行列式 -

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

1.二阶行列式

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）

a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第

2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!?2项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程

例1：二阶线性方程组

?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解：D?

a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21，D1??a11b2?b1a21

x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2，

D2?a21b2得 x1??2x?3x2?8. 例2：解方程组?1x?2x??32?18323?2?(?2)?3?1??7,D1??8?(?2)?3?(?3)??7, 解 D??3?21?2D2?281?3?2?(?3)?8?1??14.

因D??7?0,故所给方程组有唯一解

x1?D1?7?1,D?14?2. x2?2???7D?7D

1

2.三阶行列式

定义2

2由3个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） a11a12a13a21a22a23=a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a13a22a31?a11a23a32?a12a21a33. a31a32a33称为三阶行列式。3阶行列式由3个元素组成，三行三列；展开式也是一个数或多项式；若是多项式则必有3!?6项，且正负项的各数相同。其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。

应用：解三元线性方程组

类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组

?a11x1?a12x2?a13x3?b1??a21x1?a22x2?a23x3?b2, ?ax?ax?ax?b3223333?311记

2a11D=a21a12a22a32b1a13b1a12a22a32a12a13a23, a33b1b2, b3a31a11a23, D1=b2a33b3a13a11D2=a21b2a23, D3=a21a22a31b3a33a31a32若系数行列式D?0，则该方程组有唯一解：

x1?D1,Dx2?D2,Dx3?D3. D1例3. 计算三阶行列式42305 ?106123解 405?1?0?6?2?5(?1)?3?4?0?3?0?(?1)?1?5?0?4?2?6

?106??10?48??58.

?x1?2x2?x3??2?例4 ( 解三元线性方程组?2x1?x2?3x3?1.

??x?x?x?023?1解 由于方程组的系数行列式

1?211?3 D?2?11?1

2

?1?1?(?1)?(?2)?(?3)?(?1)?1?2?1?(?1)?1?1?1?(?3)?1?(?2)?2?(?1)

??5?0,

?2?211?211?2?21?3??5,D2?21?3??10,D3?211??5, D1?101?1?10?1?110故所求方程组的解为:

x1?DD1D?1, x2?2?2, x3?3?1. DDD3. 全排列和逆序数

3.1 全排列 定义3

把n个不同的元素排成一列组成的一个有序数组称为这n不同数的一个全排列(简称排列).显然，由1,2,?,n组成的12?n是一个全排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，称自然排列。

标准排列：对n个不同的自然数从小到大构成的排列．

n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．

例如, 自然数1，2，3可以组成多少个没有重复数字的三位数？

（3！=6） ；

自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种；

那么互异元素

p1,p2,?,pn构成的不同排列？有n!种．

3.2逆序数

定义4

在一个全排列中，如果某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素）之间有（存在）1个逆序．一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列j1j2?jn的逆序数记为?(j1j2?jn).

注意：逆序是对元素来说的，而逆序数是对一排列来说的。 算法：固定i(?2,3,?), 当j?i时,

满足pj?pi的“pj”的个数记作ti（称为pi的逆序）,

?(p1p2?pn)?t2???tn.

例 求排列8372451的逆序数, ??t2???t7?1?1?3?2?2?6?15．

那么

定义5

对一排列来说，逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.

3.3排列的奇偶性

把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变

3

换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了.由此得知，一个对换把全部排列两两配对，使每两个配成对的排列在这个对换下互变.

定理 对换改变排列的奇偶性.

这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列. 相邻对换：p1?pipi?1?pn?p1?pi?1pi?pn

一般对换：p1?pi?pj?pn?p1?pj?pi?pn(i?j)

推论 在全部n!各排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!/2个.

4.n阶行列式

4.1 n阶行列式的定义 定义6

2由n个数aij(i,j?1,2,?,n)排成n行n列的式子， 称

a11D?a21?aa12a22?a?a1n?a2n??an1n2nn

为n阶行列式。

注意：n阶行列式|D|是一个算式（多项式）。

当n?1时，|D|?a11?a11；

当n?2时，Dn?D?a11A11?a12A12???a1nA1n?其中，A1j?(?1)

1?j?aj?1n1jA1j

M1j

a21?ai,1?an1?a2,j?1??ai,j?1??an,j?1a2,j?1?a2n?ai,j?1?an,j?1??ai,n?ai?1,n??ann M1j?ai?1,1?ai?1,j?1ai?1,j?1

