静电场的描绘

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实验十 DC-A型导电微晶静电场测试仪

在一些科学研究和生产实践中，往往需要了解带电体周围静电场的分布情况。一般来说带电体的形状比较复杂，很难用理论方法进行计算。用实验手段直接研究和测绘静电场通常也很困难。因为仪表（或其探测头）放入静电场，总要使被测场原有分布状态发生畸变；而且除静电式仪表之外的一般磁电式仪表不能用于静电场的直接测量，因为静电场中不会有电流流过，对这些仪表不起作用。所以，人们常用“模拟法”间接测绘静电场的分布。 一、实验目的

1、了解静电场模拟的依据； 2、学会用模拟法描绘静电场； 3、测绘静电场的等位线、电力线。 二、实验仪器

DC－A型描绘仪（包括导电微晶、双层固定支架、同步探针等），如图1所示，支架采用双层式结构，上层放记录纸，下层放导电微晶。电极已直接制作在导电微晶上，并将电极引线接出到外接线柱上，电极间制作有电导率远小于电极且各向均匀的导电介质。接通直流电源就可进行实验。在导电微晶和记录纸上方各有一探针，通过金属探针臂把两探针固定在同一手柄座上，两探针始终保持在同一铅垂线上。移动手柄座时，可保证两探针的运动轨迹是一样的。由导电微晶上方的穿梭针找到待测点后，按一下记录纸上方的探针，在记录纸上留下一个对应的标记。移动同步探针在导电微晶上找出若干电位相同的点，由此即可描绘出等位线。

图-1 DC－A型描绘仪

DC-A型导电微晶静电场主要性能及参数

1、银电极，烧结在导电微晶上，导电性能好。 2、导电微晶表面电导率分布较均匀。

3、供电电源为直流稳压电源，输出电压稳定，可调。并具有过载自动保护能力。由数显表直接显示输出电压值，范围1.2-10V。

4、测量端是一高阻抗的数显电压表，分辨率为10mV。

三、实验原理

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基础性实验 DC-A型导电微晶静电场测试仪

模拟法在科学实验中有着极其广泛的应用，其本质是用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程的研究去代替另一种不易实现、不便测量的状态或过程的研究。

为了克服直接测量静电场的困难，我们可以仿造一个与待静电场分布完全一样的电流场，用容易直接测量的电流场去模拟静电场。

静电场与稳恒电流场本是两种不同的场，但是它们两者之间在一定条件下具有相似的空间分布，即两种场遵守的规律在形式上相似。它们都可以引入电位U，而且电场强度Ｅ=-△U；它们都遵守高斯定理。对静电场，电场强度在无源区域内满足以下积分关系：

l

而对于稳恒电流场，电流密度矢量Ｊ在无源区域内也满足类似的积分关系：

s?E?ds?0?E?dl?0 l

由此可见，E和J在各自区域中满足同样的数学规律。若稳恒电流场空间内均匀地充满了电

′

导率为б的不良导体，不良导体内的电场强度Ｅ与电流密度矢量J之间遵循欧姆定律:

′

J=σＥ

′

因而,E和Ｅ在各自的区域中也满足同样的数学规律.在相同边界条件下,由电动力学的理论可以严格证明:象这样具有相同边界条件的相同方程,其解也相同。因此,我们可以用稳恒电流场来模拟静电场。也就是说静电场的电力线和等势线与稳恒电流场的电流密度矢量和等位线具有相似线的分布，所以测定出稳恒电流场和电位分布也就求得了与它相似的静电场的电场分布。 1、模拟长同轴圆柱形电缆的静电场

利用稳恒电流场与相应的静电场在空间形式上的一致性，则只要保证电极形状一定，电极电位不变，空间介质均匀，在任何一个考察点，均应有“U稳恒=U静电”或“E稳恒=E静电”。下面以同轴圆柱形电缆的静电场和相应的模拟场——稳恒电流场来讨论这种等效性。

如图2（a）所示，在真空中有一半径为ra的长圆柱形导体A和一个内径为rｂ的长圆筒形导体B，它们同轴放置，分别带等量异号电荷。由高斯定理可知，在垂直于轴线的任一个截面S内，都有均匀分布的辐射状电力线，这是一个与坐标Z无关的二维场。在二维场中电场强度E平行于xy平面，其等位面为一簇同轴圆柱面。因此，只需研究任一垂直横截面上的电场分布即可。

s?J?ds?0?J?dl?0

图2同轴电缆及其静电场分布

距轴心Ｏ半径为ｒ处（见图2b）的各点电场强度为:

E??2??0r

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式中λ为A(或B)的电荷线密度。其电位为：

rUr?Ua??E?dr?Ua?ra?r|n2??0ra （1）

若r=rb时Ub=0,则有

U??ar2??0|nb代入式(1)得:

ra

rbrUr?Uarlnbra （2）

ln距中心r处场强为:

Er??

