高等数学第五章定积分试题

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第五章 定 积 分

§5—1 定积分概念

一、填空题

1． f(x)在[a,b]上可积的充分条件是 。

2． limn???k?1nk用定积分表示可表示成 。

??nn3． 由定积分的几何意义知4． 定积分

???sinxdx= ，?sinxdx= 。

???a?aa2?x2dx的几何意义是 。

二．判断题。

1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。 （ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。 （ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 （ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上一定不可积。（ ） 三．单项选择题。 1． 定积分（A）、（C）

?baf(x)dx表示和式的极限是 。

b?ankf((b?a))?nk?1nlimn?? （B）、

limn??b?ank?1f((b?a)) ?nk?1nlim?f(?n??k?1nk)?xk（?i为?xi中任一点）

（D）、

mil????f(?k?1nk)?xk

（??max{?xi}，?i为?xi中任一点）

1?i?nn2．定积分

?baf(x)dx=

lim?f(????k?1k)?x表明

k（A）、[a,b]必须n等分,

?k?k是[xk-1,xk]的端点。 必是[xk-1,xk]的端点。

（B）、[a,b]可以任意分,

（C）、[a,b]可以任意分, ??max{?xk}，?k可在[xk-1,xk]上任取。

1?k?n（D）、[a,b]必须等分, ??max{?xk}，?k可在[xk-1,xk]上任取

1?k?n四．利用定积分定义计算

?baxdx (a?b)

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§5—2 定积分的性质 中值定理

一、判断题

1．若函数f(x)在[a,b]上连续，且

?baf(x)2dx?0则在[a,b]上f(x)?0 （ ）

2．若f(x),g(x)在[a,b]上可积且f(x)

?baf(x)dx??g(x)dx （ ）

ab3．若函数f(x)在[a,b]上可积且[c,d]? [a,b] 则

?dcf(x)dx??f(x)dx （ ）

ab4．若函数f(x)在[a,b]上可积，则至少有一点??[a,b],使?bf(?)(b?a) （ ）

a5．不等式 ?32?9??1xarctaxndx?3 成立。 （ 3二、单选题

a) 积分中值定理

?baf(x)dx?f(?)(b?a)中?是[a,b]上

（A）任意一点 （B）必存在的某一点 （C）唯一的某点 （D）中点 b) 设 Ix1=

?xelntdt I2=?lnt2edt（x>0）

。则 （A）仅当x>e时I1

(C) 仅当x

c) I=nlim???n?anxsin1xdx（a为常数）积分中值定理limn??a??sin1?? (A) ln?i?ma??sin1??a2sin11a (B) limn??a??sin??0 (C) limn??a??sin1??a ( D) lim1n??a??sin???

三、比较下列积分的大小。 1．?1?x0edx与?1??0(1?x)dx 2.?40sinxdx与?40cosxdx

四、估计积分?2x2?x0edx的值。

） 专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 64

五、证明：若函数f(x)在[a,b]上连续，非负，且f(x)?0 则

六、设函数f(x)在[a,b]上连续，证明：

bbb22 ??f(x)g(x)dx????f(x)dx???g(x)dx?

??????a??a???a?2?baf(x)dx?0

七、设函数f(x)在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且f(0)=3

?123f(x)dx

证明：在（0，1）内至少存在一点C，使f?(c)?0

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§5.3 微积分基本公式

一、填空题

?dxd22sint2dt? 。 sinxdx= 。2．1．??dx0dx0dx2d2sintdt?3． 。4．dx?0dx25．limx?0?sint0x2dt? 。

?x20sintdtx3? 。6．limx??12??arctantdt?0xx?12? 。

dxdx2??x?tsintdt7．=- 。8。= 。 x?dx?01?e09．

?20?x20?x?1 f(x)dx? 。其中f(x)=??2?x1?x?210. 函数f(x) =2x2+3x+3 在 [1，4] 上的平均值为 。 二． 判断题

d?x(x?t)2dt??0 ( ) 1．???a?dx??x3??2. ??costdt??cosx3?1 ( ) ?0?3.若函数f(x)在[a,b]上连续，则F(x)=4．

?xaf(t)dt 在[a,b]上可导。 （ ）

?0??01?cos2xdx???02cos2xdx?2?cosxdx?2sinx

?0=0 ( )

?sin2(ex?1)(x?0)?xe?1??5．函数f(x)=?2(x?0) 在R上处处连续 （ ） ?1x??2cost2dt(x?0)??x0三．单项选择题

1． 设f(x)为连续函数，且F(x)=

?lnx1xf(t)dt，则F?(x)等于

1111f(x)+2f() (B) f(lnx)?f() xxxx1111f(lnx)?2f() (D) f(lnx)?f() (C) xxxx （A）

x2xf(t)dt，其中f(x)为连续函数，则limF(x)等于 2． 设F(x)=

x?ax?a?a

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（A）a (B) a2f(a) (C) 0 (D) 不存在

2?1(0?x?b)???cos2x3． f(x)=?且?2f(x)dx?2则b= 0?1(b?x??)?2?sin2x (A)

???? (B) (C) (D) 2346四．设y?f(x)由方程 x?

五.计算下列定积分 1．

??x?y1edt?0 确定，求曲线y?f(x)在x=0处的切线。

?t2?21(x?1x)2dx 2.

?30dx 21?x3.

