数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

第一讲 习题解答

习题1-1

1 计算下列极限

p

1

① limn 1 1 , p 0

n n

解：原式=lim

1

n

1

1 1 n

limn 1n

p

1 p

1 0pp

1 x 1 0 n p lim 1 x n 01x 0

0n

p

p

x 0

② lim

sinx sinasin x a

x a

解：原式=lim

sinx sina

x a

x a

x a sin x a

lim

sinx sina

x a

x a

= sinx

x a

cosa

③

lim

x 1，m,n为自然数

解：原式

=lim

1x 1

x 1

x 1

x 1

1

nm

④

lim2 1

n

n

,a 0

1 ln2 an 1 lim

1n

解：原式 lime

n

nln1

eln2a 1

e

ln 2a 1

x

n

ex 0

lim

x

x

x0ln2a 1 ln2a 1

=e

lim

x 0

x

e

x 0

e

2lna

a

2

⑤ lim

x a

a xx a

xa

,a 0

x

a

a

a

x

a

a

a

解：原式=lim

x a

a a a x

x a

xa

a

lim

a ax a

x a

lim

x ax a

x a

a

x

x a

x

a

x a

a

a

lna 1

⑥ lim

x a

a

a

x

a

a x

x

,a 0

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

解：原式 lim

x

a

a

x

a

xa

a

x a

a

a x

a

x

lim

a

a

a

x

a

x

a

x a

x a

x aa x

x

a

a

a

x

a

a

a

ax a

x

lim

a

x

a

a

a

a

x a

a

x aa x

x

a

xa

aa aaa a lim x a x a x axaaa

x a aa aaa ax a

lim a xa a xax a x ax a x a

a

x a

x

a xa

ax

a

a

x a

10

y

y a

a

x

a

x a

a1a

a lna a

a lna 1

⑦ lim

1 tgx 1 sinx

10

x 0

sinx

10

解：原式=lim

1 tgx

10

1 sinx x

x 0

xsinx

1 tgx 10 1 tg0 10 1 sinx 10 1 sin0 10

lim

x 0 xx

1 tgx

10

x 0

1 sinx

10

x 0

20

k n i m

kn ，m为自然数 ⑧ lim m 1

n n i 1

k

解：原式 lim n

i 1k n i m

n lim

nm 1 n i 1

m

m

i

n 1 n n

k

lim

n

i 1

i

1 1

n

i

i

n

k

i 1

i 1 x

m

x 0

mk k 1

2

2 设f x 在x0处二阶可导，计算lim

f x0 h 2f x0 f x0 h

h

2

。

h 0

解：lim

f x0 h 2f x0 f x0 h

h

2

h 0

lim

f x0 h f x0 h

2h

h 0

f x0 h f x0 1 f x0 h f x0 lim f x0 h 0h h 2

3 设f x0 存在，计算lim

xf

x0 x0f x

x x0

x x0

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

xf x0 x0f x0 x0f x x0f x0

解：原式 lim

x x0

x x0

f x0 lim

f

x f x0

x x0

x x0

x0 f

x0 x0f x0

1

f x

4 设a 0,f a 存在，计算lim x afa

lim

x a

lnx lna

lnf x lnf a lnx lna

解：原式 e ex a

lim

lnf x lnf a

x a

x alnx lna

af a

e

f a

习题1-2

1求下列极限 ①

limsin

x

sin

解：原式 lim

sinsinx

x 1

x 1

2 limsin

x

2 0

介于x 1，与x 1之间。

cos sinx cosx

sinx

4

② lim？？？？

x 0

解：原式 lim

sin sinx x

sinx sinx x

x

x

3

x 0

4

0

lim

3

x 0

3

lim

cosx 13x

2

x 0

lim

sinx6x

x 0

16

③ lim

e

x

e

x 0

tgx sinx

2

x

3

解：原式 lim

e

x

3

ex

3

x 0

lim

e

x

3

e

x

3

x 0

x x

3

3

2 lim2 e

0

x

x

2

④ lim

a

x

2

x

a2

2

x a

x a

2

,a 0

2

2

ax aa解：原式 lim 2

2

x a x a

xa aa

x a

22

1

x a

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

lim ax

1 a

2

x 1

limx

2 a

a

2

x 2

12a

a

a

2

1 lna

2

⑤ limn2 arctg

n

an

arctg

n 1

a

arctg

aan

arctg

an 1

a

an

2

解：原式 lim

n

n n 1

lim arctgx

0

x

a a

⑥

lim

1

1

1

n 1

x 1

1 x

解：原式 lim

x 11 x1 x1 x

x 1

lim

x 1

x 1

x

1

lim

x 1

1n!