并称M1j为元素a1j的余子式，A1j为元素a1j的代数余子式；其中, 求和式中共有n!项．

4.2几个特殊行列式

上三角行列式，下三角行列式和对角行列式

4

a11D1?a12a22?a1n?a2n??????a11?a1,n?1D2?a21?a2,n?1??an1a1na11D3?0?0例5 计算

0a22?0ann, 00. ?ann

a11D1?a12a22?a1n?a2n??ann

解：利用数学归纳法可以证明。

D1?a11a22?ann

结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积．

例6 证明

00Dn??0an100???0a1nn(n?1)?2??(?1)a1na2,n?1?an1 ??a2,n?1?????an?1,2??证明：利用行列式的定义

Dn?(?1)1?na1n00??0?a3,n?2???a2,n?1????(?1)1?naDn?1?(?1)n?1Dn?1

an1?反复利用行列式的定义，可得

Dn?(?1)n?1a1nDn?1?(?1)n?1a1n(?1)n?2a2,n?1Dn?2?(?1)(n?1)?(n?2)???2?1a1na2,n?1?an?1,2an1 ?(?1)n(n?1)2a1na2,n?1?an1

结论：以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素 的乘积, 并冠以符号(?1)

n(n?1)2．

5

特例：

?1?2?

?1??1?2??n?2?，

?(?1)n(n?1)2?1?2??n

?n?n4.3 n阶行列式的另一定义

在行列式的定义中，虽然每一项是n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中n个元素(譬如ai1,ai2,?,ain)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.

看一下二阶和三阶行列式的定义.我们有

a11a21a11a21a31a12a22a32a13a12a22?a11a22?a12a21, (1)

a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31 (2) a33从二阶和三阶行列式的定义中可以看出，每一项都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，每一项都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成

a1j1a2j2a3j3, (3)

其中j1j2j3是1，2，3的一个排列.可以看出，当j1j2j3是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当j1j2j3是奇排列时带有负号.

定义6′

n阶行列式

a11a21?an1a12?a1na22?a2n (4)

??an2?ann等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

a1j1a2j2?anjn (5)

的代数和，这里j1j2?jn是1,2,?,n的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当

6

j1j2?jn是偶排列时，(5)带有正号，当j1j2?jn是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写

成

a11a21?an1这里

j1j2?jna12a22??a1n?a2n??j1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn, (6)

an2?ann?表示对所有排列求和.

为了计算n阶行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些

乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出，n阶行列式是由n!项组成的.

5. n阶行列式的性质

行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题. n阶行列式一共有n!项，计算它就需做个乘法.当n较大时，n!是一个相当在的数字.直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质可以化简行列式的计算.

性质1 行列互换，行列式不变.即

a11D?a21?an1a12a22??a1na11a21?an1a22??an2=DT ??a2na?12??a1nan2?anna2n?ann证明：（略）

设

a11?a1na11?an1D???DΤ???an1?ann, a1n?annΤT则称|D|是D的转置，即D?D．

证 令bij?aji(i,j?1,2,?,n), 则

b11?b1nDΤ=?

?bn1?bnn?(p1p2?pn)?(?1)?b1p12p2b?bnpn

???(p1p2?pn)

7

?

(p1p2?pn)?(?1)?ap11ap22?apnn?D

性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立. 例如下三角形的行列式

a11a21?an1

0a22???00??a11a22?ann

an2?ann性质2 行列式

a11??|D|?ai1??an1?a1j?aij??a1n?ain?ann?anj?

对任意一行按下式展开，其值不变。

a11?D?ai1?an1a12?ai2??a1n??ain?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin,i?1,2,?,n

?an2?anni?j其中Aij?(?1)Mij，Mij是划去元素aij所在的第i行与第j列，剩下的(n?1)2个元素

a11?ai?1,1ai?1,1?an1?a1,j?1?ai?1,j?1??an,j?1i?j按原来的排法构成一个n?1阶行列式

?a1,j?1?ai?1,j?1ai?1,j?1?an,j?1????a1n?ai?1,nai?1,n?ann?ai?1,j?1

称为元素aij的余子式，记作Mij，Aij?(?1)证明：（略） 利用数学归纳法可以证明。

Mij称为aij的代数余子式。

8

性质3

a11??an1a12??an2?a1n??a11??an1a12??a1n?ain?ann（i）kai1kai2?kain?kai1?annai2??an2?

