昌平区2018年高三年级第二次统一练习

昌平区2018年高三年级第二次统一练习 数学试卷(理科) 2018.5

本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集U=R，集合A={x∣x <-1或x > 1}，则eUA?

A．(??,?1)U(1,??) B．(??,?1]U[1,??) C．(?1,1) D．[?1,1]

2．若复数z?cos??isin?，当?=4π时，则复数z在复平面内对应的点位于 3A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知等比数列{an}中，a1=27,a4=a3a5，则a7= A．

1 27 B．

11 C． D．3 93?1??0.34．设a???，b?log23，c?2，则

?2?A．b?c?a B．a?b?c C．b?a?c D．a?c?b

0.2?x?y?0?5．若满足条件?x?y?1?0的整点(x,y)恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数

?y?a?的点，则整数a的值为

A．?3 B．?2 C．?1 D．0

1

6．设x,y?R，则是的 “|x|?1且|y|?1”“x2+y2?2”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 A．4 B．5 C． 2 D．2

俯视图

2 1 2 主视图

2 左视图

8．2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额（含税级距） 不超过1500元 超过1500元至4500元的部分 超过4500元至9000元的部分 … 税率(%) 3 10 20 … 某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于

A．5000~6000元 B．6000~8000元 C．8000~9000元 D．9000~16000元

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在二项式(x?1)的展开式中，第四项的系数是 ．（用数字作答）

2

610．在?ABC中，S?ABC?3，AB?3，AC?1，则BC? ． 4x21211．已知双曲线C：2?y?1(a?0)的渐近线方程为y??x，则双曲线C的离心率

a2是 ．

12．执行如图所示的程序框图，若输入 x值满足?2?x?4， 则输出y值的取值范围是 ．

13． b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，向量a，则向量a，b所成角的余弦值是_________;向量a，b所张成的平行四边形的面积是__________.

b

a y?x2?3开始 输入x是x?2 否y?log2x输出y 结束 ??x2?2ax,x?1??fx???14．已知函数 ?alnx ? x?1.?x?① 当x?1时，若函数f?x?有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是 ； ② 若函数f?x?的最大值为1，则a? ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）

已知函数f(x)?2sin(?x)cos(?x)?3sin2x． （I）求函数f(x)的最小正周期；

（II）求函数f(x)在区间[0,π]上的最值及相应的x值．

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π4π416.（本小题13分）

为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如下图所示：

B地区(AQI)

250(88,216)200(150,222)(201,248)150(97,144)(120,115)(158,120)100(40,77)(45,54)(30,48)(29,30)(27,27)(21,22)O(51,77)(53,65)(54,49)(60,42)(40,38)(25,25)(90,78)(153,145)50A 地区(AQI)50100150200250根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级： 空气质量指数AQI 空气质量状况 (0,100) [100,200) [200,300) 优良 轻中度污染 重度污染 （Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；

（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率.

（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区.（只需写出结论）

4

17．（本小题14分）

如图1，在边长为2的菱形ABCD中，?BAD?60，DE?AB于点E，将?ADE沿DE折起到?A1DE的位置，使A1D?BE，如图2．

（I）求证：A1E?平面BCDE； （II）求二面角E?A1D?B的余弦值；

（III）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP?平面A1BD？若存在，求出值；若不存在，说明理由．

18．（本小题14分） A E 图1

B E

图2

B D C

A1

D C

BP的BDx2y22已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?经过点(0,1)，且离心率为．

ab2 （I）求椭圆E的标准方程；

（II）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点M(0,m)，求实数m的取值范围．

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19．（共13分）

解：（I）因为f(x)?ax2?ax?xex，

得f?(x)?2ax?a?ex?xex，所以f?(0)?a?1． 因为曲线在点(0,f(0))处的切线方程为y?x，

所以f?(0)?a?1?1，即a?2． --------------------5分

(II) 设h(x)?2ax?a?ex?xex，则h?(x)?2a?2ex?xex?2a?(x?2)ex． 因为x?0，所以x?2?2，e?1. 又因为a?1,所以 h?(x)?0，

故h(x)?a(2x?1)?ex(1?x)在(??,0)上为增函数．

x11?1?0又因h(0)?a?1，h(?)??e2?0，由零点存在性定理，存在唯一的

221x0?(?,0)，有h(x0)?0．

2当x?(??,x0)时，h(x)?f?(x)?0，即f(x)在(??,x0)上为减函数， 当x?(x0,0)时，h(x)?f?(x)?0，即f(x)在(??,x0)上为增函数， 所以x0为函数f(x)的极小值点． --------------------13分

20．(共13分)

解：（I）因为数列：1,4,9,x(x?9)是“倒置系数”为p的“倒置数列”. pppppp,,,p所以也是该数列的项，且???p. x94x94pp故?1,?4， x9即x?p?36. --------------------3分

（II）因为数列{an}是项数为m项的有穷正项等比数列，取p?a1?am?0，

11

对数列{an}中的任意一项ai(1?i?m)， pa1amaiam?1?i???am?1?i也是数列{an}中的一项， aiaiai由“倒置数列”的定义可知，数列{an}是“倒置数列”； 又因为数列{an}所有项之积是T， 所以T?(a1a2a32am)(amam?1am?2a1)?(a1am)m?pm即p?Tm. 2 --------------------9分

（III）假设存在这样的等差数列{an}为“倒置数列”，设它的公差为d(d?0)，“倒置系数”为p. 因为数列{an}为递增数列，所以a1?a2?a3?则?an? ppp???a1a2a3?p?an 又因为数列{an}为“倒置数列”，则正整数p也是数列{an}中的一项（i?1,2,ai）， 故数列{an}必为有穷数列，不妨设项数为n项， 则p?ai?an?1?i(1?i?n?1) 则a1an?a2an?1，得a1an?(a1?d)(an?d)， 即(n?2)d2?0由n?3，故d?0，与d?0矛盾. 所以，不存在满足条件的数列{an}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”. --------------------13分

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