实验3 用三线摆测物体的转动惯量(new)

实验3

用三线摆测定物体的转动惯量

实验3 用三线摆测定物体的转动惯量

转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它与刚体的质量的大小、转轴的位置和刚体质量的分布有关。对于形状简单规则的均匀刚体，测出其外形尺寸和质量，可用数学方法计算出其绕特定转轴的转动惯量，而对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，有时甚至不可能，一般要通过实验方法来测定。测定刚体转动惯量的实验方法有多种，如三线摆法及转动惯量仪法等。本实验用三线摆法测定刚体的转动惯量，其特点是操作简单。为了便于与理论计算值比较，实验中被测物体仍采用形状简单规则的刚体。对于形状较复杂的刚体，如枪炮、弹丸、电动机转子、机器零件等都可以测量出其转动惯量。

【实验目的】

1. 学会正确测量长度、质量和时间的方法； 2. 用三线摆测定圆盘和圆环对称轴的转动惯量； 3. 验证转动惯量的平行轴定理。

【实验仪器】

FB210A型三线摆组合实验仪、FB213A型数显计时计数毫秒仪、米尺、游标卡尺。

【实验原理】

物理学中转动惯量的数学表达式为I??m?ri2i。式中，mi为质元的质量、ri为该质元

到转轴的距离。

1．测定悬盘绕中心轴的转动惯量J0 图1是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴OO?作扭摆运动。因悬盘来回摆动的周期与其转动惯量大小有关，所以，悬挂物不同，转动惯量也就不同，相应的摆动周期也将发生变化。

如图2示，当悬盘离开平衡位置向某一方向转过一个很小的角度θ时，整个悬盘的位置也将升高一高度h，即悬盘既绕中心轴转动，又有升降运动，在任何时刻其转动动能为

1d???J0?2????，上下运动的平动动能为2dt??12?dh?mv?v??，重力势能为mgh，如果忽略摩擦力，则在重力场中机械能守恒，即 2dt??

1?d??1?dh?2J0??+mgh=恒量 （1） ?+2m??dt?2?dt?2上式中m为悬盘的质量，J0为其转动惯量。取悬盘在平衡位置对重力势能为零，在悬线足

1?d?1?dh?够长，且悬盘作小角度转动时，m??远小于J0?2?dt?2?dt2??。略去式（1）中平动动能并?2对时间求导，则有

d?d2?dhJ0()2?mg?0 （2）

dtdtdt若令上下盘之间的距离为H，悬线长为l，r和R分别表示上下盘上系线点到圆心的距离，则根据图2，应用简单的几何关系可以得到悬盘上升的高度

(a1c1)2?(a1c1?)2 ????h?OO?a1c1?a1c1?a1c1?a1c1?222由于(a1c1)2?(a1b1)2?(bc 11)?l?(R?r)而(a1c1?)2?(a1b1?)2?(b1?c1?)2?l2?(R2?r2?2Rrcos?)

?4Rrsin22，当偏转角θ很小时，得 h?2Rr(1?cos?)?a1c1?a1c1?a1c1?a1c1?sin

图2

?22?, ac?ac??H ，即H?l2?(R?r)2，所以h?Rr?，对t求导得 ?111122H

dhRr?d??() （3） dtHdtd2?mgRrd2?mgRr2将式（3）代入式（2）后可得 ，即??()????? ?()??0022dtHJ0dtH0J可见，振动的角加速度与角位移成正比，方向相反，显然上式是一个简谐运动方程，其解为

???0cos(?0t??)，式中?0?动的周期TmgRr为悬盘转动的角频率，θ0为角振幅。因为简谐运HJ0?2??0，于是有

J0?mgRr2T （4） 4?2H这就是测定悬盘绕中心轴转动的转动惯量的计算公式。 2．测定圆环绕中心轴的转动惯量 将质量为M的圆环放在悬盘上，使两者中心重合（使物体的质心恰好在仪器的转轴上），组成一个系统。测得系统绕中心轴的转动的周期为T1，则它们总的转动惯量为

J1?(m?M)gRr2T1 （5）

4?2HM22(R内?R外)，式中R外为圆环外半径，2得圆环绕中心轴的转动惯量为 J= J1- J0

圆环绕中心轴转动惯量的理论计算公式为 J??R内为圆环内半径。

3．测定圆柱体绕中心轴的转动惯量Jx

若质量为m的物体绕过其质心轴的转动惯量为J0，当转轴平行移动距离x时（如图3所示），则此物体对新轴OO?的转动惯量为Joo'?J0?mx2。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

将质量均为m'，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的两排小孔）。按上面同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴OO?的转动周期Tx，则可求出每个柱体对中心转轴OO?的转动惯量:

