2015年最新高考总复习教师用书的完美版第5篇 第3讲

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第3讲 等比数列及其前n项和

基础巩固题组 (建议用时:40分钟)

一、选择题

1.(2013·六安二模)已知数列{an}的前n项和Sn=3n-2,n∈N*,则( ). A.{an}是递增的等比数列

B.{an}是递增数列,但不是等比数列 C.{an}是递减的等比数列 D.{an}不是等比数列,也不单调 解析 ∵Sn=3n-2,∴Sn-1=3n-1-2,

∴an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=2×3n-1(n≥2), 当n=1时,a1=S1=1不适合上式,但a1<a2<a3<…. 答案 B

72.(2014·广州模拟)已知等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn.若S3=2,则S6等于( ). 31

A.2 C.63

63

B.2 127D.2 a1?1-23?a1?1-26?7163

解析 S3==7a1=2,所以a1=2.所以S6==63a1=2. 1-21-2答案 B

3.(2013·温州三模)已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2a25,a2=1,则a1=( ). 1

A.2 C.2

解析 由a3·a9=a5·a7=2a25,

2

B.2 D.2

得a7=2a5,又a2=1,∴a2q5=2a2q3, a212

∴q2=2,∴q=2,∴a1=q==2. 2答案 B

4.在等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为( ). A.1 1

C.1或-2

1B.-2 1

D.-1或2 2

?a1q=7,

解析 根据已知条件? 2

?a1+a1q+a1q=21.

1+q+q212得

q2=3.整理得2q-q-1=0,解得q=1或-2. 答案 C

5.(2014·浙江十校联考)若方程x2-5x+m=0与x2-10x+n=0的四个根适当排列后,恰好组成一个首项为1的等比数列,则m∶n值为( ). 1

A.4 C.2

1

B.2 D.4

解析 设方程x2-5x+m=0的两根为x1,x2,方程x2-10x+n=0的两根为x3,x4.

?x1+x2=5,?x3+x4=10,

?则?由题意知x1=1,x2=4,x3=2,x4=8,∴m

x·x=m,x·x=n,?12?341=4,n=16,∴m∶n=4. 答案 A 二、填空题

6.(2013·广东卷)设数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3

+|a4|=________.

解析 因为an=a1qn-1=(-2)n-1,所以a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15. 答案 15

7.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=60,则a7+a8=________.

解析 ∵a1+a2=a1(1+q)=30,a3+a4=a1q2(1+q)=60,∴q2=2,∴a7+a8=a1q6(1+q)=[a1(1+q)]·(q2)3=30×8=240. 答案 240

8.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为________.

解析 由已知条件,得2Sn=Sn+1+Sn+2, an+2即2Sn=2Sn+2an+1+an+2,即=-2.

an+1答案 -2 三、解答题

9.(2013·四川卷)在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和. 解 设该数列的公比为q.

由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2, 所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或1. 由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去. 故公比q=3,首项a1=1. 3n-1所以,数列的前n项和Sn=2.

10.(2013·济南期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=4,a3+a4

=17.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=2an+2,证明数列{bn}是等比数列并求其前n项和Tn.

(1)解 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由题意知?a3+a4=a1+2d+a1+3d=17,? a=a+d=4,?21

解得a1=1,d=3,∴an=3n-2(n∈N*). (2)证明 由题意知,bn=2an+2=23n(n∈N*), bn-1=23(n-1)=23n-3(n∈N*,n≥2),

bn23n∴=3n-3=23=8(n∈N*,n≥2),又b1=8, bn-12

∴{bn}是以b1=8,公比为8的等比数列, 8?1-8n?8nTn==7(8-1).

1-8

能力提升题组 (建议用时:25分钟)

一、选择题

1.(2014·兰州模拟)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6

1

=9,则log3(a5+a7+a9)的值是( ). 1

A.-5 C.5

B.-5 1D.5 解析 由log3an+1=log3an+1(n∈N*),得log3an+1-log3an=1且an>0,即an+1an+1

log3a=1,解得a=3,所以数列{an}是公比为3的等比数列.因为a5+

nn1

a7+a9=(a2+a4+a6)q3,所以a5+a7+a9=9×33=35.所以log3(a5+a7+a9)=1

log335=-log335=-5. 答案 B

2.(2014·山东省实验中学诊断)在各项为正的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为22,则2a7+a11的最小值是( ). A.16 C.22

B.8 D.4

解析 由题意知a4·a14=(22)2=a29,即a9=22.设公比为q(q>0),所以2a72a942

+a11=q2+a9q2=q2+22q2≥ 24242422

2×22q=8,当且仅当2=22q,即q=2时取等号,其最小值qq

为8. 答案 B 二、填空题

3.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,y∈R,都有f(x)·f(y)=1

f(x+y),若a1=2,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是______.

1?1?

解析 由已知可得a1=f(1)=2,a2=f(2)=[f(1)]2=?2?2,a3=f(3)=f(2)·f(1)=

???1?3n?1?n

[f(1)]=?2?,…,an=f(n)=[f(1)]=?2?,

????

3

1?1??1??1?∴Sn=2+?2?2+?2?3+…+?2?n

??????1??1???1-?2?n?2?????1?n

??=

1=1-?2?, 1-21

∵n∈N*,∴2≤Sn<1. ?1?

答案 ?2,1?

??三、解答题

3

4.(2013·天津卷)已知首项为2的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 113

(2)证明Sn+S≤6(n∈N*).

n

(1)解 设等比数列{an}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列, 所以S3+2S2=4S4-S3,

即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3, a41

于是q=a=-2. 3

3

又a1=2,所以等比数列{an}的通项公式为 3?1?n-1n-13-??an=2×2=(-1)·2n. ??

?1?(2)证明 Sn=1-?-2???1

?2+nn?2?2+1?,n为奇数,?12+??2n?2n-1?,n为偶数.

n

1?1?

,Sn+S=1-?-2?

??n

n

1

=?1?n1-?-2???

1

当n为奇数时,Sn+S随n的增大而减小,

n

1113

所以Sn+S≤S1+S=6. n

1

11125

当n为偶数时,Sn+S随n的增大而减小,所以Sn+S≤S2+S=12.故对于n

n

n

2

113

∈N,有Sn+S≤6.

n

*

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/6olv.html

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