⑦

lim

x

解：原式 limxx

2 lim

1

lim

x

1

1 1

x

x

1

x

2

13

⑧

lim

nln n 1

2

n

1ln n 1 lnn 1 ln n 1 lnn 22nn 1e en n

nn 1

lim解：原式 lim

n n ln n 1 ln n 1

lim

n n 1 ln n 1 nlnn

2

n

n 1 ln n 1

lim

nln n 1 nlnn nln n 1

2

2

n

n 1 ln n 1

1 221nln 1 nln n 1 n nln n 1

n lim lim

n n

n 1 ln n 1 n 1 ln n 1

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

lim

nn 1

n

1 ln n 1 ln n 1

=1

n

1 fa

n

2 设f x 在a处可导，f a 0，计算 lim

n 1 f a

n

1

f a

n

nln

1

f a

n

解：原式 lime

n

lime

n

1

lnf a

n

1 a

n 1 lnf a

n 1

a

n

.2

2f a

=e

f a

习题1-3

1 求下列极限

1 x ① lim

x 0

1 x

解：原式 lim

1 1

,n 0

1 x 1 1 x 1

x 0

（也可利用对数等价关系求解）

②

lim

x 0

解：利用等价代换可得

原式 lim

x 0

cosxcos2x cosnx 1

lim

x 0

lncosxcos2x cosnx

ln 1 x

2

12

2lim

lncosx lncos2x lncosnx

x

2

x 0

2 lim

x 0

cosx 1

x

2

cos2x 1

x

2

cosnx 1

2

x

1 n2 1222

n n 1 2n 1 1 2 n 2 2

6 2 2

③ lim

x 0

1 x

x

e 1

1

解：原式 lim

e 1 xx e 1

x

x

x 0

lim

e 1 x

x

2

x

x 0

12

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

11 xx④ limx 1 x x

x

2

1

1 1 ln1 x lnx2 1

解：原式 limx ex ex limx ln 1 x lnx

x x x x

2

1

ln 1

x

limx ln1 x lnx lim 1 x x 1

x

x

1 2 cosx

⑤ lim3 1 x 0x3

ln 2 cosx ln31 2 cosx 解：原式 lim3ln lim 2

x 0xx 03x6

1

x

⑥

lim

x

2

x 0

cosx 1 e

解：原式

lim

1

2

x

2

1

x 0

，而1 cosx 1x

2

2

，e

x

2

1，cosx 1，

x 0 且limx 0

1。故原式 1 2

1 x2

x

1

x xx

2

22

6

12

3计算下列极限 ① lim

1 cosx lncosxe

x

2

x 0

e

x

2

sinx

2

2

解：1 cosx 故原式 1。

12

x，e e

x

2

x

2

x x

2

2

2x

2

,sinx x，且lim

22

2x x

22

x 0

2 1，

②

lim

x 0

ln1 x ln1 sinx sinx

1

2

解：原式=lim3

x 0x sinx x3

tgx sinx

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

③ lim

ln x e

x

2sinx

x 0

sin 2tgx sin tgx tgx

解：原式可如下考虑：若x 0时，sin 2tg2x sin tg2x tg2x 2x， 又 tgx x,lim

x e 12x

x

2x x

x 0

2 1，lnx ex x ex 1 2sinx 2x

且lim

x 0

1 1，故原式 lim

ax

bx

x e 1 2x

2x x

x

x 0

4。

④ lim

1 ax 1 bx

x 0

tg2x x sinx x

e

ax

,a b

bx

解：原式 lim

ln 1 ax eln 1 bx

x 0

2x x x x

a2ln 1 ax b2ln 1 bx a2 b2

lim x 0ax2bx2 2

习题1—4

1

1求 lim 1

x x

x

2

e

x

解：原式 lime

x 3

1 2

xln 1 x

x

lime

x

1 1 2 1

x 0 x

22

x x2x

lime

x

12 1

x0

2 2 x

e

12

2 求lim

ex 1 xsin6x

3

x

6

x 0

1 x

3

解：原式 lim

0 xx

6

6

1 x

3

x 0

12

sinxf x

03 设f x 在x 0处可导，且lim 2 求f 0 ,f 2，x 0xx

x

x

3

及lim

x 0

1 f x x

sinx xf x

解：因lim lim2

x 0x 0x

3!

o x

4

x f 0 f 0 x o x

x

2

x

3

1 f 0 x

lim故f 0 1,f 0 2

x 0

f 0 x

2

2

x

2

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

lim

1 f x x

x 0

lim

1 f 0 f 0 x o x

x

x

x 0

o x

lim f 0 2 x 0x

4

求lim

x 0

x

ln 1 x xe

1

解：原式 lim

x 0

x

ln 1 x xe

2

2

1

x

1 1 1

1x2 22 21 x x o x 1

lim2

x 0x2

x o x x 1 x o x 2

lim

x 0

1

82x2

x o x

14

xo x

n

5

求lim

1

n

lnn

1

1 x 1 ln x

xx

ln

xln 1 x

lime e x 0x 0

x

x

1

lim

x 0

1x

解：原式lim

lnn

1x

n

n

lim

x 0

，而lim

e 1

1 1

故ln 1 x 0 ，故原式=1。

x x

xx

6 设f x 在x 0处可导，f 0 0,f 0 0,若af h bf 2h f 0 在h 0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值。