Jx?1?(m0?2m')gRrTx2?J0? (6)

?2?4?2H??如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x以及小圆柱体的半径Rx，则由平行轴定理可求得

O' x C m O 12 J'x?m'x?m'Rx (7)

2比较Jx与J'x的大小,可验证平行轴定理。

2图3 平行轴定理

【实验内容】

一．调整三线摆装置 ：

1．观察上圆盘中心的水准器，并调节底板上三个调节螺钉，使仪器处于水平状态。 2．观察下圆盘中心的水准器，利用上圆盘上的三个调节螺丝，使三悬线等长，并固定紧定螺钉，再用米尺，测量悬线的长度。

3．调整底板左上方的光电传感接收装置，使下圆盘边上的挡光杆能自由往返通过光电门槽口。

二．测量周期 T0 和T1、TX ：

1．接通FB213A型数显计时计数毫秒仪的电源，把光电接收装置与毫秒仪连接。合上毫秒仪电源开关， 使用“功能”按钮选择周期“摆动”，预置测量次数为50次（可根据实验需要从1~99次任意设置）。

2．设置计数次数时，可分别按“置数”键的十位或个位按钮进行调节，（注意数字调节只能按进位操作），设置完成后自动保持设置值，（直到再次改变设置为止）。

3．在下圆盘处于静止状态下，拨动上圆盘的“转动手柄”，将上圆盘转过一个小角度（5?左右），带动下圆盘绕中心轴 OO?作微小扭摆运动。摆动若干次后，按毫秒仪的“执行” 键，毫秒仪开始计时，每计量一个周期，周期显示数值自动逐1递减 ，直到递减为0时，计时结束，毫秒仪显示出累计50个周期的时间。（说明：毫秒仪计时范围：0~99.999s,分辨率为1ms）重复以上测量5次，将数据记录到表1。如此测5次，进行下一次测量时，测试仪要先按“复位”键。

4．将待测圆环置于悬盘上，使两者中心轴线重合，按以上方法求出圆环与悬盘系统的摆动周期T1，算出J1，从而计算出待测圆环的转动惯量J = J1－J0。

5．取下圆环，把质量和形状都相同的两个圆柱体对称地置于悬盘上，再按同样方法求出摆动周期Tx。

6．如图4所示，分别测出小圆盘和悬盘三悬点之间的距离a和b，各取其平均值，算出悬点到中心的距离r和R。

图4

7．测出两圆盘之间的垂直距离H、圆环的内直径2R内、外直径2R外、圆柱体直径2Rx

和圆柱体中心至悬盘中心的距离x。

8．记下悬盘、圆环和圆柱体的质量m、M、m′（上述质量均已标明在盘上）。 9．将各实验结果与理论计算相比较，分析误差原因。

【实验数据记录及数据处理】

表1 转动周期的测定 悬盘 摆动50次所需时间t(s) 周期(s) 1 2 3 平均 T0= 1 2 3 平均 T1= 表2 各长度量和质量的测定

上下圆盘上圆盘悬之间的垂 孔间距直距离-2a(10m) -2H(10m) 1 2 3 平均 r?悬盘加圆环 悬盘加两圆柱体 1 2 3 平均 Tx= 下挂悬盘悬孔间距-2b(10m) 待测圆环 外直径2R外-2(10m) 内直径2R内-2(10m) 小圆柱体直径 2Rx -2(10m) 放置小圆柱体两小孔间距-22x(10m) H? a? b? R外? R内? Rx? x? 33a? ，R?b? 33悬盘质量m= kg；待测圆环质量M= kg；圆柱体质量m′= kg 3．各转动惯量的数据计算（有关计算应列出计算公式、代入实验数据、再写出计算结果，注意单位的统一性）

（1）悬盘绕中心轴的转动惯量：J0=

（2）圆环绕中心轴的转动惯量：实验值J= ；理论值J′= 百分误差EJ=

（3）圆柱体绕中心轴的转动惯量：实验值Jx= ；理论值J′x= 百分误差EJx=

并由此说明平行轴定理是否成立？如果不成立，请说明原因。

注意事项

1．注意转动三线摆的上圆盘时，不可使下圆盘发生左右颤摆，因为我们没有考虑左右摆动的能量。

2．式（4）只有在θ很小，三边相等，张力相等，上下盘水平，绕过两盘中心的轴转动的条件下才成立。所以在测定周期时，转角θ不宜过大，一般不超过10°。

3．怎样启动三线摆？先使已调水平的下圆盘保持静止，然后轻轻转动上圆盘约5°左右，随即退到原处。

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