《实际问题与二次函数》教学案例 - 图文

课题：《实际问题与二次函数》第一课时教学设计

课型：新授课 教学目标 知识与技能：

（1）通过对实际问题情境的分析建立二次函数模型，明确二次函数模型构成要素（函数解析式、自变量的取值范围、函数的图像等）。

（2）会用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

过程与方法

（1）经历探索、分析体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；使学生在“感受问题情境、数学活动、数学应用、回顾反思”的过程中，经历数学建模的基本过程。

（2）使学生在主动联系自己生活经历的过程中，体会到二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，从而感受数学（函数）的应用价值。

情感与价值观：

（1）使学生在经历数学建模的过程中培养“应用数学”的意识。

（2）使学生领会函数关系也正是揭示了现实世界不同数量间动态联系的规律，培养学生运用辩证与联系的观点看待问题。

教学重难点

重点：从实际问题中抽象出二次函数关系；运用二次函数及性质解决最值等实际问题；体会数形结合的重要性

难点：从实际问题中抽象出二次函数的模型；理解自变量取值范围的限制对函数最值的影响，发展解决问题的能力．

教学方法：引导探究法 问题解决法 合作交流法

教学准备：多媒体、课件、课前导学

教学过程

一、 创设情境 激趣导题

谈话入题：生活是数学的源泉，数学是人们认识世界的工具，掌握世界的钥匙。而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想和方法。如二次函数在实际生活中就有着广泛的应用。在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。

导入课题：如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？今天我们就一起来探讨二次函数的应用问题。

板书课题 26.3 实际问题与二次函数

第１课时 如何获得最大利润问题

二、引导探究 教学新知

自主探究

问题1. 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？

教师展示问题: （1）该如何定价呢？

学生分组讨论：如何利用函数模型解决问题．教师帮助学生解决问题．给同学们三分钟的时间，请同学们仔细阅读题目，搞清题目所包含的含义。

教师点评：对于数学应用题，让学生读懂题才是解决问题的关键所在。

教师展示问题：（2）本问题中的变量是什么？（利润随着价格的变化而变化）；

学生回答：销售单价上调的元数

教师关注：

学生对商品利润问题的理解：利润＝销售额－进货额

销售额＝销售单价×销售量

进货额＝进货单价×进货量

板书：总利润＝每件商品的利润×总稍售量

学生独立完成分析：没调价之前商场一周的利润为 6000元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为 （20+x）元，每周的销售量可表示为（300-10x） 件，一周的利润可表示为 (20+x)( 300-10x) 元，

组内讨论交流：要想获得6090元利润怎样用方程解决

提问：你能在黑板上写出表达式吗？

解决问题：要想获得6090元利润可列方程(20+x)( 300-10x) =6090

评价：你完成的很好。这也是我们学习一元二次方程式就会解决的问题

过度：在上述题意中，我们已经知道了利润的具体数值，换一个问法，要想获得最大利润 如何定价呢？

合作交流

问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？

教师关注：学生对两个变量的理解．

利润＝销售额－进货额

师生共同分析：剖析问题 抽丝剥茧

师问 ：每件的定价多少？销售价多少？利润多少？

生答 ： 40元 60元 60-40（元）

师问： 实际过程中每件按多少元卖的？

生答： 因为涨价，设涨价x元，实际售价就是（60+x）元

小组讨论 ： 每件的利润是多少？

生答： （60+x-40）元

讲析 ： 我们再来看销售量，没涨价之前，一周卖300件，每涨价一元，每星期要少卖出10件，涨2元每周少卖几件？涨x元少卖几件？

生答：涨2元，少卖20件，涨x元少卖10x件

师评：以上通过启发引导，让学生明白，假设售价提高了X个1元，得出实际每周销售件数减少10X，此时总销售量为：300-10X。这个问题的解决就有了突破性的进展。后面的解答就可迎刃而解。

讲析：那么请大家想想， 这家商店利润的提高与定价之间有一种什么样的关系呢？

生答：利润就是（60+x-40）（300-10x）

师问：如果利润用y来表示，那么y与每件涨价x元的函数关系式是什么？

讲析：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化。我们先来确定y随x变化 的函数式。涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出（300－10x）件。因此，所得利润

y＝（60＋x-40）（300－10x）

2

即y＝－10x＋100x＋6000，

其中，0≤x≤30。

师问：怎样确定x的取值范围？

小组交流 ，完成对自变量取值范围的确定

探究： 如何求解最值？

提问：大家能观察出这是一个什么函数吗？

生答：老师，这是一个二次函数。

提问：这个二次函数有最大值还是最小值？

生答：因为a小于0，所以二次函数有最大值。

学生完成：现在请大家用配方法（或顶点坐标公式）求出它的最大值

归纳总结：（1）画出函数的图像，观察图像的最高（或最低）点，就可以得到函数的最大（或最小）值。

（2）依照二次函数的性质，判断该二次函数的开口方向，进而确定它有最大值还是最小值；再利用顶点坐标公式，直接计算出函数的最大（或最小）值。

巩固练习：

已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

三、 引导交流 自主建构

小组讨论后得到：总利润＝每件商品的利润×总稍售量

用二次函数解决最大利润问题

教师小结： （1）用函数的观点来认识问题

（2）建立函数模型

（3）找到两个变量之间的关系

（4）从利润问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值

（5）在降价的情况下，最大利润问题

（6）先间接设出未知数，然后再予以解决问题。

四、应用知识 解决问题

某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

五、拓展延伸 评价激励

中考链接（2013?衢州）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种 多少棵橘子树，橘子总个数最多．

本题针对知识点练习，让学生体会中考离我们很近，激发学生的学习热情和学习信心。

作业设计：

商场经营一种成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售500千克；销售单价每上涨1元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，请回答以下问题； (1) 当月销售单价定为每千克55元时，每千克利润=__________元；月销售量 =________千克；月销售利润=___________元。 (2) 设销售单价定为每千克x元，每千克利润=______元；月销售量 =_______千克。若设月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式______，当销售单价x=_____元时，可获得销售利润最______为_______元。

板书设计： 《实际问题与二次函数》

第一课时如何获得最大利润问题

例题 解：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化。

y＝（60＋x-40）（300－10x） 2

即y＝－10x＋100x＋6000

2

=-10(x-5)+6250

其中，0≤x≤30。

当x=5时

最大利润y=6250(元)

备后反思：本节课是最大利润数学模型的建立，学生还很难做到用函数观点看待实际问题，讲练中要注意数与形结合思想的深入，提高学生的认知。

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