这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式.

证明：左=kai1Ai1?kai2Ai2???kainAin?k(ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin) 右=k(ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin) 所以，成立。

若k?0，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零.

即得

推论1 某行元素全为零的行列式其值为零。

a11a12?a1na11?ai1?an1a12?ai2?a1na11a12?a1n???（ii）ai1?bi1ai2?bi2?ain?bin??an1?an2??ann???ain?bi1?ann?an1??bi2?bin. ?an2??ann?an2?这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样. 证明：利用行列式的定义可以证明。

性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. 所谓两行相同就是说两行的对应

元素都相等.即 当ail?ajl,i?j,l?1,2,?,n

a11?a1n?ain??0 ajn?ann9

?ai1?D??aj1??an1?

证明：利用数学归纳法

当n?2时，结论显然成立，即D2?假设结论对n?1阶行列式成立；

在n阶的情况下，对k行展开，且k?i,j

a11a21a12a22?0；

则|D|?ak1Ak1?ak2Ak2???aknAkn??al?1nklAkl，

?Akl?(?1)k?lMkl 又因为Mkl是n?1阶行列式，由假设，Mkl?0,l?1,2,?,n

所以 Akl?0 即D?0.

推论2 行列式中两行对应元素成比例，其值为零。

a11??a1n?ain??ann?0

ai1?D???an1?kai1?kain性质 5 在行列式中，把某一行各元素分别乘以非零常数k，再加到另一行的对应元素上，

行列式的值不变。（对行列式做倍加行变换，其值不变）。

a11?a1n?aina11?a1n?ain?ai1?即 D??ai1? ?????aj1?ajnkai1?aj1?kain?ajn?an1?a11?ai1?证明：右式=

?anna11?an1??a1n?ain?anna11?a1n?ain?a1n?ain??ann??ai1??ai1???an1?kai1?kain???aj1?ajn?an1??ann???D aj1?ajn?an1??ann10

§1.2 n阶行列式的计算

利用行列式的定义和性质，计算n阶行列式。

例1 计算

12D=34-50113113-3-121

解：D??55.

注：方法一，降阶法 方法二，上三角法

12例2 D?412414333341，求A11?A21?A31?A41? 222414333341?0 2211解：解法1令 D1?11

A11?A21?A31?A41?D1的第1列元素的代数余子式求和相同

而D1?0，所以D1按第1列展开可得A11?A21?A31?A41?0.

解法2 因为|D|的第3列元素与|D|的第1列元素的代数余子式相乘得

3A11?3A21?3A31?3A41?3(A11?A21?A31?A41)=0

所以 A11?A21?A31?A41?0.

n1 例3 如果行列式D?aij的元素满足 aij??aji(i,j?1,2,?,n)就称D是反对称行

列式.（其中aii??aii,即aii?0,i?1,2,?,n） 证明 奇数阶反对称行列式的值为零.

0证：设D?a120??a120?a2n?a1n?a2n 因为 ?0??a1n??a2n??0?a12??a1n0a12?a1n?a2n?D?DT?0?a12n?(?1)??a1na12?a1n0?a2n???a2n?0?(?1)nD，

16

由n是奇于数，所以D??D，故，D?0.

a1?b1b1?c1c1?a1a1b1c1例4 证明：a2?b2b2?c2c2?a2?2a2b2c2 a3?b3b3?c3c3?a3a3b3c32(a1?b1?c1)?a1?b1c1a1b1a1b1证: 方法1，左边=2(a2?b2?c2)?a2?b2?2c2a2b2?2a2b22(a3?b3?c3)?a3?b3c3a3b3a3b3 方法2，

方法3，

例5 计算n阶行列式

xa?aDax?an????

aa?x

解：

11?1rD1?(r2???r?n)[x?(n?1)a]ax?an???

aa?x 11?1?[x?(n?1)a]0x?a?0???