af h bf 2h f 0

h

解：lim

h 0

0

即 lim

a f 0 f 0 h o h b f 0 f 0 2h o 2h f 0

h

h 0

0

即 lim

a b 1 f 0 f 0 h a 2b ao h bo 2h

h

h 0

0

a b 1 0 a 2

故

a 2b 0b 1

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

7 求limn2 1 nsin

n

1 n

1 nsin

1

limx sinx 1，利用sinx x x ox4

3

x 03!x6

3

解：原式 lim

n

1n

2

2n

2 1

8求limn e 1

n n

1 2

e 1

n

解：原式 lim

n 1

n

2

2n

lim

e 1 x

2

2x

2

x 0

x

lim

e e

2

x

ln 1 x

x 0

x

lim

e ex

x

2

x ox

2 x o x

x 0

lim

e e

x

2

x

2

lime

x 0

2

ln 1 x x

x 0

2 e

2

n 1

9求limn e 1 1

n n

1x

解：原式 lim

e 1 x

x

1

lim

e e

1x

ln 1 x

1

x 0x 0

x

lim

e

1

1x

ln 1 x

1

x 0

x

1

1 ln 1 x 1 1x

0 e lime x 0x2

10设f x0 存在，求极限lim

1n

3

n 0

f

x0 3h 3f x0 2h 3f x0 3h f x0

12

f x0 3h

2

解：f x0 3h f x0 f x0 3h

16

f x0 3h o

3

3h

3

类似可得f x0 2h ,f x0 h 的表达式代入化简，可将原式 f x0 6。

习题1—5

1 列极限

①

lim

n

解：令xn 1

yn

，利用stolz公式可得原式 2

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

②

lim

n

解：令xn 2

n

yn ，利用stolz公式可得原式 0 ,a 1

1a a

2

③ lim

1 a 2a na

na

n 2

n

解：令xn 1 a 2a2 nan,yn nan 2，利用stolz公式可得原式 2设liman a，求

n

① lim

a1 2a2 nan

n

2

n

解：令yn n2,xn a1 2a2 nan，则lim

n 1 an 1

2

n

n 1 n2

12

a，故原式

12

a

②

lim

n

n

k 1

a解：令x

n

yn

原式 lim

lim

lim

an n n

2a

③ lim

1lnn

n

n

k 1

akk

a11

a22

ann

解：令yn lnn,xn

a1

a22

an 1

an 1

an 1

1 e

n 1 ln 1

n

原式 lim1

n

annlim

n

lnn

n 1 lim

ln n 1 lnnn

④ lim

n

1a1

1a2

1an

n

,ai 0,i 1,2, n

1

解：原式 lim

a1

1a2

n

1an

1a

n

，故原式 a

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

111

,yn n xn aaa12n

3 设lim xn xn 2 0,求lim

n

xnnxnn

n

,lim

xn xn 1

nxn 1n 1

n

解：令A lim

xnn

n

,则2A=lim

n

lim

n

=lim xn xn 1 lim xn 1 xn 2

n

n

=lim xn 1 xn 2 0，故A 0

n