?401?ex(x?0)tan4xdx 4. 设f(x)=?求??f(x)dx

?cosx(x?0)?2??5.

?20max{sinx,cosx}dx 6.

?201?sin2xdx

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四、 设 f(x)=x?x

2?20f(x)dx?2?f(x)dx, 求 f(x)

011t2五．求a,b的值，使 limdt?1

x?0bx?sinx?a?t0

x?1x?sinx0?x??六．设f(x)=?2 求F(x)=?f(t)at在(??,??)内的表达式.

0x?0或x???1?

七． 设f(x)为连续函数,证明:

tx??f(u)dudt????0??0?0f(t)(x?t)dt ?x 专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 68

§5.4 定积分的换元法

一、填空题

1．若函数f(x)在[?a,a]上连续，则?[f(x)?f(?x)]dx? 。

?aa2．设f?(x)连续，则

?baf?(2x)dx? 。

dxcos(t?x)dt? 。 3．

dx?04．

?3?3(x3?4)9?x2dx? 。

5．设f(x)是以T为周期的连续函数，且二、判断题

1．若f(x)为(??,??)上的连续函数，且2．由于I=

2?T0f(x)dx?1,则?x1?2002T1 f(x)dx= 。

?x?x（ ） f(t)dt?2?f(t)dt则f(x)必为偶函数。

0dx11dt令x?????I ?I?0 ( ) 2??11?x2?1t1?t1122?1113

??1xxdx??xxdx??xxdx?0??x2dx （ ）

1?2exdx的值是 x12三、单项选择题

1． 定积分

12?211（A）e (B) e?e (C) 1 （D）不存在 2． I=(A)

?a0x3f(x2)dx （a?0）,则I=

?a20xf(x)dx (B)

?a01a21xf(x)dx (C) ?xf(x)dx (D)

202??a0xf(x)dx

四、计算下列定积分 1．

1dx223．? 4.?(x?2?x)dx 2?2x?2x?2?10?e3dxx1?lnx1 2.

?20sin2x?cos5xdx

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2??1?x(x?0)3求?f(x?2)dx. 5．设f(x)???x1??e(x?0)

?五、证明：

?20sin?d?cos?d?sin?d???2，并利用结果计算?2之值。 0sin??cos?0sin??cos?sin??cos???六、设函数f(x)为[?a,a]上连续的偶函数。求证：

xe4 并利用结果计算?2sinxdx ??1?ex2af(x)dx???a1?ex?0f(x)dx a?

x七．设函数f(x)在(??,??)内连续、可导，且F(x)?(x?2t)f(t)dt，证明：

0?（1）若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数； （2）若f?(x)?0，则F(x)在(??,??)内单调增加。

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§5.5 定积分的分部积分法

一、判断题

11．若f?(x)连续，则?xf?(2x)dx??xdf(2x)?xf(2x)0??f(2x)dx ( )

000ee1112．

??1exlnxdx?xlnxe1e??1x?e1lne11dx?e??e??(1?lne) （ ） xeee二、填空题

?1．2．

20sin7xdx? 。

??0sin10xdx? 。

3．F（x）=

?x0te?tdt有极值，则当x= 时，取极小值 。

b2三、单项选择题

1．f??(x)在[a,b]上连续，则?xf??(x)dx= . a（A）[af?(a)?f(a)]?[bf?(b)?f(b)] (B) [bf?(b)?f(b)]?[af?(a)?f(a)] (C) [bf?(b)?f(b)]?[af?(a)?f(a)] (D) [af?(a)?f(a)]?[bf?(b)?f(b) 2．

?21xlog2xdx? ?2x2x??1?4?21?x2（A）??2log2??x2 （B）??2log2??2ln222x??1?(4x)1 ??2x2x??1?4ln2?21?x2（C）??2log2?1?2x2x??1?ln2?21?x2 （D）??2log2??

四、计算下列定积分 1． 3．

?0xarcsinxdx 2.

?20e2xcosxdx

?101x2arctanxdx 4.?1ex2?122x?1dx

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 71

x5．??3dx 6. 2sinx4

五．设f(x)?

???20x?sinxdx

1?cosx?x1e?tdt，求?f(x)dx

021六．若f??(x)在[0,?]上连续，且f(0)?2,f(?)?1证明：

七．计算Im=

??f(x)?f??(x)?sinxdx?3

0???0xsinmxdx (m为自然数)

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4. f(x)=lim1?242n?(x?)?(x?)???(x?)?? n??n?nnn??1x?1 (C)2x?1 (D)2x?2 2125．设连续函数f(x)满足：f(x)= x?x?0f(x)dx则f(x)=

(A) x?1 (B)(A)

3333x?x2 (B)x+x2 (C)x?x2 (D)x+x2 4242dx?ln2ex?e?x 2.

ln3四、计算下列积分 1．

?3dxxx?121

?3．

?201?sin2xdx 4.

x???41?sinxdx

4?五、求连续函数f(x)满足：

?10f(tx)dt?f(x)?xarctanx

?2?x2(1?cosx)(x?0)?六、设f（x）=?1(x?0)试讨论f(x)在x=0处的连续性与可导性

?1x??cost2dt(x?0)?x0七。设f(x)在a,b]上二阶连续可导，f??(x)?0，求证：

?baf(x)dx?(b?a)f(a?b) 2八．设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，求证： 存在??(a,b)使得 f(?)??ag(x)dx?g(?)?f(x)dx

?b

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