00?x?a ?[x?(n?1)a](x?a)n?1

x1aaa例6 计算D?ax2aaaaxa，且a?xi,i?1,2,3,4 3aaax4解：将D化成上三角行列式，①第一行乘?1加到各行，

②第j列乘?a?xjxj?a(j?2,3,4)加到第一列

c1c2 c317

x1a?x1D?ax2?aa0a0?x1?a?j?24a?xjxj?aax2?aa0a0

0a?x10x3?a0a?x00100x0x3?a4?a000x4?a?4=(x1?a(x1?a)1?a)(x2?a)(x3?a)(x4?a) j?2xj4=a(14a??1)?(xj?a)

j?1xj?aj?1x1aa?aax2a?a推广 Dn?aax3?a?a(1n??1n)?(xj?a)???aa?a

j?1xjj?1aaa?xn

abcd例7 计算D?aa?ba?b?ca?b?c?da2a?b3a?2b?c4a?3b?2c?d. a3a?b6a?3b?c10a?6b?3c?d解 从第4行开始，后一行减前一行：

rabcdabcdr4??rr3rD 3 0aa?ba?b?c4?r3aa?ba?b?cr2?r10a2a?b3a?2b?c.

0r3?r20aa2a?b.

0a3a?b6a?3b?c0aa2a?b

abcdr4?r30aa?ba?b?c00a2a?b.?a4.

000a例8 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式

11?1x1x2?xn|Dx2x22n|?12?xn??(xi?xj), ???n?i?j?1xn?1n?1n?11x2?xn其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.

18

证 用数学归纳法.

?|D12|?1xx?x2?x1?(xi?xj), 122??i?j?1?当n?2时(1)式成立. 假设(1)式对于n?1时成立，则

111?10x2?x1x3?x1?xn?x1|Dn|?0x2(x2?x1)x3(x3?x1)?xn(xn?x1)

?????0xn?2xn?2n?22(x2?1)x3(x3?x1)?xn(xn?x1)11?1?(xx2x3?xn2?x1)(x3?x1)?(xn?x1)????

xn?2xn?223?xn?2n|Dn|?(x2?x1)(x3?x1)?(xn?x1)ij)?ijn??(x?xi?j?2?(x?x).

n?i?j?1

a11?a1k0?0a11?a1k????|A|?deta(ij)???,例9 |D|?ak1?akk0?0ak1?akkc11?c1kb，

11?b1nb11?b1n????|B|?detb(ij)???,cn1?cnkbn1?bnnbn1?bnn

证明 |D|?|A||B|. （＊） 证 ：利用数学归纳法

A?akij1 对A的阶数k做数学归纳法，

当k?1时，对D按第一行展开，得D?a11B?a11B，结论成立。

假设，A为k?1阶行列式时，结论成立。

下面证明A为k阶行列式的情形，将对D按第一行展开，得

D?a?1)1?1MDa2D11(11?12(?1)1?M12??a1k(?1)1?kMD1k （1）

其中，MD1j是a1j在D中的余子式(j?1,2,?,k)

MD1j也是D式类型的行列式，而且它的左上角是k?1阶的。由归纳法的假设

19

AM1Dj?M1jB （2）

A中的余子式，将上式（2）代入（1）得， 其中M1Aj是a1j在

AAD?(a11(?1)1?1M11?a12(?1)1?2M12??a1k(?1)1?kM1Ak)B?AB

故，A为k阶时，（＊）成立。 所以，A为任意阶时，（＊）成立。

证法2 对作运算ri?krj,对|D2|作运算ci?kcj,可分别把|D1|和|D2|化为下三角形行列式. p110q110?p11?pkk; |D2|????q11?qnn. |D1|???pk1?pkkqn1?qnn对|D|的前k行作与对|D1|相同的运算ri?krj,再对后n列作与对|D2|相同的运算ci?kcj,即把|D|化为下三角形行列式，且|D|?p11?pkk?q11?qnn?|D1||D2|. 证毕. 推广：若D?A?A0?,则D?AB。 0B0B0BA???BA?(?1)k?mAB k,m分别是A,B的阶数。 0 若D?3?521110?5, D中元素aij的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij,求例10 设D??13132?4?1?3A11?A12?A13?A14及M11?M21?M31?M41.

解 注意到A11?A12?A13?A14等于用1,1,1,1代替D的第1行所得的行列式,即

1111110?5 A11?A12?A13?A14??13132?4?1?31??2112?1?52 0c2?c111r4?r311 ?22r3?r11?1110?5

02001 ?21?50012?52??4.

