∠D，而∠OED＝∠D，所以∠BAC＝∠OED；

（2）连接OE，如图2，根据切线的性质得OE⊥EH，则∠OEF＋∠DEH＝90°，而∠OEF＋∠FOE＝90°，根据等角的余角相等得∠FOE＝∠DEH，再根据AF＝3，FB＝可计算出直径AB＝定义得cos∠FOE＝

，则半径OB＝AB＝＝

，OF＝，在Rt△OEF中，根据余弦的

．

，于是得到cos∠DEH＝

【解答】（1）证明：连接DO并延长交AC于M点，如图1， ∵点D是

的中点，

∴OM⊥AC， ∴∠AMO＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠OFD＝90°， 而∠AOM＝∠DOF， ∴∠A＝∠D， ∵OD＝OE， ∴∠OED＝∠D，

27

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴∠BAC＝∠OED；

（2）解：连接OE，如图2， ∵EH为⊙O的切线， ∴OE⊥EH，

∴∠OEF＋∠DEH＝90°， 而∠OEF＋∠FOE＝90°， ∴∠FOE＝∠DEH， ∵AF＝3，FB＝， ∴AB＝AF＋BF＝∴OB＝AB＝

， ，

∴OF＝OB﹣FB＝， 在Rt△OEF中，OE＝

cos∠FOE＝＝＝，

∴cos∠DEH＝．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和解直角三角形．

17．如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，点D在CA的延长线上，DE⊥BC，垂足为点E，DE与⊙O相交于点H，与AB相交于点l，过点A作⊙O的切线AF，与DE相交于点F．

（1）求证：∠DAF＝∠ABO；

（2）当AB＝AD时，求证：BC＝2AF；

（3）如图2，在（2）的条件下，延长FA，BC相交于点G，若tan∠DAF＝，EH＝

28

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

2

，求线段CG的长．

【分析】（1）连接AO，如图1，由OA＝OB可得∠OAB＝∠OBA，要证∠DAF＝∠ABO，只需证∠DAF＝∠BAO，只需证∠FAO＝∠DAB＝90°即可；

（2）由于BC＝2OA，要证BC＝2AF，只需证OA＝AF，只需证△AFD≌△AOB即可； （3）过点A作AN⊥BC于N，连接OH，OA，如图2，易得BE＝2IE，DE＝2EC，DI＝2AF＝BC，从而可得EC＝3IE＝BE．设BE＝2x，则有EC＝3x，BC＝5x，HO＝BO＝

，EO＝．在Rt△HEO中运用勾股定理可求出x．利用三角函数可得BN＝2AN＝

4NC，则有BC＝5NC＝10，从而可求出NC、ON，易证△AON∽△GOA，根据相似三角形的性质可求出OG，从而可求出CG． 【解答】解：（1）连接AO，如图1． ∵AF与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AF，即∠FAO＝90°． ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝90°，

∴∠FAO＝∠DAB＝90°， ∴∠DAF＝∠BAO． ∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠DAF＝∠ABO；

（2）∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∴∠DIB＝90°＋∠ABO． ∵∠DIB＝90°＋∠D， ∴∠D＝∠ABO．

在△AFD和△AOB中，

，

∴△AFD≌△AOB， ∴AF＝AO，

∴BC＝2OA＝2AF；

（3）过点A作AN⊥BC于N，连接OH，OA，如图2． ∵∠D＝∠B＝∠BAO＝∠DAF，tan∠DAF＝，

29

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴tanB＝

＝，tanD＝

＝，

∴BE＝2IE，DE＝2EC．

又∵∠DIA＋∠D＝∠DAF＋∠FAI＝90°， ∴∠FIA＝∠FAI， ∴FI＝FA，

∴DI＝2AF＝BC， ∴DE﹣IE＝BE＋EC， ∴2EC﹣IE＝2IE＋EC， ∴EC＝3IE＝BE．

设BE＝2x，则有EC＝3x，BC＝5x，HO＝BO＝在Rt△HEO中，根据勾股定理可得 （）2＋（2

）＝（

2

，EO＝．

），

2

解得x＝2（舍负）．

∵AN⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠NAC＝∠ABC， ∴tan∠NAC＝

＝，tan∠ABC＝

＝，

∴BN＝2AN＝4NC， ∴BC＝5NC＝10，

∴NC＝2，ON＝5﹣2＝3．

∵∠AON＝∠GOA，∠ANO＝∠OAG＝90°， ∴△AON∽△GOA， ∴∴

＝

，

＝，

，

．

∴OG＝

∴CG＝OG﹣OC＝

30

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【点评】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，用含有x的代数式表示出OE、OH，并在Rt△HEO中运用勾股定理是解决第（3）小题的关键．