UdUr1?a?rrdrlnbra （3）

若上述圆柱形导体A与圆筒形导体B之间不是真空,而是均匀地充满了一种电导率为σ的不良导体,且A和B分别与直流电源的正负极相连，见图（3），则在A、B间将形成径向电流，建立

′′

起一个稳恒电流场Er。可以证明不良导体中的电场强度Er与真空中的静电场Er是相同的。

取厚度ｔ的圆柱形同轴不良导体片来研究。设材料的电阻率为ρ(ρ=1/σ),则从半径为r的圆周到半径为r+dr的圆周之间的不良导体薄块的电阻为:

dR?

半径r到rb之间的圆柱片电阻为:

?dr?2?tr （4）

rbrb?dr?Rrr??ln2?t?r2?trrb （5）

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图3 同轴电缆的模拟模型

由此可知,半径ra到rb之间圆柱片的电阻为:

Rrarb?若设Ub=0，则径向电流为

r?lnb2?tra （6）

I?Ua2?tUa?rRrarb?lnbra （7）

距中心ｒ处的电位为：

rbrUr?IRrrb?Uarlnbra （8）

ln则稳恒电流场Er为

′

Er???UdUr?1?a?rrdrlnbra （9）

可见式（8）与式（9）具有相同形式，说明稳恒电流场与静电场的电位分布函数完全相同，即柱面之间的电位Ur与lnr均为直接关系,并且Ur/Ua即相对电位仅是坐标的函数,与电场电位的

′

绝对值无关。显而易见，稳恒电流的电场Ｅ与静电场Ｅ的分布也是相同的，因为：

E???dUr?dUr???Edrdr

实际上，并不是每种带电体的静电场及模拟场的电位分布函数都能计算出来，只有在σ分布

均匀而且几何形状对称规则的特殊规则的特殊带电体的场分布才能用理论严格计算。上面只是通过一个特例，证明了用稳恒电流场模拟静电场的可行性。

为什么这两种场的分布相同呢？我们可以从电荷产生场的观点加以分析。在导电质中没有电流通过时，其中任一体积元（宏观小，微观大，即其内仍包含大量原子）内正负电荷数量相等，没有净电荷，呈电中性。当有电流通过时，单位时间内流入和流出该体积元内的正或负电荷数量相等，净电荷为零，仍然呈电中性。因而，整个导电质内有电流通过时也不存在净电荷。这就是说，真空中的静电场和有稳恒电流通过时导电质中的场都是由电极上的电荷产生的。事实上，真空中电极上的电荷是不动的，在有电流通过的导电质中，电极上的电荷一边流失，一边由电源补充，在动态平衡下保持电荷的数量不变。所以这两种情况下电场分布是相同的。 2、模拟条件

模拟方法的使用有一定的条件和范围,不能随意推广,否则将会得到荒谬的结论。用稳恒电流场模拟静电场的条件可能性归纳为下列三点:

（1）稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几何形状相同。

（2）稳恒电流场中的导电介质应是不良导体且电导率分布均匀，并满足σ电极＞＞σ导电质才能保证电流场中的电极（良导体）的表面也近似是一个等位面。

（3）模拟所用电极系统与被模拟电极系统的边界条件相同。 3、静电场测绘方法

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由式3可知，场强Ｅ在数值上等于电位梯度，方向指向电位降落的方向。考虑到Ｅ是矢量，而电位U是标量，从实验测量来讲，测定电位比测定场强容易实现，所以可先测绘等位线，然后根据电力线与等位线正交的原理，画出电力线。这样就可由等位线的间距确定电力线的疏密和指向，将抽象的电场形象地反映出来。 4、利用互易关系“直接”测绘电力线