020 20

又按定义知,

M11?M21?M31?M411?521?110?5 ?A11?A21?A31?A41?1313?1?4?1?3r1?2r31?5r4?r3?11 130?1211210?5?(?1)?10?5 1311300a??10?5 ??10?5?0. 31b?1例11 计算2n阶行列式D2n??acbd?2n.(其中未写出的元素为0).

cd???????????解 把D2n中的第2n行依次与第2n?1行,?,第2行对调(作2n?2次相邻对换),再把第2n列依次与第2n?1列, ?,第2列对调,得

ab0cd000aD2n?(?1)2(2n?2)??????ac?bd?00b?D1D2(n?1)?(ad?bc)D2(n?1).

??0??0cd以此作递推公式,得D2n?(ad?bc)D2(n?1)???(ad?bc)n?1D2?(ad?bc)n.

a1?推广：D2n?b1?ancn?2nbndn???(aidi?bici)

i?1nc1d1???????????

21

1?a?1例12 计算（三对角行列式） |D?000a1?a?1000a1?a?1000a1?a?1000a1?a?

解

：

?1a0001?aa0D5?(1?a)(?1)1?1D4?a(?1)1?20?11?aa00?11?a?(1?a)D4?(?1)(?1)1?1D3?(1?a)D4?(?1)D3 D4?(1?a)D3?(?1)D2 D3?(1?a)D2?(?1)D1

1?aaD2??(1?a)2?a， D1?1?a

?11?a代入上式，得

D5?(1?a)5?(1?a)3(3?a)?(1?a)(1?2a)

推广：1.

a?bDn?1?00

aba?b?000ab?00????00?a?b100?aba?ban?1?bn?1?(a?b)

a?babc2.Dn?acbabcacba????ln?kln?1?k2ln?2???kn?2l2?kn?1l?kn,

其中，k?l?a,kl?bc

2的证明，把Dn按第一行展开，再将第2项中的行列式对第1列展开得

22

Dn?aDn?1?bcDn?2 ①

由①式可见：由D1和D2可算出D3，由D2和D3可算出D4；如此下去， 可得Dn的递推公式，Dn?kDn?1?l(Dn?1?kDn?2)， ② 其中，k?l?a,kl?bc

即，D?kD?l(D?kD)?l2(D?kD)??ln?2(D?kD)

nn?1n?1n?2n?2n?3?其中，Dab2?cc?a2?bc,D1?a于是得， Dn?ln?kDn?1

再利用③可以递推出

D?1n?1n?ln?kln?k2ln?2???kn?2l2?kl?kn,

其中，k?l?a,kl?bc. 完

21 ③23

§1.3克莱姆法则

我们先介绍有关n元线性方程组的概念。 含有n个未知数x1,x2,?,xn的线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2,??????????????an1x1?an2x2???annxn?bn,(1)

简记

?aj?1nijxj?bj(i?1,2,?,n)

称为n元线性方程组.当其右端的常数项b1,b2,?,bn不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组,当b1,b2,?,bn全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即

?a11x1?a12x2???a1nxn?0,??a21x1?a22x2???a2nxn?0,??????????????an1x1?an2x2???annxn?0.(2)

线性方程组(1)的系数aij构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即

a11a21 |D|??an1a12a22??a1n?a2n.

??an2?anna11|Dj|????a1,j?1?b1?a1,j?1a2,j?1???a1na2n?ann,j?1,2,?,n.

a21?an1a2,j?1b2an,j?1bnan,j?1?

克莱姆法则

定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式D?0, 则线性方程组(1)有唯一解,其解为

xj?|Dj||D|(j?1,2,?,n) (3)

其中|Dj|(j?1,2,?,n)是把|D|中第j列元素a1j,a2j,?,anj对应地换成常数项

24

b1,b2,?,bn,而其余各列保持不变所得到的行列式.