18．如图①，已知AB是⊙O的直径，C是连接AC，D是

上的一个动点（点C与点A、B不重合），

的中点，作弦DE⊥AB，垂直为F．

（1）若点C和点E不重合，连接BC、CE和EB，当△BCE是等腰三角形时，求∠CAB

的度数；

（2）若点C和点E重合，如图②，探索AB与AC的数量关系并说明理由．

【分析】（1）当△BCE是等腰三角形时，分两种情况： ①当CE＝BC时，如图1，设表示出＝36°；

②当CE＝BE时，如图2，设4x＝180，x＝45°，∠CAB＝（2）如图3，点C和点E重合，设

的度数为x°，同理可得：

＝45°； 的度数为x°，则

＝x°，同理得：3x＝180，

＝x°＋3x°＝4x°，

的度数为x°，根据弦相等则弧相等得：

，

＝2x°＋3x°＝5x°，则5x＝180，可求得x＝36°，则∠CAB＝

x＝60°，则∠A＝30°，利用30度的三角函数可得结论． 【解答】解：（1）连接OC，

当△BCE是等腰三角形时，分两种情况： ①当CE＝BC时，如图1， ∴

，

31

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

设的度数为x°，则

，

∵

＝2x°，

∵DE⊥AB，AB为直径， ∴＝2x°， ∴＝x＋2x＝3x， ∵D是的中点，

∴，

∴＝6x°，

∴＝2x°＋3x°＝5x°，

∵

＝180°，

5x＝180， x＝36°，

∴∠BOC＝72°， ∴∠CAB＝

＝36°；

②当CE＝BE时，如图2， ∴， 设的度数为x°，

∴

＝x°，

∵DE为弦，OB为半径， ∴°，

∴＝3x°，

∵D是的中点，

∴，

∴＝6x°，

∴＝x°＋3x°＝4x°，

∵

＝180°，

4x＝180， x＝45°，

32

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴

＝

＝45°＋45°＝90°，

∴∠BOC＝90°， ∴∠CAB＝

＝45°，

综上所述，当△BCE是等腰三角形时，∠CAB的度数是18°或45°； （2）AC＝

AB，理由是：

如图3，点C和点E重合， 设

的度数为x°，则

＝x°，

∵D是的中点， ∴＝2x°，

∴＝x°＋2x°＝3x°，

∵

＝180°，

3x＝180，

x＝60°， ∴∠A＝30°，

∵AB为⊙O的直径， ∴cos30°＝＝，

∴AC＝

AB．

33

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【点评】本题考查的知识点有：等腰三角形的判定、圆周角定理、圆心角与弦、弧的关系、三角函数、垂径定理、三角形内角和定理等．综合性强，并采用分类讨论的思想，本题主要运用弧的度数与圆心角的度数相结合，利用方程解决问题，有难度．

19．已知，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E， （1）如图1，若BE＝DE，求证：

＝

；

（2）如图2，在（1）的条件下，连接OC，AP为⊙O的直径，PQ为⊙O的弦，且PQ∥AB，求证：∠OCD＝∠APQ；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD分别与OA、OC交于点G、H，连接DQ，设CD与AP交于点F，

若PQ＝2CF，BH＝5GH，DQ＝4，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接AD、BC，只要证明△AED≌△CEB，即可解决问题． （2）连接AC．想办法证明：∠OCD、∠APQ都与∠PAB相等即可．

（3）连接AD、AH、BP、BQ、DP，延长CO交PQ于M，作AN⊥BD于N．由△COF≌△POM，推出M是PQ的中点，OC垂直平分AB，设GH＝a，则BH＝5GH＝5a，由OC垂直平分AB，推出AH＝BH＝5a，∠HAB＝∠HBA，推出∠AHD＝2∠ABH，由＝

＝

，推出∠ADC＝∠CDB＝∠ABD，推出∠ADH＝2∠ADC＝2∠ABH＝∠AHD，

推出AH＝AD＝5a，由△ADF≌△GDF，推出AD＝DG＝5a，推出DH＝6a，BD＝11a，由AH＝AD，AN⊥DH，推出NH＝DH＝3a，AN＝＝8a，在Rt△ABN中，

34

＝4a，BN＝BH＋NH

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

tan∠ABD＝

＝

＝，由

＝

，推出∠ABD＝∠APD，推出tan∠ABD＝tan∠

＝5

a，再证明BQ

APD＝，推出＝，推出PD＝2AD＝10a，AP＝

为⊙O的直径，想办法列出方程即可解决问题． 【解答】（1）证明：连接AD、BC，

∵

＝

，

∴∠B＝∠D，

在△AED和△CEB中，

，

∴△AED≌△CEB， ∴AD＝BC， ∴

＝

．

（2）证明：连接AC．

∵

＝

，

∴∠BAC＝∠ACD， ∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠BAO＝∠OCD， ∵PQ∥AB，

∴∠BAO＝∠APQ， ∴∠COD＝∠APQ．

（3）连接AD、AH、BP、BQ、DP，延长CO交PQ于M，作AN⊥BD于N．

35

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∵∠OCD＝∠APQ．OC＝OP，∠AOC＝∠POM， ∴△COF≌△POM， ∴CF＝PM， ∵PQ＝2CF， ∴PQ＝2PM，

∴M是PQ的中点， ∴OM⊥PQ，

∴∠CFO＝∠PMO＝90° ∴AP⊥CD， ∴

＝

，

PQ∥AB，

∴∠OMP＝∠AKM＝90°， ∴OC⊥AB， ∴

＝

，

∴AK＝BK， ∴

＝

＝

，OC垂直平分AB，设GH＝a，

∴BH＝5GH＝5a， ∵OC垂直平分AB，

∴AH＝BH＝5a，∠HAB＝∠HBA， ∴∠AHD＝2∠ABH， ∵

＝

＝

，

∴∠ADC＝∠CDB＝∠ABD，

∴∠ADH＝2∠ADC＝2∠ABH＝∠AHD， ∴AH＝AD＝5a， ∵CD⊥AP，

∴∠AFD＝∠GFD＝90°，

∵DF＝DF，∠ADC＝∠CDB， ∴△ADF≌△GDF， ∴AD＝DG＝5a，

∴DH＝6a，BD＝11a， ∵AH＝AD，AN⊥DH， ∴NH＝DH＝3a， AN＝

在Rt△ABN中，

36

＝4a，BN＝BH＋NH＝8a，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6p78.html