类似的可考虑对lim

1q

xn 1n

n

,利用stolz公式可得lim

xn xn 1

n

n

0

4 设0 x1

，其中0 q 1，并且xn 1 xn 1 qxn ，证明limxn

n

1q

证明：可以验证xn为单调递减，且极限为0的数列故

n n 1 1xn

1xn 1

1xn

，由stolz公式可得原

式=lim

n

=lim

xnxn 1xn 1 xn

n

lim

xn 1 1 qxn 1 xn 1xn 1 xn 1 1 qxn 1

n

=lim

1q

n

1 qxn 1

1q

5 设x1 0,xn 1 ln 1 xn n1,2, ，证明=limxn 2

n

可证明xn 0，利用x 0,ln 1 x x

n n 1 1xn

1xn 1

xn xn 1yn yn 1

limnxn lim

n

n

lim

xn 1ln 1 xn 1 xn 1 ln 1 xn 1

n

lim

xln 1 x x ln 1 x

x 0

2（洛必达法则）

6 证明设 xn ， yn 都是无穷小，且 yn 严格减小，如果lim

n

（a为 a，

有限数，或 , ），则lim

n

xnyn

a。

证明：当a为常数时， 0, N，当n N时，有a

xn xn 1yn yn 1

a

即 a yn yn 1 xn xn 1 a yn yn 1 a yn yn p xn xn p a yn yn p 令p ，得 a yn xn a yn

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

故lim

n

xnyn

a。

当a 时， G 0, N，当n N时，有

xn xn 1yn yn 1

G xn xn p G yn yn p

令p ，便可得xn Gyn，即

xnyn

xnyn

G n N

故lim

n

。

当a ，只要令xn xn ，便可转化为a 的情况。

习题1—6

1设f x 在 a, 内可微，且limlimf x A。

f x x

A，则当limf x 存在时，证明

n

n

n

证明：直接利用广义洛必达法则可得。

2 设f x 在 a, 内二阶可导，且limf "x A。

x

证明lim

f x x

n

A,lim

f x x

2

n

A2

。

证明：直接可用广义洛必达法则。

3 设f x 在 a, 内可微，limf x ,limf x 存在，证明limf x 0。

n

n

n

证明：设A limf x lim

n

xf x x

n

lim

n

f x xf x

故limxf x 0 limf x 0

n

n

4 设f x 在 a, 上连续，lim f x

n

xa

f

x dt

A，

证明：lim

n

xa

f x dt A,limf x 0

n

证明 令F x

xa

F x F x f x dt，则F x f x ，故有lim A，由x

n

例1.6.2可得limF x A,limf x 0

n

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

5设f x 在 a, 上可导，且对任意的 0，lim f x xf x 。证明

x

n

limf

x

。

x

证明：lim ，由例1.6.4的结 fx xfx limfx fx x n

论可得limf x

n

。

f x xlnx

6 设f x 在 a, 上存在有界的导函数，证明lim

f x lnx 1

x

0

证明：原式 lim

n

，利用夹逼准则可证 M f x M

7 设f x 在 a, 上可导，a 0，若有lim f

x x l

x

证明limf x

n

la

4

3

证明：取g x e3

ax2

，利用前面的结论类似可证。

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