证明： 证明的步骤是： 1. 把(DD1D2,,?,n)代入方程组，验证它确是解. DDD2. 假如方程组有解，证明它的解必是公式(3)的形式. 第一步，因为Dj?b1A1j?b2A2j???bnAnj?元素akj的代数余子式。把xj?得，看第i个方程

DjDn?bAkk?1nkj，其中Akj是系数行列式中

(j?1,2,?,n)代入方程组（1）

1n1 ?aij(bA)??kkjD|D|k?1j?1n1abA??ij?kkjDj?1k?1n??abAijkj?1k?1nnkj

1=D1b(aA)??k?ijkjDk?1j?1Djnn?b?kk?1njk?1?biDD??D??0k?i,?ik?1k?i,?ik?0i?1,2,?,n

(j?1,2,?,n)D第二步，证明方程组解的唯一性

所以，xj?是方程组（1）的解。

若xj(j?1,2,?,n)是方程组（1）的解，则xj必是（3）的形式。

设c1,c2,?,cn是方程组（1）的一组解，则

?a11c1?a12c2???a1ncn?b1,?ac?ac???ac?b,?2112222nn2 ??????????????an1c1?an2c2???anncn?bn,在上面n个方程两端分别依次乘以A1j,A2j,?,Anj，得

?a11A1jc1?a12A1jc2???a1nA1ncn?b1A1j,??a21A2jc1?a22A2jc2???a2nA2jcn?b2A2j, ?????????????an1Anjc1?an2Anjc2???annAnjcn?bnAnj,?然后，再把这n个等式的两端相加，得

25

(?ai1Aij)c1?(?ai2Aij)c2???(?aijAij)cj???(?ainAij)cn

i?1i?1i?1i?1nnnn??biAij?b1A1j?b2A2j??bnjAnj?Dj

i?1n而c1,c2,?,cj?1,cj?1,?cn的系数全为零，cj的系数为D，在D?0时，

cj?DjD,j?1,2,?n 所以，方程组（1）的解是唯一的。

一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.

克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理.

定理2 （克拉默法则） 如果线性方程组(1)的系数行列式D?0,则(1)一定有解,且解是唯一的.

在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理:

定理2? 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.

对齐次线性方程组(2), 易见x1?x2???xn?0一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.

定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D?0,则齐次线性方程组(2)只有零解.

定理3? 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式D?0.

注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式D?0,则齐次线性方程组(2)有非零解.

例1. 已知三次曲线y?f(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3在4个点x??1,x??2处的值：

f(1)?f(?1)?f(2)?6,f(?2)??6,试求其系数a0,a1,a2,a3.

解：将4个点代入y?f(x)得，

26

a0?a1?a2?a3?6??a?a(?1)?a(?1)2?a(?1)3?6?0123?a0?a12?a222?a323?6?23??a0?a1(?2)?a2(?2)?a3(?2)??6由于该方程组的系数行列式是范德蒙

行列式的转置，可求得D?72,D0?576,D1??72,D2??144,D3?72 所以，a0?8,a1??1,a2??2,a3?1.这是唯一解 曲线方程为y?f(x)?8-x-2x2?x3

例 2. 求4个平面aix?biy?ciz?di?0,(i?1,2,3,4)相交于一点(x0,y0,z0)的充要条

件。

解：把平面方程aix?biy?ciz?dit?0,(i?1,2,3,4;t?1)

即得关于x,y,z,t的齐次方程组

aix?biy?ciz?dit?0,(i?1,2,3,4;t?1)

因为t?1，所以1有非零解，且4个平面交于一点，

即有一组非零解(x0,y0,z0,1)，根据齐次线性方程组有非零解的充要条件是齐次线性方

a1程组系数行列式|D|?0, 即

b1b2b3b4c1c2c3c4d1d2?0 d3d4a2a3a4

27

练习题

00?0100?201. 计算 ??????

0n?1?00n0?00

010?0002?0abbb2. 计算 （1）????， （2）

abab000?n?1aaban00?0bbbaxa0?1?mx2?xnxm?x0a?（3）

x12?n??? （4）Dn????x1x?x?m00?2n10?123?n?1n234?nn?1（5）345?n?1n?2? ?????nn?1n?2?2n?22n?1

111?11a1a2?an3.证明：

1a21a22?a2n?????0

1an?11an?112?an?nxan1an2?ann

a?bab0?001a?bab?0014.证明：Dn???????an??bn?1000?a?baba?b(a?b)

000?1a?b

0100??

a00a28

5. 若三条直线l1:a1x?b1y?c1?0,l2:a2x?b2y?c2?0,l3:a3x?b3y?c3?0有公共点，

证明：

a1D3?a2a3b1b2b3c1c2?0． c31?aa000?11?aa006.计算D?0?11?aa0?

00?11?aa000?11?a?????1?????7.D?1????n1?????????1???

???) 29

(

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