用电流场模拟静电场，在相同的边界条件下，两种场的电位分布完全相同。通过测定电流场的电位分布，我们就得到了静电场的电位分布，然后根据等位线和电力线正交的关系，即可画出电力线。是否可以直接测绘出电力线呢？我们注意到，在电流场中，由于电荷沿电力线的方向流动，即电流线在电力线的方向，而电流线不能穿过导电微晶的边缘或切口，因而电流线必平行于导电微晶的边缘或切口，又垂直于电极表面。故电力线平行于导电微晶的边缘或切口，垂直于电极表面。而等位线与电力线垂直。由于导电微晶可以根据需要加工成任意形状，因而我们可以人为地制造边缘或切口，使其在电力线方向。

如果在导电微晶边缘（或电力线）的地方用一个电极表面去代替它，而在电极表面（或等位线）的地方用一个边缘去代替它，那么所得到的新的等位线的形状将是原电极时电力线的形状，而新的电力线即为原等位线。这个关系称为互易关系。实际上是通过电极的变换，使电力线和等位线这两个相互正交的曲线族得到互换，使原来不能直接测定的电力线改变成可以直接测定的等位线。应用互易关系我们可以直接测绘电力线。在导电微晶上切割出半径r1、r2的两个同心圆切口，再沿同心圆的任意半径方向制作出两个扇形电极，加上电压V1，如图4所示，就得到了同轴电缆模拟模型的互易装置。利用此互易装置描绘出的等位线即为原模型的辐射状电力线。

图4

四、实验内容

1、描绘同轴电缆的静电场分布

（1）利用图3所示模拟模型，将导电微晶上内外两极分别与直流稳压电源的正负极相连接，电压表正负极分别与同步探针及电源负极相连接，移动同步探针测绘同轴电缆的等位线族。要求相邻两等位线间的电位差为1伏，共测八条等位线，每条等位线测定出八个均匀分布的点。以每条等位线上各点到原点的平均ｒ为半径画出等位线的同心圆簇。然后根据电力线与等位线正交原理，再画出电力线，并指出电场强度方向，得到一张完整的电场分布图。在坐标纸上作出相对电位Ur/Ua关系曲线，并与理论结果比较，再根据曲线的性质说明等位线是以内电极中心为圆心的同心圆。

2、描绘聚集电极的电场分布

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利用图5所示模拟模型，测绘阴极射线示波管内聚集电极间的电场分布。要求测出7~9条等位线，相邻等位线间的电位差为1伏。该场为非均匀电场，等位线是一簇互不相交的曲线，每条等位线的测量点应取得密一些。画出电力线，可了解静电透镜聚焦场的分布特点和作用，加深对阴极射线示波管电聚焦原理的理解。

五、实验步骤

1、接线

将DC-A型静电场测试仪电源的输出两接线柱与导电微晶描绘仪（四组中的待测一组）接线柱相连，将测试仪电源的输入、输出中黑色两接线柱相连，输入的红色接线柱和探针架上的红色接线柱相连接，将探针架放好，并使探针下探头置于导电微晶电极上，开启开关，指示灯亮，有数字显示。

2、测量

调节DC-A型静电场测试仪电源前面板上的调节旋钮，使左边数显表显示所需的电压值，单位为伏特，一般调到10V，便于运算。然后纵横移动探针架，则右边的数显表示值随着运动而变化，从而测出每条等位线上的任何一个点。

3、记录

实验报告都需要记录，以备学生计算或验证，对模拟法作深刻研究。则需在描绘架上铺平白纸，用橡胶磁条吸住，当表头显示读数认为需要记录时，轻轻按下记录纸上的探针并在白纸上旋转一下即能清楚记下黑色小点，一般所需记录电压请任课教师定夺，为实验清皙快捷，每等位线8-10点,然后连接即可。

六、注意事项

1、由于导电微晶边缘处电流只能沿边缘流动，因此等位线必然与边缘垂直，使该处的等位线和电力线严重畸变，这就是用有限大的模拟模型支模拟无限大的空间电场时必然会受到的“边缘效应”的影响。如要减小这种影响，则要使用“无限大”的导电微晶进行实验，或者人为地将导电微晶的边缘切割成电力线的形状。

2、导电微晶边缘的表面电导率分布不是绝对均匀的，测出的等位线与理论上给出的结果，稍有偏差。

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