点到平面的距离的几种求法
更新时间:2023-09-17 05:37:01 阅读量: 高中教育 文档下载
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求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点.本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨,结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题,概括出求‘点到平面的距离’的几种基本方法.
例:已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在平面,且GC=2,求点B到平面EFG的距离. 一、直接通过该点求点到平面的距离 1.直接作出所求之距离,求其长. 解法1.如图1,为了作出点B到平面EFG的距离,延长FE交CB的延长线于M, 连 结GM,作BN⊥BC,交GM于N,则有BN∥CG,BN⊥平面ABCD.作BP⊥EM,交EM于P,易证平面BPN⊥平面EFG.作BQ⊥PN,垂足为Q,则BQ⊥平面EFG.于 是BQ是点B到平面EFG的
距离.易知BN=,BP=,PZ=,由BQ·PN=PB·BN,得BQ=
.
图1 图2 2.不直接作出所求之距离,间接求之. (1)利用二面角的平面角.
课本P.42第4题,P.46第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点,它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”.如图2,二面角M-CD-N的大小为α,A∈M,AB⊥CD,AB=a,点A到平面N的距离AO=d, 则有d=asinα. ①
①中的α也就是二面角的大小,而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角. 解法2.如图3,过B作BP⊥EF,交FE的延长线于P,易知BP=
,这就是点
B到二面角C-EF-G的棱EF的距离.连结AC交EF于H,连结GH,易证∠GHC就是二面角C-EF-G的平面角.∵ GC=2,AC=4,GH=
,sin∠GHC=2/
,AH=
,∴ CH=3
,于是由①得所求之距离d=BP·sin∠
GHC=· =.解略.
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(2)利用斜线和平面所成的角.
如图4,OP为平面α的一条斜线,A∈OP,OA=l,OP与α所成的角为θ,A到平面α的距离为d,则由斜线和平面所成的角的定义可知,有d=lsinθ.② 经过OP与α垂直的平面与α相交,交线与OP所成的锐角就是②中的θ,这里并不强求要作出点A在α上的射影B,连结OB得θ.
解法3.如图5,设M为FE与CB的延长线的交点,作BR⊥GM,R为垂足.又GM⊥EB,易得平面BER⊥平面EFG,ER为它们的交线,所以∠REB就是EB与平面EFG所成的角θ.由△MRB∽△MCG,可得BR=,在Rt△REB中,∠B=90°,BR=,EB=2,所以sinθ=BR/ER=,于是由②得所求
之距离d=.
图5 图6 (3)利用三棱锥的体积公式.
解法4.如图6,设点B到平面EFG的距离为d,则三棱锥B-EFG的体积V=(1/3)S△EFG·d.另一方面又可得这个三棱锥的体积V=(1/3)S△FEB·CG,可求得S△
FEB
=(1/4)S△DAB=2,S△EFG=,所以有1/3··d=1/3·2·2,得
d=.
二、不经过该点间接确定点到平面的距离
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网址:www.zs960.com 至善教育祝您的孩子成人!成才!成功! 1.利用直线到平面的距离确定
解法5.如图7,易证BD∥平面EFG,所以BD上任意一点到平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.由对称思想可知,取BD中点O,求点O到平面EFG的距离较简单.AC交EF于H,交BD于O.易证平面GHC⊥平面EFG,作OK⊥HG,K
为垂足,OK=为所求之距离.
图7 图8 2.利用平行平面间的距离确定
如图8,把平面EFG补成一个正四棱柱的截面所在的平面,可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗.面GMT是正四棱柱ABCD-A1B1GD1经过F、E、G的截面所在的平面.MG交BB1于N,TG交DD1于Q,作BP∥MG,交CG于P,连结DP,则有平面GTM∥平面PDB.它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B平移到平面PDB上任何一个位置,哪里方便就在哪里求.
这两个平行平面的距离d又同三棱柱GQN-PDB的体积有关,所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.据此可得解法6.
解法6.三棱柱GQN-PDB的体积V=S△PDB·d,另一方面又有V=S△CDB·B
N,可求得BN=2/3,CP=4/3,PB=PD=,BD=,S△PDB=,
S△CDB=8,所以
·d=8·2/3,得d=为所求之距离.
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